折疊中的數學思想“三步曲”

陳燕飛

摘 要： 折疊以“形”的變化，藏有“數”的問題，是近年中考多出現的內容，也是學生比較困難的部分.如何突破該難點？教師在學生初識折疊——八年級時多琢磨、多嘗試，培養學生良好的思維習慣.本文著重探討折疊問題中的數學思想，引導學生感受其中的“變”與“不變”，找到解決這類問題的常規策略.

關鍵詞： 折疊 數形結合思想 建模思想 方程思想

折疊是近年中考重點考查的內容，也是學生一直比較困難的習題，這是因為學生不能認識折疊的本質，綜合應用知識解決問題.將突破點前移至八年級數學中《勾股定理》、《四邊形》等章節成為有益的嘗試，目的在于讓學生在初識折疊時就養成良好的思維習慣，找到解決這類問題的常規策略.本文著重探討在八年級折疊問題中的數學思想，從中抽象出基本圖形的基本規律，引導學生感受其中的“變”與“不變”，靈活地解決問題.

一、初識折疊：直角三角形中的折疊問題

【分析】此問是幫助學生理解題意，關鍵在于：

1.在畫圖時，畫出折疊前后的圖形，這樣便于找到圖形之間的數量關系和位置關系.

2.折疊問題（翻折變換）實質上就是軸對稱變換.折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.

3.學生重點體會“數形結合”的思想，在“形”的變化中發現“數”的關系，為后面進一步解決問題奠定基礎.

設問2：要求的線段CD設為x，與之相關的線段有幾條？我們可以選擇哪個三角形，利用什么知識解決？滲透了什么數學思想？

【分析】將已知的、所求的線段表示在圖形中，根據軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，學生會發現Rt△BDE，利用勾股定理解決問題.

關鍵在于：學生是否能從圖形中抽象出幾何圖形，建立“直角三角形”這個重要的模型，在此，建模思想起到了至關重要的作用.

設問3：請你求出線段CD的長.

【分析】在適當的直角三角形中，運用勾股定理列出方程求解，方程思想幫助我們最后得到答案.

“數形結合的思想—建模思想—方程思想”，這“三步曲”幫助學生解決了問題，使學生掌握了對此類問題解決的常規方法.當然，隨著學習內容的增加，數量關系、數學模型也越來越多，需要學生多加體會.

二、應用折疊：矩形中的折疊問題

關鍵在于：學生在建模思想的指引下，應用折疊中“形”的變化引起的“數”量關系，通過兩次折疊完成邊的等量代換，分別應用折疊中軸對稱、全等形這兩個很重要的本質，先后得到等腰三角形、等邊三角形.學生在探索過程中，進一步感受到了折疊中的數學思想，經歷了在數學思想的指導下解決問題的奇妙過程.

折疊是綜合性的問題，隨著學生知識的增加，蘊藏的數學問題越多，在數學思想的指引下，思路清晰，目標明確，問題會迎刃而解.當然，數形結合思想、建模思想、方程思想這三者在折疊中不是固定的、僵化的，也不需死記硬背，而是學生在思考問題、解決問題的過程中領會、驗證、歸納而得到的深切感受.這三種思想方法使得折疊問題不再枯燥，而是以靈動的姿態出現在學生的腦海中，演繹出數學奇妙的樂章.

參考文獻：

[1]劉光杰.初中數學中的折疊問題.百度文獻.

[2]數學活動.義務教育教科書《數學》.人教版.