電路的對偶
2014-09-01 15:48:41李聯福
教育教學論壇 2014年15期
摘要：電路的元件、參數、結構和定律等均具有對偶現象，利用電路的對偶關系，為分析電路提供一種便捷的方法。
關鍵詞：對偶；電路；對偶關系
中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）15-0121-02
引言：
對偶是自然界中普遍存在的一種特殊現象。在分析和研究自然規律中，利用對偶現象，可以有效地揭示元素之間一些相似或相對的內在聯系，簡化認知事物的過程。
一、電路的對偶現象
在純電阻電路中，串聯總電阻與各電阻的關系為：總電阻RS=R1+R2+R3+…+Rn；同樣在純電阻電路中，并聯總電導與各電導的關系為：總電導GS=G1+G2+G3+…+Gn。它們的數學表達形式很相似，這種相似性表現為對偶。又如電容元件的電流與加在它兩端的電壓關系為：i=Cdu/dt；而電感元件的電壓與流經它的電流關系為：u=Ldi/dt。這兩種元件的電流電壓關系表達式也呈現對偶現象。
二、電路的對偶關系
電路中某些元素之間的關系（或方程），用它們的對偶元素對應地置換后，所得的新關系（新方程）也一定成立，后者與前者互為對偶。[1]電路元素之間的一些對偶關系如下表：
（一）電路元件的對偶
組成電路的元件中，兩者之間互為對偶的元件有電阻R與電導G、電容C與電感L、電壓源US與電流源IS等。下圖是電源的對偶：
圖1和圖2是電壓源和電流源的模型，其對應的電壓和電流表達式分別如下：U=US-RSI，I=IS-GSU，它們互為對偶。
（二）電路的結構對偶
由電路元件組成的不同結構之間的對偶有串聯與并聯、開路與短路、回路與節點等。
（三）電路的定律對偶
基爾霍夫定律包含電流和電壓兩個定律，這兩個定律互為對偶。KCL指出：任一時刻，流入電路中的任一節點的各支路電流代數和恒等于零，即Σi=0。而KVL指出：任一時刻，沿電路中的任一回路繞行一周，所有支路電壓代數和恒等于零，即Σu=0。KCL與KVL是對偶關系。它的子元素如電流與電壓、節點與回路、串聯與并聯也互為對偶。
（四）電路參數的對偶
二端口網絡是具有2個端口的電路，端口與電路內部網絡相連接。圖3是反映二端口網絡的阻抗參數的等效電路。
阻抗參數Z的矩陣方程形式為：
Z11 Z12Z21 Z22
圖4是反映二端口的導納參數的等效電路。
導納參數Y的矩陣方程的形式為：
Y11 Y12Y21 Y22
以上二端口網路的開路阻抗參數Z和短路導納參數Y互為對偶。
（五）電路結論的對偶
電路中某些結論存在對偶，如開路電流為零與短路電壓為0互為對偶的結論；又如數字電路運算中A·A=A與A+A=A這兩個結論也互為對偶。
三、電路對偶的分析
由于電路對偶的存在，運用它來分析電路，可同時獲得電路及它的對偶電路的解，一舉兩得。
（一）無源網絡的對偶
在單相交流電路中，分析R-L串聯電路（圖5）和它的對偶電路（圖6）的電壓、電流的關系。
圖5中RL串聯電路的等效阻抗為Z=R+jωL；端電壓U與電流I的關系為U=ZI。圖6并聯電路的等效導納為Y=G+jωC。
端電流I與電壓U的關系為I=YU。若參數R與G、C與L在數值上相等，且接在頻率相同的正弦交流電路中，則兩個電路的U與I數值相等。這個關系也可以用矢量圖來表示：R-L串聯電路的矢量關系為圖7；G-C并聯電路的矢量關系為圖8。
兩矢量對應重合，即兩電路互為對偶關系。
（二）有源網絡電路的對偶分析
如圖9是一個有源網絡的平面電路，對它進行求解，可使用網孔法，方程組為：
（R1+R2）IL1-R2IL2=us-（R2-rm）IL1+（R2+R3）IL2=0
根據對偶原理，將對偶量相應地置換后，可以轉換成另一個電路（圖10），它的節點方程組：
（G1+G2）VN1-G2VN2=is-（G2-gm）VN1+（G2+G3）VN2=0
電路分析方法的對偶是電路多種元素對偶的綜合體現。上述對偶電路的對應元素有：（1）回路電壓法與支路電流法的對偶；（2）電阻串聯與并聯的對偶；（3）電壓源與電流源的對偶；（4）電流控制電壓源（CCVS）與電壓控制電流源VCCS的對偶。若對偶元素數值相等，則在數值上兩個電路同解：IL1=VN1；IL2=VN2。
小結：
1.根據對偶原理，如果導出電路中某一關系和結論，就等于解出了與它相對偶的另一關系和結論。例如，含源一端口電阻網絡的兩種等效：（UOC，Ri）和（isc，Gi）互為對偶，只要論證了戴維南定理的正確性，它的對偶——諾頓定理自然也成立。
2.互為對偶電路的特征方程和特征值相同，由對偶方程導出的各種公式和結果也是對偶的。
參考文獻：
[1]邱關源.電路[M].第4版.北京：高等教育出版社，1999.
[2]李翰遜.電路分析基礎[M].第3版.北京：高等教育出版社，1993.
作者簡介：李聯福（1963-），男，本科，福建泉州人，高級講師，研究方向：多媒體課件開發、電力機車電器與控制的教學研究工作。endprint
摘要：電路的元件、參數、結構和定律等均具有對偶現象，利用電路的對偶關系，為分析電路提供一種便捷的方法。
關鍵詞：對偶；電路；對偶關系
中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）15-0121-02
引言：
對偶是自然界中普遍存在的一種特殊現象。在分析和研究自然規律中，利用對偶現象，可以有效地揭示元素之間一些相似或相對的內在聯系，簡化認知事物的過程。
一、電路的對偶現象
在純電阻電路中，串聯總電阻與各電阻的關系為：總電阻RS=R1+R2+R3+…+Rn；同樣在純電阻電路中，并聯總電導與各電導的關系為：總電導GS=G1+G2+G3+…+Gn。它們的數學表達形式很相似，這種相似性表現為對偶。又如電容元件的電流與加在它兩端的電壓關系為：i=Cdu/dt；而電感元件的電壓與流經它的電流關系為：u=Ldi/dt。這兩種元件的電流電壓關系表達式也呈現對偶現象。
二、電路的對偶關系
電路中某些元素之間的關系（或方程），用它們的對偶元素對應地置換后，所得的新關系（新方程）也一定成立，后者與前者互為對偶。[1]電路元素之間的一些對偶關系如下表：
（一）電路元件的對偶
組成電路的元件中，兩者之間互為對偶的元件有電阻R與電導G、電容C與電感L、電壓源US與電流源IS等。下圖是電源的對偶：
圖1和圖2是電壓源和電流源的模型，其對應的電壓和電流表達式分別如下：U=US-RSI，I=IS-GSU，它們互為對偶。
（二）電路的結構對偶
由電路元件組成的不同結構之間的對偶有串聯與并聯、開路與短路、回路與節點等。
（三）電路的定律對偶
基爾霍夫定律包含電流和電壓兩個定律，這兩個定律互為對偶。KCL指出：任一時刻，流入電路中的任一節點的各支路電流代數和恒等于零，即Σi=0。而KVL指出：任一時刻，沿電路中的任一回路繞行一周，所有支路電壓代數和恒等于零，即Σu=0。KCL與KVL是對偶關系。它的子元素如電流與電壓、節點與回路、串聯與并聯也互為對偶。
（四）電路參數的對偶
二端口網絡是具有2個端口的電路，端口與電路內部網絡相連接。圖3是反映二端口網絡的阻抗參數的等效電路。
阻抗參數Z的矩陣方程形式為：
Z11 Z12Z21 Z22
圖4是反映二端口的導納參數的等效電路。
導納參數Y的矩陣方程的形式為：
Y11 Y12Y21 Y22
以上二端口網路的開路阻抗參數Z和短路導納參數Y互為對偶。
（五）電路結論的對偶
電路中某些結論存在對偶，如開路電流為零與短路電壓為0互為對偶的結論；又如數字電路運算中A·A=A與A+A=A這兩個結論也互為對偶。
三、電路對偶的分析
由于電路對偶的存在，運用它來分析電路，可同時獲得電路及它的對偶電路的解，一舉兩得。
（一）無源網絡的對偶
在單相交流電路中，分析R-L串聯電路（圖5）和它的對偶電路（圖6）的電壓、電流的關系。
圖5中RL串聯電路的等效阻抗為Z=R+jωL；端電壓U與電流I的關系為U=ZI。圖6并聯電路的等效導納為Y=G+jωC。
端電流I與電壓U的關系為I=YU。若參數R與G、C與L在數值上相等，且接在頻率相同的正弦交流電路中，則兩個電路的U與I數值相等。這個關系也可以用矢量圖來表示：R-L串聯電路的矢量關系為圖7；G-C并聯電路的矢量關系為圖8。
兩矢量對應重合，即兩電路互為對偶關系。
（二）有源網絡電路的對偶分析
如圖9是一個有源網絡的平面電路，對它進行求解，可使用網孔法，方程組為：
（R1+R2）IL1-R2IL2=us-（R2-rm）IL1+（R2+R3）IL2=0
根據對偶原理，將對偶量相應地置換后，可以轉換成另一個電路（圖10），它的節點方程組：
（G1+G2）VN1-G2VN2=is-（G2-gm）VN1+（G2+G3）VN2=0
電路分析方法的對偶是電路多種元素對偶的綜合體現。上述對偶電路的對應元素有：（1）回路電壓法與支路電流法的對偶；（2）電阻串聯與并聯的對偶；（3）電壓源與電流源的對偶；（4）電流控制電壓源（CCVS）與電壓控制電流源VCCS的對偶。若對偶元素數值相等，則在數值上兩個電路同解：IL1=VN1；IL2=VN2。
小結：
1.根據對偶原理，如果導出電路中某一關系和結論，就等于解出了與它相對偶的另一關系和結論。例如，含源一端口電阻網絡的兩種等效：（UOC，Ri）和（isc，Gi）互為對偶，只要論證了戴維南定理的正確性，它的對偶——諾頓定理自然也成立。
2.互為對偶電路的特征方程和特征值相同，由對偶方程導出的各種公式和結果也是對偶的。
參考文獻：
[1]邱關源.電路[M].第4版.北京：高等教育出版社，1999.
[2]李翰遜.電路分析基礎[M].第3版.北京：高等教育出版社，1993.
作者簡介：李聯福（1963-），男，本科，福建泉州人，高級講師，研究方向：多媒體課件開發、電力機車電器與控制的教學研究工作。endprint
摘要：電路的元件、參數、結構和定律等均具有對偶現象，利用電路的對偶關系，為分析電路提供一種便捷的方法。
關鍵詞：對偶；電路；對偶關系
中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）15-0121-02
引言：
對偶是自然界中普遍存在的一種特殊現象。在分析和研究自然規律中，利用對偶現象，可以有效地揭示元素之間一些相似或相對的內在聯系，簡化認知事物的過程。
一、電路的對偶現象
在純電阻電路中，串聯總電阻與各電阻的關系為：總電阻RS=R1+R2+R3+…+Rn；同樣在純電阻電路中，并聯總電導與各電導的關系為：總電導GS=G1+G2+G3+…+Gn。它們的數學表達形式很相似，這種相似性表現為對偶。又如電容元件的電流與加在它兩端的電壓關系為：i=Cdu/dt；而電感元件的電壓與流經它的電流關系為：u=Ldi/dt。這兩種元件的電流電壓關系表達式也呈現對偶現象。
二、電路的對偶關系
電路中某些元素之間的關系（或方程），用它們的對偶元素對應地置換后，所得的新關系（新方程）也一定成立，后者與前者互為對偶。[1]電路元素之間的一些對偶關系如下表：
（一）電路元件的對偶
組成電路的元件中，兩者之間互為對偶的元件有電阻R與電導G、電容C與電感L、電壓源US與電流源IS等。下圖是電源的對偶：
圖1和圖2是電壓源和電流源的模型，其對應的電壓和電流表達式分別如下：U=US-RSI，I=IS-GSU，它們互為對偶。
（二）電路的結構對偶
由電路元件組成的不同結構之間的對偶有串聯與并聯、開路與短路、回路與節點等。
（三）電路的定律對偶
基爾霍夫定律包含電流和電壓兩個定律，這兩個定律互為對偶。KCL指出：任一時刻，流入電路中的任一節點的各支路電流代數和恒等于零，即Σi=0。而KVL指出：任一時刻，沿電路中的任一回路繞行一周，所有支路電壓代數和恒等于零，即Σu=0。KCL與KVL是對偶關系。它的子元素如電流與電壓、節點與回路、串聯與并聯也互為對偶。
（四）電路參數的對偶
二端口網絡是具有2個端口的電路，端口與電路內部網絡相連接。圖3是反映二端口網絡的阻抗參數的等效電路。
阻抗參數Z的矩陣方程形式為：
Z11 Z12Z21 Z22
圖4是反映二端口的導納參數的等效電路。
導納參數Y的矩陣方程的形式為：
Y11 Y12Y21 Y22
以上二端口網路的開路阻抗參數Z和短路導納參數Y互為對偶。
（五）電路結論的對偶
電路中某些結論存在對偶，如開路電流為零與短路電壓為0互為對偶的結論；又如數字電路運算中A·A=A與A+A=A這兩個結論也互為對偶。
三、電路對偶的分析
由于電路對偶的存在，運用它來分析電路，可同時獲得電路及它的對偶電路的解，一舉兩得。
（一）無源網絡的對偶
在單相交流電路中，分析R-L串聯電路（圖5）和它的對偶電路（圖6）的電壓、電流的關系。
圖5中RL串聯電路的等效阻抗為Z=R+jωL；端電壓U與電流I的關系為U=ZI。圖6并聯電路的等效導納為Y=G+jωC。
端電流I與電壓U的關系為I=YU。若參數R與G、C與L在數值上相等，且接在頻率相同的正弦交流電路中，則兩個電路的U與I數值相等。這個關系也可以用矢量圖來表示：R-L串聯電路的矢量關系為圖7；G-C并聯電路的矢量關系為圖8。
兩矢量對應重合，即兩電路互為對偶關系。
（二）有源網絡電路的對偶分析
如圖9是一個有源網絡的平面電路，對它進行求解，可使用網孔法，方程組為：
（R1+R2）IL1-R2IL2=us-（R2-rm）IL1+（R2+R3）IL2=0
根據對偶原理，將對偶量相應地置換后，可以轉換成另一個電路（圖10），它的節點方程組：
（G1+G2）VN1-G2VN2=is-（G2-gm）VN1+（G2+G3）VN2=0
電路分析方法的對偶是電路多種元素對偶的綜合體現。上述對偶電路的對應元素有：（1）回路電壓法與支路電流法的對偶；（2）電阻串聯與并聯的對偶；（3）電壓源與電流源的對偶；（4）電流控制電壓源（CCVS）與電壓控制電流源VCCS的對偶。若對偶元素數值相等，則在數值上兩個電路同解：IL1=VN1；IL2=VN2。
小結：
1.根據對偶原理，如果導出電路中某一關系和結論，就等于解出了與它相對偶的另一關系和結論。例如，含源一端口電阻網絡的兩種等效：（UOC，Ri）和（isc，Gi）互為對偶，只要論證了戴維南定理的正確性，它的對偶——諾頓定理自然也成立。
2.互為對偶電路的特征方程和特征值相同，由對偶方程導出的各種公式和結果也是對偶的。
參考文獻：
[1]邱關源.電路[M].第4版.北京：高等教育出版社，1999.
[2]李翰遜.電路分析基礎[M].第3版.北京：高等教育出版社，1993.
作者簡介：李聯福（1963-），男，本科，福建泉州人，高級講師，研究方向：多媒體課件開發、電力機車電器與控制的教學研究工作。endprint
