含源線性單口網絡等效電阻的求解

摘要：戴維南定理和諾頓定理為人們求解復雜電路的等效電路提供了一種重要的方法，在實際運用中，難度較大的是如何求解戴維南和諾頓等效電路中的等效電阻，即含源線性單口網絡的等效電阻。本文總結了幾種常見的求解等效電阻的方法，以及人們在求解過程容易出現的誤區。

關鍵詞：含源線性單口網絡；等效電阻；求解

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）15-0119-02

對求解含源線性單口網絡的等效電路問題，戴維南定理和諾頓定理提供了一種普遍適用的方法，定理指出：含電源的線性單口網絡，不論其結構如何復雜，就其端口而言，可等效為一個加壓源和電阻相串聯的形式，或等效為一個電流源與電阻相并聯的形式。在線性電阻電路中，網絡由獨立電源、各種受控源及電阻等線性元件組成，對電路本身而言，除了獨立電源，其他元件均可看成電路的負載，相當于一個電阻元件，我們稱之為等效電阻。由此可見，戴維南定理和諾頓定理中的電阻就是這里的等效電阻。在運用這兩個定理求解線性單口網絡的等效電路時，關鍵在于如何求得單口網絡的等效電阻Req。筆者結合多年的教學經驗，通過分析線性單口網絡的不同含源情況，總結歸納出了三種求解等效電阻的方法。

方法一：直接求解法。當線性單口網絡只含有獨立電源（獨立電壓源或獨立電流源）而不含受控源時，可將單口網絡內的獨立電源置零，即將獨立電壓源短路，獨立電流源斷路，然后利用各電阻之間的聯接方式，直接根據串并聯公式或Δ-Y變換化法，求得等效電阻Req。

例1 求圖1所示電路的戴維南等效電阻Req，其中Us1=40V，Is2=30A，R1=R2=R4=4Ω，R3=R5=8Ω。

解：先將電壓源短路，電流源斷路。此時，電阻R2、R3被短路，故端口ab處的等效電阻為：

Rep=（R1+R4）//R5=（4Ω+4Ω）//8Ω=4Ω

方法二：開路短路法。當單口網絡既含有獨立電源又含有受控源時，無法采用方法一來直接求解等效電阻，可用該單口網絡的開路電壓Uoc與短路電流Isc之比來求解，短路電流方向是由開路電壓正極流向負極。

例2 求如圖2所示單口網絡的等效電阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：先求ab端為開路時的電壓Uoc，如圖2（a）。要想求Uoc，需要先知道流過電阻R3電流i的大小，電流i可根據左邊的回路，列出回路電壓方程求得，即：

R1i+R2（i-ai）+R3i=us'

i=■=■A

從而：uoc=R3i=10×■=■V

求短路電流，即將ab端短接求如圖2（b）電路所示的電流Isc。ab端相聯，即R3被短接，流過R3的電流為零，所以有：

R1Isc+R2Isc=us

Isc=■=■A

由此可得：Req=■=■Ω

注意：在用開路短路法時，如求得的開路電壓Uoc=0，則此法不可用，也不必再求Isc，Isc也必為零。此時只能用其他方法來求解單口網絡的等效電阻了。

方法三：外加電源法。在求解復雜的二端口網絡，尤其是含受控源的二端口網絡的等效電阻時，可以通過在網絡輸出端外加上電壓源（或電流源），然后求出輸出端的電流（或電壓），再由公式RO=■，求得等效電阻Req。但人們在利用這一方法求解等效電阻時，常存在一誤區，即一直強調要將單口網絡內部的獨立源置零，電壓源短路，電流源斷路。實際上，在利用該法時，內部獨立源不一定要置零，因為此法實際上是利用二端口的VCR關系，如果獨立源置零，那么對于線性時不變電阻電路而言，端口VCR在U-I平面上是一條經過坐標原點的直線；如果獨立源不置零，那么端口的VCR關系是一條不經過坐標原點的直線，但這兩條直線的斜率是一樣的。而我們的等效電阻更準確一點講是VCR關系曲線的斜率，所以不管獨立源置零不置零，直線的斜率是不會發生變化的，也就是等效電阻是不變的。

例3 求如圖3所示單口網絡的等效電阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：我們采用外加電源的方法，在端口處外加一電壓源（或電流源），求出端口電流（或端口電壓）的關系。如將獨立源置零，即將10V電壓源短接。則有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）

解得：u=■i，所以Req=■。

如果獨立源電壓源不置零，即保留10V電壓源。則有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）+10

解得：u=■i+■，這是一條不通過V-I平面原點的直線，直線斜率即等效電阻同樣為Req=■Ω。由此可見，在用外加電源法求單口網絡等效電阻時，內部獨立源置零不置零均可。

有多種方法求解含源線性單口網絡等效電阻，但每一種方法適用的對象不同和求解難易程度不同，在這些方法中，方法一最簡單，但受限也最大，單口網絡中不能含有受控源。方法二是最常用的方法，大部分情況下都可以采用這種方法，但當開路電壓或短路電流為零時，就無法使用該方法了。方法三是最普適的方法，求等效電阻時，內置獨立源既可以置零也可以不置零。

參考文獻：

[1]李瀚蓀.電路分析基礎[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]邱光源.電路[M].第5版.北京：高等教育出版社，2012.

作者簡介：陳海濤（1978-），男，河南人，博士，副教授，研究方向：電氣工程。endprint

摘要：戴維南定理和諾頓定理為人們求解復雜電路的等效電路提供了一種重要的方法，在實際運用中，難度較大的是如何求解戴維南和諾頓等效電路中的等效電阻，即含源線性單口網絡的等效電阻。本文總結了幾種常見的求解等效電阻的方法，以及人們在求解過程容易出現的誤區。

關鍵詞：含源線性單口網絡；等效電阻；求解

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）15-0119-02

對求解含源線性單口網絡的等效電路問題，戴維南定理和諾頓定理提供了一種普遍適用的方法，定理指出：含電源的線性單口網絡，不論其結構如何復雜，就其端口而言，可等效為一個加壓源和電阻相串聯的形式，或等效為一個電流源與電阻相并聯的形式。在線性電阻電路中，網絡由獨立電源、各種受控源及電阻等線性元件組成，對電路本身而言，除了獨立電源，其他元件均可看成電路的負載，相當于一個電阻元件，我們稱之為等效電阻。由此可見，戴維南定理和諾頓定理中的電阻就是這里的等效電阻。在運用這兩個定理求解線性單口網絡的等效電路時，關鍵在于如何求得單口網絡的等效電阻Req。筆者結合多年的教學經驗，通過分析線性單口網絡的不同含源情況，總結歸納出了三種求解等效電阻的方法。

方法一：直接求解法。當線性單口網絡只含有獨立電源（獨立電壓源或獨立電流源）而不含受控源時，可將單口網絡內的獨立電源置零，即將獨立電壓源短路，獨立電流源斷路，然后利用各電阻之間的聯接方式，直接根據串并聯公式或Δ-Y變換化法，求得等效電阻Req。

例1 求圖1所示電路的戴維南等效電阻Req，其中Us1=40V，Is2=30A，R1=R2=R4=4Ω，R3=R5=8Ω。

解：先將電壓源短路，電流源斷路。此時，電阻R2、R3被短路，故端口ab處的等效電阻為：

Rep=（R1+R4）//R5=（4Ω+4Ω）//8Ω=4Ω

方法二：開路短路法。當單口網絡既含有獨立電源又含有受控源時，無法采用方法一來直接求解等效電阻，可用該單口網絡的開路電壓Uoc與短路電流Isc之比來求解，短路電流方向是由開路電壓正極流向負極。

例2 求如圖2所示單口網絡的等效電阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：先求ab端為開路時的電壓Uoc，如圖2（a）。要想求Uoc，需要先知道流過電阻R3電流i的大小，電流i可根據左邊的回路，列出回路電壓方程求得，即：

R1i+R2（i-ai）+R3i=us'

i=■=■A

從而：uoc=R3i=10×■=■V

求短路電流，即將ab端短接求如圖2（b）電路所示的電流Isc。ab端相聯，即R3被短接，流過R3的電流為零，所以有：

R1Isc+R2Isc=us

Isc=■=■A

由此可得：Req=■=■Ω

注意：在用開路短路法時，如求得的開路電壓Uoc=0，則此法不可用，也不必再求Isc，Isc也必為零。此時只能用其他方法來求解單口網絡的等效電阻了。

方法三：外加電源法。在求解復雜的二端口網絡，尤其是含受控源的二端口網絡的等效電阻時，可以通過在網絡輸出端外加上電壓源（或電流源），然后求出輸出端的電流（或電壓），再由公式RO=■，求得等效電阻Req。但人們在利用這一方法求解等效電阻時，常存在一誤區，即一直強調要將單口網絡內部的獨立源置零，電壓源短路，電流源斷路。實際上，在利用該法時，內部獨立源不一定要置零，因為此法實際上是利用二端口的VCR關系，如果獨立源置零，那么對于線性時不變電阻電路而言，端口VCR在U-I平面上是一條經過坐標原點的直線；如果獨立源不置零，那么端口的VCR關系是一條不經過坐標原點的直線，但這兩條直線的斜率是一樣的。而我們的等效電阻更準確一點講是VCR關系曲線的斜率，所以不管獨立源置零不置零，直線的斜率是不會發生變化的，也就是等效電阻是不變的。

例3 求如圖3所示單口網絡的等效電阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：我們采用外加電源的方法，在端口處外加一電壓源（或電流源），求出端口電流（或端口電壓）的關系。如將獨立源置零，即將10V電壓源短接。則有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）

解得：u=■i，所以Req=■。

如果獨立源電壓源不置零，即保留10V電壓源。則有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）+10

解得：u=■i+■，這是一條不通過V-I平面原點的直線，直線斜率即等效電阻同樣為Req=■Ω。由此可見，在用外加電源法求單口網絡等效電阻時，內部獨立源置零不置零均可。

有多種方法求解含源線性單口網絡等效電阻，但每一種方法適用的對象不同和求解難易程度不同，在這些方法中，方法一最簡單，但受限也最大，單口網絡中不能含有受控源。方法二是最常用的方法，大部分情況下都可以采用這種方法，但當開路電壓或短路電流為零時，就無法使用該方法了。方法三是最普適的方法，求等效電阻時，內置獨立源既可以置零也可以不置零。

參考文獻：

[1]李瀚蓀.電路分析基礎[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]邱光源.電路[M].第5版.北京：高等教育出版社，2012.

作者簡介：陳海濤（1978-），男，河南人，博士，副教授，研究方向：電氣工程。endprint

摘要：戴維南定理和諾頓定理為人們求解復雜電路的等效電路提供了一種重要的方法，在實際運用中，難度較大的是如何求解戴維南和諾頓等效電路中的等效電阻，即含源線性單口網絡的等效電阻。本文總結了幾種常見的求解等效電阻的方法，以及人們在求解過程容易出現的誤區。

關鍵詞：含源線性單口網絡；等效電阻；求解

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）15-0119-02

對求解含源線性單口網絡的等效電路問題，戴維南定理和諾頓定理提供了一種普遍適用的方法，定理指出：含電源的線性單口網絡，不論其結構如何復雜，就其端口而言，可等效為一個加壓源和電阻相串聯的形式，或等效為一個電流源與電阻相并聯的形式。在線性電阻電路中，網絡由獨立電源、各種受控源及電阻等線性元件組成，對電路本身而言，除了獨立電源，其他元件均可看成電路的負載，相當于一個電阻元件，我們稱之為等效電阻。由此可見，戴維南定理和諾頓定理中的電阻就是這里的等效電阻。在運用這兩個定理求解線性單口網絡的等效電路時，關鍵在于如何求得單口網絡的等效電阻Req。筆者結合多年的教學經驗，通過分析線性單口網絡的不同含源情況，總結歸納出了三種求解等效電阻的方法。

方法一：直接求解法。當線性單口網絡只含有獨立電源（獨立電壓源或獨立電流源）而不含受控源時，可將單口網絡內的獨立電源置零，即將獨立電壓源短路，獨立電流源斷路，然后利用各電阻之間的聯接方式，直接根據串并聯公式或Δ-Y變換化法，求得等效電阻Req。

例1 求圖1所示電路的戴維南等效電阻Req，其中Us1=40V，Is2=30A，R1=R2=R4=4Ω，R3=R5=8Ω。

解：先將電壓源短路，電流源斷路。此時，電阻R2、R3被短路，故端口ab處的等效電阻為：

Rep=（R1+R4）//R5=（4Ω+4Ω）//8Ω=4Ω

方法二：開路短路法。當單口網絡既含有獨立電源又含有受控源時，無法采用方法一來直接求解等效電阻，可用該單口網絡的開路電壓Uoc與短路電流Isc之比來求解，短路電流方向是由開路電壓正極流向負極。

例2 求如圖2所示單口網絡的等效電阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：先求ab端為開路時的電壓Uoc，如圖2（a）。要想求Uoc，需要先知道流過電阻R3電流i的大小，電流i可根據左邊的回路，列出回路電壓方程求得，即：

R1i+R2（i-ai）+R3i=us'

i=■=■A

從而：uoc=R3i=10×■=■V

求短路電流，即將ab端短接求如圖2（b）電路所示的電流Isc。ab端相聯，即R3被短接，流過R3的電流為零，所以有：

R1Isc+R2Isc=us

Isc=■=■A

由此可得：Req=■=■Ω

注意：在用開路短路法時，如求得的開路電壓Uoc=0，則此法不可用，也不必再求Isc，Isc也必為零。此時只能用其他方法來求解單口網絡的等效電阻了。

方法三：外加電源法。在求解復雜的二端口網絡，尤其是含受控源的二端口網絡的等效電阻時，可以通過在網絡輸出端外加上電壓源（或電流源），然后求出輸出端的電流（或電壓），再由公式RO=■，求得等效電阻Req。但人們在利用這一方法求解等效電阻時，常存在一誤區，即一直強調要將單口網絡內部的獨立源置零，電壓源短路，電流源斷路。實際上，在利用該法時，內部獨立源不一定要置零，因為此法實際上是利用二端口的VCR關系，如果獨立源置零，那么對于線性時不變電阻電路而言，端口VCR在U-I平面上是一條經過坐標原點的直線；如果獨立源不置零，那么端口的VCR關系是一條不經過坐標原點的直線，但這兩條直線的斜率是一樣的。而我們的等效電阻更準確一點講是VCR關系曲線的斜率，所以不管獨立源置零不置零，直線的斜率是不會發生變化的，也就是等效電阻是不變的。

例3 求如圖3所示單口網絡的等效電阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：我們采用外加電源的方法，在端口處外加一電壓源（或電流源），求出端口電流（或端口電壓）的關系。如將獨立源置零，即將10V電壓源短接。則有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）

解得：u=■i，所以Req=■。

如果獨立源電壓源不置零，即保留10V電壓源。則有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）+10

解得：u=■i+■，這是一條不通過V-I平面原點的直線，直線斜率即等效電阻同樣為Req=■Ω。由此可見，在用外加電源法求單口網絡等效電阻時，內部獨立源置零不置零均可。

有多種方法求解含源線性單口網絡等效電阻，但每一種方法適用的對象不同和求解難易程度不同，在這些方法中，方法一最簡單，但受限也最大，單口網絡中不能含有受控源。方法二是最常用的方法，大部分情況下都可以采用這種方法，但當開路電壓或短路電流為零時，就無法使用該方法了。方法三是最普適的方法，求等效電阻時，內置獨立源既可以置零也可以不置零。

參考文獻：

[1]李瀚蓀.電路分析基礎[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]邱光源.電路[M].第5版.北京：高等教育出版社，2012.

作者簡介：陳海濤（1978-），男，河南人，博士，副教授，研究方向：電氣工程。endprint