萬有引力公式推導中平等性和對稱性的釋疑

黃曉虹

摘要：萬有引力定律的發現，是17世紀自然科學最偉大的成果之一。它第一次解釋了一種基本相互作用規律（自然界中四中相互作用之一），在人類認識自然的歷史上樹立了一座里程碑。萬有引力定律的論證包含著假設、歸納和推測，在經過實驗和觀測的反復驗證后上升為一條定律。

關鍵詞：萬有引力；演繹；推導

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）11-195-01

高中物理課本對萬有引力的學習，經歷了從行星運動規律到萬有引力定律的建立過程，是極好的科學探究過程。整個學習過程追尋古學者的足跡展開：

1、思考：為什么行星圍繞太陽運動？為什么天上太陽不會掉下來？

2、猜想與假設：在開普勒第三定律的基礎上，伽利略、開普勒以及法國數學家笛卡爾都提出過太陽對行星的引力F應該與行星到太陽的距離r有關。

3、牛頓簡化模型，行星軌道按照“圓”來處理。

4、演繹與推導：

（1）根據牛頓第二定律，得到

（2）根據牛頓第三定律，得到行星對太陽的引力大小也存在上述對稱關系的結果，即

（3）根據行星與太陽地位的“平等性”，得到

關于“平等性”和“對稱性”課本上并沒有過多的解釋，下面我就這兩點進行下探討：

第一處：對太陽與行星“對稱性”如何理解？

按照牛頓的簡化模型，我們應該得到如下兩種情形，

學生會產生這樣的質疑，從小我們都知道地球是繞著太陽轉的，太陽怎么可能繞著地球轉呢？我認為可以從以下兩方面來釋疑，（1）日心說和地心說只是選取不同參考系得到的兩種結論，從今天科學來看都是不完善的，還存在缺陷。以地球為參考系，觀測到太陽每天東升西落；以太陽為參考系，觀測到地球繞太陽公轉，兩種模型是以不同的參考系為基礎建立的，不存在互相矛盾的問題。（2）直到今天關于太陽與地球的轉動形式準確描述仍存在爭議，有的學說還認為，太陽與行星圍繞一個共同的質心運轉。

第二處：太陽與行星地位的“平等性”如何理解？

同時

根據牛頓第二定律 大小相等所以

從哲學角度解釋，F對M、m依賴關系相同，引入比例系數G，得

這樣的解釋肯定是正確的，可是如果遇到鉆“牛角尖”的學生，可能會想不通，要求演示具體推導過程，那么我們可以利用數學方式推導出結果，更有說服力。

假設一顆繞太陽運轉的行星的質量為m，軌道半徑為r，運行周期為T，太陽的質量為M，行星繞太陽做圓周運動：①根據開普勒第三定律：②

由②代入①得：③，設 ，得④根據對稱性：行星對太陽的引力⑤

由②代入⑤得：⑥

設 ，得⑦

根據牛頓第三定律， ，由④和⑦得

化簡得：

設 ，則 ⑧， ⑨

由⑧代入④得：

同理由⑨代入⑦得：

所以行星與太陽相互作用力