新課改中數理結合物理極值問題解法探討

莫光華

摘要：實行新課改后，物理教學不在是單一的教授物理知識，而是通過綜合各科知識，將各科知識與物理知識融會貫通，使知識一體化，所以新課改對教師的綜合素質有了很大提高，特別是跨學科綜合問題，數學與物理結合就是常見的一種類型，本文以物理極值問題與同仁共同探討新課程中跨學科的教學思路與對教師的要求。

關鍵詞：物理極值；導數；均值定理；二次函數

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）11-124-01

在高中物理教學中，通常會遇到一類求某個物理量的最大或者最小問題.遇上這一類問題通常我們可以結合數學知識來解決.解決思路大致如下:

建模：通過物理知識求出待求物理量的函數表達式。數學應用：對該表達式求極值，可以采用二次函數，均值定理或者求導數來做。舉例如下：

【例1】( 2003 年江蘇春季高考）水平傳送帶被廣泛地應用于機場和火車站，用于對旅客的行李進行了安全檢查。右圖為一水平傳送帶裝置示意圖，繃緊的傳送帶AB始終保持v＝1m/s的恒定速率運行，一質量為m＝4kg的行李無初速地放在A處，傳送帶對行李的滑動摩擦力使行李開始做勻加速直線運動，隨后行李又以與傳送帶相等的速率做勻速直線運動。設行李與傳送帶間的動摩擦因數μ＝0.1，AB間的距離Ｌ＝2m，g取10m/s2。

（1）求行李剛開始運動時所受的滑動摩擦力大小與加速度大小；

（2）求行李從A運動到B的時間；

（3）行李在傳送帶上滑行痕跡的長度。

（4）如果提高傳送帶的運行速率，行李就能被較快地傳送到B處。求行李從A處傳送到B處的最短時間和傳送帶對應的最小運行速率。

解：設行李在勻加速直線運動中的時間為ｔ１，所走位移為x1，行李在勻速運動中的時間為ｔ２.(前三問略)

a＝μg=1m/s2

從A運動到B的時間t=t1+t2=2.5s

行李在傳送帶上滑行痕跡的長度Δx=x傳-x1=0.5m

先利用物理知識建立數學模型，行李在勻加速直線運動中的時間為ｔ１，行李在勻速運動中的時間為ｔ２，則總時間ｔ＝ｔ１＋ｔ２

由勻變速直線運動規律可以知道

，帶入ｔ１有：

所以有ｔ＝ ＋ ＝ 待求物理量求好之后，就應用數學知識進行求極值即可。

解一：由均值定理可知：當ｖ＝ ２ｍ／ｓ時。

ｔ最小，ｔｍｉｎ＝２ｓ

解二:函數看做ｔ＝ｆ（ｖ），ｔ對ｖ求一階導數有：

ｔ＇＝ + 令一階導數為零，有：ｖ＝２ｍ／ｓ時，ｔ最小，ｔｍｉｎ＝２ｓ

【例２】( ２０１２年全國２卷。２６）一探險隊員在探險時遇到一山溝，山溝的一側豎直，另一側的坡面呈拋物線形狀。此隊員從山溝的豎直一側，以速度v0沿水平方向跳向另一側坡面。如圖所示，以溝底的O點為原點建立坐標系Oxy。已知，山溝豎直一側的高度為2h，坡面的拋物線方程為y= ，探險隊員的質量為m。人視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度為g。求此人落到坡面時的動能；此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最小？動能的最小值為多少？

解：設該隊員在空中運動的時間為t，在坡面上落點的橫坐標為x，縱坐標為y.由運動學公式和已知條件得:

x=v0t ①，2h-y=②

根據題意有③

由機械能守恒，落到坡面時的動能為

④，聯立① ②③ ④得:

⑤

（２）建模---求函數解析式：由 ⑤式有

⑥

解一：將⑥式改寫為：

由二次函數理論可知：當括號內部為零則v2有極小值，即此時 ，此時 ，則最小動能為

解二：將⑥式改寫為： 由均值定理有；當 此時 ，則最小動能為

評析：筆者在2012年閱卷中發現例二中很多學生第一問已解決，但是第二問得分率不高，大多數不能用數學知識來變通，跨學科能力欠缺.通過以上二例可以發現高中物理中大多數極值問題都可以通過建立數學模型，然后利用數學知識來解決。這種思路簡單明了。避免了繁瑣的物理思維。有效減輕學生負擔。提高了學習效率。

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摘要：實行新課改后，物理教學不在是單一的教授物理知識，而是通過綜合各科知識，將各科知識與物理知識融會貫通，使知識一體化，所以新課改對教師的綜合素質有了很大提高，特別是跨學科綜合問題，數學與物理結合就是常見的一種類型，本文以物理極值問題與同仁共同探討新課程中跨學科的教學思路與對教師的要求。

關鍵詞：物理極值；導數；均值定理；二次函數

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）11-124-01

在高中物理教學中，通常會遇到一類求某個物理量的最大或者最小問題.遇上這一類問題通常我們可以結合數學知識來解決.解決思路大致如下:

建模：通過物理知識求出待求物理量的函數表達式。數學應用：對該表達式求極值，可以采用二次函數，均值定理或者求導數來做。舉例如下：

【例1】( 2003 年江蘇春季高考）水平傳送帶被廣泛地應用于機場和火車站，用于對旅客的行李進行了安全檢查。右圖為一水平傳送帶裝置示意圖，繃緊的傳送帶AB始終保持v＝1m/s的恒定速率運行，一質量為m＝4kg的行李無初速地放在A處，傳送帶對行李的滑動摩擦力使行李開始做勻加速直線運動，隨后行李又以與傳送帶相等的速率做勻速直線運動。設行李與傳送帶間的動摩擦因數μ＝0.1，AB間的距離Ｌ＝2m，g取10m/s2。

（1）求行李剛開始運動時所受的滑動摩擦力大小與加速度大小；

（2）求行李從A運動到B的時間；

（3）行李在傳送帶上滑行痕跡的長度。

（4）如果提高傳送帶的運行速率，行李就能被較快地傳送到B處。求行李從A處傳送到B處的最短時間和傳送帶對應的最小運行速率。

解：設行李在勻加速直線運動中的時間為ｔ１，所走位移為x1，行李在勻速運動中的時間為ｔ２.(前三問略)

a＝μg=1m/s2

從A運動到B的時間t=t1+t2=2.5s

行李在傳送帶上滑行痕跡的長度Δx=x傳-x1=0.5m

先利用物理知識建立數學模型，行李在勻加速直線運動中的時間為ｔ１，行李在勻速運動中的時間為ｔ２，則總時間ｔ＝ｔ１＋ｔ２

由勻變速直線運動規律可以知道

，帶入ｔ１有：

所以有ｔ＝ ＋ ＝ 待求物理量求好之后，就應用數學知識進行求極值即可。

解一：由均值定理可知：當ｖ＝ ２ｍ／ｓ時。

ｔ最小，ｔｍｉｎ＝２ｓ

解二:函數看做ｔ＝ｆ（ｖ），ｔ對ｖ求一階導數有：

ｔ＇＝ + 令一階導數為零，有：ｖ＝２ｍ／ｓ時，ｔ最小，ｔｍｉｎ＝２ｓ

【例２】( ２０１２年全國２卷。２６）一探險隊員在探險時遇到一山溝，山溝的一側豎直，另一側的坡面呈拋物線形狀。此隊員從山溝的豎直一側，以速度v0沿水平方向跳向另一側坡面。如圖所示，以溝底的O點為原點建立坐標系Oxy。已知，山溝豎直一側的高度為2h，坡面的拋物線方程為y= ，探險隊員的質量為m。人視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度為g。求此人落到坡面時的動能；此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最小？動能的最小值為多少？

解：設該隊員在空中運動的時間為t，在坡面上落點的橫坐標為x，縱坐標為y.由運動學公式和已知條件得:

x=v0t ①，2h-y=②

根據題意有③

由機械能守恒，落到坡面時的動能為

④，聯立① ②③ ④得:

⑤

（２）建模---求函數解析式：由 ⑤式有

⑥

解一：將⑥式改寫為：

由二次函數理論可知：當括號內部為零則v2有極小值，即此時 ，此時 ，則最小動能為

解二：將⑥式改寫為： 由均值定理有；當 此時 ，則最小動能為

評析：筆者在2012年閱卷中發現例二中很多學生第一問已解決，但是第二問得分率不高，大多數不能用數學知識來變通，跨學科能力欠缺.通過以上二例可以發現高中物理中大多數極值問題都可以通過建立數學模型，然后利用數學知識來解決。這種思路簡單明了。避免了繁瑣的物理思維。有效減輕學生負擔。提高了學習效率。

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摘要：實行新課改后，物理教學不在是單一的教授物理知識，而是通過綜合各科知識，將各科知識與物理知識融會貫通，使知識一體化，所以新課改對教師的綜合素質有了很大提高，特別是跨學科綜合問題，數學與物理結合就是常見的一種類型，本文以物理極值問題與同仁共同探討新課程中跨學科的教學思路與對教師的要求。

關鍵詞：物理極值；導數；均值定理；二次函數

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）11-124-01

在高中物理教學中，通常會遇到一類求某個物理量的最大或者最小問題.遇上這一類問題通常我們可以結合數學知識來解決.解決思路大致如下:

建模：通過物理知識求出待求物理量的函數表達式。數學應用：對該表達式求極值，可以采用二次函數，均值定理或者求導數來做。舉例如下：

【例1】( 2003 年江蘇春季高考）水平傳送帶被廣泛地應用于機場和火車站，用于對旅客的行李進行了安全檢查。右圖為一水平傳送帶裝置示意圖，繃緊的傳送帶AB始終保持v＝1m/s的恒定速率運行，一質量為m＝4kg的行李無初速地放在A處，傳送帶對行李的滑動摩擦力使行李開始做勻加速直線運動，隨后行李又以與傳送帶相等的速率做勻速直線運動。設行李與傳送帶間的動摩擦因數μ＝0.1，AB間的距離Ｌ＝2m，g取10m/s2。

（1）求行李剛開始運動時所受的滑動摩擦力大小與加速度大小；

（2）求行李從A運動到B的時間；

（3）行李在傳送帶上滑行痕跡的長度。

（4）如果提高傳送帶的運行速率，行李就能被較快地傳送到B處。求行李從A處傳送到B處的最短時間和傳送帶對應的最小運行速率。

解：設行李在勻加速直線運動中的時間為ｔ１，所走位移為x1，行李在勻速運動中的時間為ｔ２.(前三問略)

a＝μg=1m/s2

從A運動到B的時間t=t1+t2=2.5s

行李在傳送帶上滑行痕跡的長度Δx=x傳-x1=0.5m

先利用物理知識建立數學模型，行李在勻加速直線運動中的時間為ｔ１，行李在勻速運動中的時間為ｔ２，則總時間ｔ＝ｔ１＋ｔ２

由勻變速直線運動規律可以知道

，帶入ｔ１有：

所以有ｔ＝ ＋ ＝ 待求物理量求好之后，就應用數學知識進行求極值即可。

解一：由均值定理可知：當ｖ＝ ２ｍ／ｓ時。

ｔ最小，ｔｍｉｎ＝２ｓ

解二:函數看做ｔ＝ｆ（ｖ），ｔ對ｖ求一階導數有：

ｔ＇＝ + 令一階導數為零，有：ｖ＝２ｍ／ｓ時，ｔ最小，ｔｍｉｎ＝２ｓ

【例２】( ２０１２年全國２卷。２６）一探險隊員在探險時遇到一山溝，山溝的一側豎直，另一側的坡面呈拋物線形狀。此隊員從山溝的豎直一側，以速度v0沿水平方向跳向另一側坡面。如圖所示，以溝底的O點為原點建立坐標系Oxy。已知，山溝豎直一側的高度為2h，坡面的拋物線方程為y= ，探險隊員的質量為m。人視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度為g。求此人落到坡面時的動能；此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最小？動能的最小值為多少？

解：設該隊員在空中運動的時間為t，在坡面上落點的橫坐標為x，縱坐標為y.由運動學公式和已知條件得:

x=v0t ①，2h-y=②

根據題意有③

由機械能守恒，落到坡面時的動能為

④，聯立① ②③ ④得:

⑤

（２）建模---求函數解析式：由 ⑤式有

⑥

解一：將⑥式改寫為：

由二次函數理論可知：當括號內部為零則v2有極小值，即此時 ，此時 ，則最小動能為

解二：將⑥式改寫為： 由均值定理有；當 此時 ，則最小動能為

評析：筆者在2012年閱卷中發現例二中很多學生第一問已解決，但是第二問得分率不高，大多數不能用數學知識來變通，跨學科能力欠缺.通過以上二例可以發現高中物理中大多數極值問題都可以通過建立數學模型，然后利用數學知識來解決。這種思路簡單明了。避免了繁瑣的物理思維。有效減輕學生負擔。提高了學習效率。

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