數形結合之線性規劃探析

周麗香

線性規劃的應用問題是高考的熱點，在高考中受到越來越多的重視，它與其他知識的交叉融合越來越豐富，與線性規劃相關的新穎試題也層出不窮。如與不等式、函數、概率等交叉融合等。數形結合是數學思想的重要手段之一，而線性規劃的思維精髓就是數形結合。所以，畫移求答，理解線性規劃解題程序的實質是解決此類問題的關鍵。

一、與概率相聯系

例1：設不等式組0？燮x？燮20？燮y？燮2，表示平面區域為D，在區域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是

（ ）。A. ， B. ， C. ， D. 。

解析：題目中0？燮x？燮20？燮y？燮2表示的區域如圖1正方形所示，動點D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此P= = ，故選D。

二、與基本不等式相聯系

例2：設x，y滿足約束條件3x-y-6？燮0x-y+2？叟0x？叟0，y？叟0，若目標函數z=ax+by（a>0，b>0）的最大值為12，則 + 的最小值為（ ）。

A. ， B. ， C. ， D.4。

解析：不等式表示的平面區域如圖2所示陰影部分，當直線ax+by=z（a>0，b>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4，6）時，目標函數z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而 + =（ + ） = +（ + ）？叟 +2= ，故選A。

三、與解析幾何相聯系

已知線性約束條件，探求線性截距——加減的形式（非線性距離——平方的形式，斜率——商的形式）目標關系的最值問題是本部分的重點。

例3：已知實數x、y滿足x+y-1？燮0x-y+1？叟0y？叟-1，則w=x2+y2-4x-4y+8的最值為 。

解析：目標函數w=x2+y2-4x-4y+8=（x-2）2+（y-2）2，其含義是點（2，2）與可行域內的點的距離的平方。由實數x、y所滿足的不等式組作可行域如圖3所示：

可行域為圖中△ABC內部（包括邊界），易求B（-2，-1），結合圖形知，點（2，2）到點B的距離為其到可行域內點的最大值，Wmax=（-2-2）2+（-1-2）2=25；點（2，2）到直線x+y-1=0的距離為其到可行域內點的最小值，Wmax= = 。

四、與函數相聯系

例4：設二元一次不等式組x+2y-19？叟0x-y+8？叟02x+y-14？燮0所表示的平面區域為M，使函數y=ax（a>0，a≠1）的圖像過區域的取值范圍是（ ）。

A.[1，3]， B.2， ]， C.[2，9]， D.[ ，9]。

解：C，區域M是三條直線相交構成的三角形（如圖4）， 顯然a>1，只需研究過（1，9）、（3，8）兩種情形，a1？燮9且a3？叟8即2？燮a？燮9。

五、與向量相聯系

例5：已知點P的坐標（x，y）滿足：x-4y+3？燮03x+5y？燮25x-1？叟0，及A（2，0），則 的最大值是___。

解析： =| |·cos ∠AOP即為 在 上的投影長，由x-4y+3=03x+5y=25？圯M（5，2），∴| |·cos ∠AOP的最大值為5。

六、與數列相聯系

例6：設不等式組x>0y>0y？燮-nx+3n所表示的平面區域面積為D，記Dn內整點的個數為an（n？綴N？觹）：①求{an}的通項；②記{an}的前項和為Sn，且Tn= ，若對一切n？綴N？觹，總有Tn？燮m，求m的取值范圍。

解：①畫可行域知：an=3n。②知Sn= ，故Tn= ，Tn-Tn-1= - = = （n？叟2），當n=2時，Tn-Tn-1>0，即T1

當n=3時，Tn-Tn-1=0，即T2=T3；當n？叟4時，Tn-Tn-1<0，即T3>T4>T5…故當n=2或3時，Tn最大，最大值為 ，故m？叟 。

總之，線性規劃作為高中數學的重要內容，與其他知識交叉融合得也越來越豐富，而其精髓就是等價轉化與數形結合思想，這對培養學生的分析問題、解決問題的能力具有重要作用。

（山東省膠州市第二中學）