機械能守恒中速度關聯問題的求解方法

竺建國

【摘要】力學中，兩個或兩個以上物體相互連接參與運動的系統稱為連接體。連接體的擬題在高考命題中由來已久，考查考生綜合分析能力,起初是多以平衡態下的連接體的題呈現在卷面上，隨著高考對能力要求的不斷提高，近幾年加強了對非平衡態下連接體的考查力度。研究對象多了，涉及到的物理量也多了，有力、速度、能量等，涉及矢量合成和分解、機械能守恒等，學生覺得很頭疼。以下是我在具體實踐過程中的一些嘗試，在此與大家一起探討。

【關鍵詞】連接體；矢量的合成和分解；機械能守恒定律

一、研究對象的選取問題的方法

1.隔離法

（1）含義：所謂隔離法就是將所研究的對象——包括物體、狀態和某些過程，從系統或全過程中隔離出來進行研究的方法。

（2）運用隔離法解題的基本步驟：①明確研究對象或過程、狀態，選擇隔離對象，選擇原則是：一要包含待求量，二是所選隔離對象和所列方程數盡可能少。②將研究對象從系統中隔離出來；或將研究的某狀態，某過程從運動的全過程中隔離出來。③對隔離出的研究對象、過程、狀態分析研究，畫出某狀態下的受力圖或某階段的運動過程示意圖。④尋找未知量與已知量之間的關系，選擇適當的物理規律列方程求解。

2.整體法

（1）含義：所謂整體法就是將兩個或兩個以上物體組成的整個系統或整個過程作為研究對象進行分析研究的方法。

（2）運用整體法解題的基本步驟：①明確研究的系統或運動的全過程。②畫出系統的受力圖和運動全過程的示意圖。③尋找未知量與已知量之間的關系,選擇適當的物理規律列方程求解。

隔離法與整體法，不是相互對立的，一般問題的求解中，隨著研究對象的轉化，往往兩種方法交叉運用，相輔相成。所以，兩種方法的取舍，并無絕對的界限，必須具體分析，靈活運用。無論哪種方法都應以盡可能避免或減少非待求量(即中間未知量的出現,如非待求的力,非待求的中間狀態或過程等)的出現為原則。正確建立連接體間的速度關聯關系，是求解連接體有關速度問題的切入點，也是求解有關連接體綜合問題的關鍵之二。

二、繩系物體的求解方法

對于繩聯問題，由于繩的彈力總是沿著繩的方向，所以當繩不可伸長時，繩聯物體的速度在繩的方向上的投影相等。求繩聯物體的速度關聯問題時，首先要明確繩聯物體的速度，然后將兩物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可得到兩者的速度關系，再根據機械能守恒定律求解相關問題。

例１：一輕繩通過無摩擦的定滑輪在傾角為30°的光滑斜面上的物體m1連接，另一端和套在豎直光滑桿上的物體m2連接。已知定滑輪到桿的距離為m，物體m2由靜止從AB連線為水平位置開始下滑1m時，m1、m2恰受力平衡如圖１所示。試求：

（1）m2在下滑過程中的最大速度。

（2）m2沿豎直桿能夠向下滑動的最大距離。

圖1

解析：（1）由圖可知，隨m2的下滑，繩子拉力的豎直分量是逐漸增大的，m2在C點受力恰好平衡，因此m2從B到C是加速過程，以后將做減速運動，所以m2的最大速度即出現在圖示位置.對m1、m2組成的系統來說，在整個運動過程中只有重力和繩子拉力做功，但繩子拉力做功代數和為零，所以系統機械能守恒.ΔE增=ΔE減，即

1-2 m1v12+1-2 m22v2+m1g（A—C-A—B）sin30°

=m2g·B—C

又由圖示位置m1、m2受力平衡，應有：

Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°

又由速度分解知識知v1=v2cos∠ACB，代入數值可解得v2=2.15 m/s；

（2）m2下滑距離最大時m1、m2速度為零，在整個過程中應用機械能守恒定律，得：

ΔE增′=ΔE減′

即:m1g（）sin30°=m2gH

利用（1）中質量關系可求得m2下滑的最大距離H=4-3m=2.31 m

二、桿聯問題的求解方法

例2：如圖2所示，均勻直桿上連著兩個小球A、B，不計一切摩擦。當桿滑到如圖位置時，B球水平速度為vB，桿與豎直夾角為α，求此時A球速度大小。（提示與答案：將A球豎直向下的速度向沿桿向下和垂直桿斜向下分解，將B球水平向右的速度向沿桿向下和垂直桿斜向上分解。答案：vBtanɑ）

圖2

解：速度分解如圖所示，B球速度在桿方向的投影與A球速度在桿方向的投影是相等的，所以Vacosα=Vb cos(90°-α)

Va = vbtanɑ

三、接觸物體的速度求解方法

求相互接觸物體的速度關聯問題時，首先要明確兩接觸物體的速度，分析彈力的方向，然后將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進行分解，令兩物體沿彈力方向的速度相等即可求出兩者的速度關系，再根據機械能守恒定律求解相關問題。

例3：如圖２-1所示，斜劈B的傾角為30°，劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平地面上，現將一個質量與斜劈質量相同、半徑為r的球A放在墻面與斜劈之間，并從圖示位置由靜止釋放，不計一切摩擦，求此后運動中：

（1）斜劈的最大速度。

（2）球觸地后彈起的最大高度。（球與地面作用中機械能的損失忽略不計）

解析：（1）A加速下落，B加速后退，當A落地時，B速度最大，下落過程中，斜面與球之間彈力對球和斜面做功代數和為零，所以系統機械能守恒。

mg（h-r）=1-2 mvA2+1-2 mvB2 ①

由圖中幾何知識知：h=cot30°·r=r ②

A、B的運動均可分解為沿斜面和垂直斜面的運動，如圖2-2所示。

圖2-2

由于兩物體在垂直斜面方向不發生相對運動，所以vA2=vB2

即vAcos30°=vBsin30° ③

解得vA=

vB=

（2）A球落地后反彈速度vA′=vA

做豎直上拋運動的最大高度：

Hm=

綜上所述，復雜的速度關聯問題是有解題思路和巧妙的解題方法的，首先明確連接體的速度沿繩、桿、垂直接觸面等方向分解的分速度相等，在結合系統機械能守恒，抓住始末狀態，就不必考慮中間細節，使問題大大簡單。

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【摘要】力學中，兩個或兩個以上物體相互連接參與運動的系統稱為連接體。連接體的擬題在高考命題中由來已久，考查考生綜合分析能力,起初是多以平衡態下的連接體的題呈現在卷面上，隨著高考對能力要求的不斷提高，近幾年加強了對非平衡態下連接體的考查力度。研究對象多了，涉及到的物理量也多了，有力、速度、能量等，涉及矢量合成和分解、機械能守恒等，學生覺得很頭疼。以下是我在具體實踐過程中的一些嘗試，在此與大家一起探討。

【關鍵詞】連接體；矢量的合成和分解；機械能守恒定律

一、研究對象的選取問題的方法

1.隔離法

（1）含義：所謂隔離法就是將所研究的對象——包括物體、狀態和某些過程，從系統或全過程中隔離出來進行研究的方法。

（2）運用隔離法解題的基本步驟：①明確研究對象或過程、狀態，選擇隔離對象，選擇原則是：一要包含待求量，二是所選隔離對象和所列方程數盡可能少。②將研究對象從系統中隔離出來；或將研究的某狀態，某過程從運動的全過程中隔離出來。③對隔離出的研究對象、過程、狀態分析研究，畫出某狀態下的受力圖或某階段的運動過程示意圖。④尋找未知量與已知量之間的關系，選擇適當的物理規律列方程求解。

2.整體法

（1）含義：所謂整體法就是將兩個或兩個以上物體組成的整個系統或整個過程作為研究對象進行分析研究的方法。

（2）運用整體法解題的基本步驟：①明確研究的系統或運動的全過程。②畫出系統的受力圖和運動全過程的示意圖。③尋找未知量與已知量之間的關系,選擇適當的物理規律列方程求解。

隔離法與整體法，不是相互對立的，一般問題的求解中，隨著研究對象的轉化，往往兩種方法交叉運用，相輔相成。所以，兩種方法的取舍，并無絕對的界限，必須具體分析，靈活運用。無論哪種方法都應以盡可能避免或減少非待求量(即中間未知量的出現,如非待求的力,非待求的中間狀態或過程等)的出現為原則。正確建立連接體間的速度關聯關系，是求解連接體有關速度問題的切入點，也是求解有關連接體綜合問題的關鍵之二。

二、繩系物體的求解方法

對于繩聯問題，由于繩的彈力總是沿著繩的方向，所以當繩不可伸長時，繩聯物體的速度在繩的方向上的投影相等。求繩聯物體的速度關聯問題時，首先要明確繩聯物體的速度，然后將兩物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可得到兩者的速度關系，再根據機械能守恒定律求解相關問題。

例１：一輕繩通過無摩擦的定滑輪在傾角為30°的光滑斜面上的物體m1連接，另一端和套在豎直光滑桿上的物體m2連接。已知定滑輪到桿的距離為m，物體m2由靜止從AB連線為水平位置開始下滑1m時，m1、m2恰受力平衡如圖１所示。試求：

（1）m2在下滑過程中的最大速度。

（2）m2沿豎直桿能夠向下滑動的最大距離。

圖1

解析：（1）由圖可知，隨m2的下滑，繩子拉力的豎直分量是逐漸增大的，m2在C點受力恰好平衡，因此m2從B到C是加速過程，以后將做減速運動，所以m2的最大速度即出現在圖示位置.對m1、m2組成的系統來說，在整個運動過程中只有重力和繩子拉力做功，但繩子拉力做功代數和為零，所以系統機械能守恒.ΔE增=ΔE減，即

1-2 m1v12+1-2 m22v2+m1g（A—C-A—B）sin30°

=m2g·B—C

又由圖示位置m1、m2受力平衡，應有：

Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°

又由速度分解知識知v1=v2cos∠ACB，代入數值可解得v2=2.15 m/s；

（2）m2下滑距離最大時m1、m2速度為零，在整個過程中應用機械能守恒定律，得：

ΔE增′=ΔE減′

即:m1g（）sin30°=m2gH

利用（1）中質量關系可求得m2下滑的最大距離H=4-3m=2.31 m

二、桿聯問題的求解方法

例2：如圖2所示，均勻直桿上連著兩個小球A、B，不計一切摩擦。當桿滑到如圖位置時，B球水平速度為vB，桿與豎直夾角為α，求此時A球速度大小。（提示與答案：將A球豎直向下的速度向沿桿向下和垂直桿斜向下分解，將B球水平向右的速度向沿桿向下和垂直桿斜向上分解。答案：vBtanɑ）

圖2

解：速度分解如圖所示，B球速度在桿方向的投影與A球速度在桿方向的投影是相等的，所以Vacosα=Vb cos(90°-α)

Va = vbtanɑ

三、接觸物體的速度求解方法

求相互接觸物體的速度關聯問題時，首先要明確兩接觸物體的速度，分析彈力的方向，然后將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進行分解，令兩物體沿彈力方向的速度相等即可求出兩者的速度關系，再根據機械能守恒定律求解相關問題。

例3：如圖２-1所示，斜劈B的傾角為30°，劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平地面上，現將一個質量與斜劈質量相同、半徑為r的球A放在墻面與斜劈之間，并從圖示位置由靜止釋放，不計一切摩擦，求此后運動中：

（1）斜劈的最大速度。

（2）球觸地后彈起的最大高度。（球與地面作用中機械能的損失忽略不計）

解析：（1）A加速下落，B加速后退，當A落地時，B速度最大，下落過程中，斜面與球之間彈力對球和斜面做功代數和為零，所以系統機械能守恒。

mg（h-r）=1-2 mvA2+1-2 mvB2 ①

由圖中幾何知識知：h=cot30°·r=r ②

A、B的運動均可分解為沿斜面和垂直斜面的運動，如圖2-2所示。

圖2-2

由于兩物體在垂直斜面方向不發生相對運動，所以vA2=vB2

即vAcos30°=vBsin30° ③

解得vA=

vB=

（2）A球落地后反彈速度vA′=vA

做豎直上拋運動的最大高度：

Hm=

綜上所述，復雜的速度關聯問題是有解題思路和巧妙的解題方法的，首先明確連接體的速度沿繩、桿、垂直接觸面等方向分解的分速度相等，在結合系統機械能守恒，抓住始末狀態，就不必考慮中間細節，使問題大大簡單。

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【摘要】力學中，兩個或兩個以上物體相互連接參與運動的系統稱為連接體。連接體的擬題在高考命題中由來已久，考查考生綜合分析能力,起初是多以平衡態下的連接體的題呈現在卷面上，隨著高考對能力要求的不斷提高，近幾年加強了對非平衡態下連接體的考查力度。研究對象多了，涉及到的物理量也多了，有力、速度、能量等，涉及矢量合成和分解、機械能守恒等，學生覺得很頭疼。以下是我在具體實踐過程中的一些嘗試，在此與大家一起探討。

【關鍵詞】連接體；矢量的合成和分解；機械能守恒定律

一、研究對象的選取問題的方法

1.隔離法

（1）含義：所謂隔離法就是將所研究的對象——包括物體、狀態和某些過程，從系統或全過程中隔離出來進行研究的方法。

（2）運用隔離法解題的基本步驟：①明確研究對象或過程、狀態，選擇隔離對象，選擇原則是：一要包含待求量，二是所選隔離對象和所列方程數盡可能少。②將研究對象從系統中隔離出來；或將研究的某狀態，某過程從運動的全過程中隔離出來。③對隔離出的研究對象、過程、狀態分析研究，畫出某狀態下的受力圖或某階段的運動過程示意圖。④尋找未知量與已知量之間的關系，選擇適當的物理規律列方程求解。

2.整體法

（1）含義：所謂整體法就是將兩個或兩個以上物體組成的整個系統或整個過程作為研究對象進行分析研究的方法。

（2）運用整體法解題的基本步驟：①明確研究的系統或運動的全過程。②畫出系統的受力圖和運動全過程的示意圖。③尋找未知量與已知量之間的關系,選擇適當的物理規律列方程求解。

隔離法與整體法，不是相互對立的，一般問題的求解中，隨著研究對象的轉化，往往兩種方法交叉運用，相輔相成。所以，兩種方法的取舍，并無絕對的界限，必須具體分析，靈活運用。無論哪種方法都應以盡可能避免或減少非待求量(即中間未知量的出現,如非待求的力,非待求的中間狀態或過程等)的出現為原則。正確建立連接體間的速度關聯關系，是求解連接體有關速度問題的切入點，也是求解有關連接體綜合問題的關鍵之二。

二、繩系物體的求解方法

對于繩聯問題，由于繩的彈力總是沿著繩的方向，所以當繩不可伸長時，繩聯物體的速度在繩的方向上的投影相等。求繩聯物體的速度關聯問題時，首先要明確繩聯物體的速度，然后將兩物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可得到兩者的速度關系，再根據機械能守恒定律求解相關問題。

例１：一輕繩通過無摩擦的定滑輪在傾角為30°的光滑斜面上的物體m1連接，另一端和套在豎直光滑桿上的物體m2連接。已知定滑輪到桿的距離為m，物體m2由靜止從AB連線為水平位置開始下滑1m時，m1、m2恰受力平衡如圖１所示。試求：

（1）m2在下滑過程中的最大速度。

（2）m2沿豎直桿能夠向下滑動的最大距離。

圖1

解析：（1）由圖可知，隨m2的下滑，繩子拉力的豎直分量是逐漸增大的，m2在C點受力恰好平衡，因此m2從B到C是加速過程，以后將做減速運動，所以m2的最大速度即出現在圖示位置.對m1、m2組成的系統來說，在整個運動過程中只有重力和繩子拉力做功，但繩子拉力做功代數和為零，所以系統機械能守恒.ΔE增=ΔE減，即

1-2 m1v12+1-2 m22v2+m1g（A—C-A—B）sin30°

=m2g·B—C

又由圖示位置m1、m2受力平衡，應有：

Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°

又由速度分解知識知v1=v2cos∠ACB，代入數值可解得v2=2.15 m/s；

（2）m2下滑距離最大時m1、m2速度為零，在整個過程中應用機械能守恒定律，得：

ΔE增′=ΔE減′

即:m1g（）sin30°=m2gH

利用（1）中質量關系可求得m2下滑的最大距離H=4-3m=2.31 m

二、桿聯問題的求解方法

例2：如圖2所示，均勻直桿上連著兩個小球A、B，不計一切摩擦。當桿滑到如圖位置時，B球水平速度為vB，桿與豎直夾角為α，求此時A球速度大小。（提示與答案：將A球豎直向下的速度向沿桿向下和垂直桿斜向下分解，將B球水平向右的速度向沿桿向下和垂直桿斜向上分解。答案：vBtanɑ）

圖2

解：速度分解如圖所示，B球速度在桿方向的投影與A球速度在桿方向的投影是相等的，所以Vacosα=Vb cos(90°-α)

Va = vbtanɑ

三、接觸物體的速度求解方法

求相互接觸物體的速度關聯問題時，首先要明確兩接觸物體的速度，分析彈力的方向，然后將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進行分解，令兩物體沿彈力方向的速度相等即可求出兩者的速度關系，再根據機械能守恒定律求解相關問題。

例3：如圖２-1所示，斜劈B的傾角為30°，劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平地面上，現將一個質量與斜劈質量相同、半徑為r的球A放在墻面與斜劈之間，并從圖示位置由靜止釋放，不計一切摩擦，求此后運動中：

（1）斜劈的最大速度。

（2）球觸地后彈起的最大高度。（球與地面作用中機械能的損失忽略不計）

解析：（1）A加速下落，B加速后退，當A落地時，B速度最大，下落過程中，斜面與球之間彈力對球和斜面做功代數和為零，所以系統機械能守恒。

mg（h-r）=1-2 mvA2+1-2 mvB2 ①

由圖中幾何知識知：h=cot30°·r=r ②

A、B的運動均可分解為沿斜面和垂直斜面的運動，如圖2-2所示。

圖2-2

由于兩物體在垂直斜面方向不發生相對運動，所以vA2=vB2

即vAcos30°=vBsin30° ③

解得vA=

vB=

（2）A球落地后反彈速度vA′=vA

做豎直上拋運動的最大高度：

Hm=

綜上所述，復雜的速度關聯問題是有解題思路和巧妙的解題方法的，首先明確連接體的速度沿繩、桿、垂直接觸面等方向分解的分速度相等，在結合系統機械能守恒，抓住始末狀態，就不必考慮中間細節，使問題大大簡單。

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