數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾個(gè)策略

李紅梅，張曉梅

摘要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.分析了數(shù)學(xué)概念形成.針對學(xué)習(xí)中存在許多困難，提出如下幾個(gè)策略：重視學(xué)生的前概念；促進(jìn)感性表征；克服思維定式的消極作用；明確概念的邏輯關(guān)系；建構(gòu)概念網(wǎng)絡(luò)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；前概念；感性表征；概念網(wǎng)絡(luò)

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）15-0072-03

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界中和思維想象中一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的思維形式.有些數(shù)學(xué)概念是一類事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式方面關(guān)鍵屬性的抽象，具有直觀意義，但又是用形式化的語言表述的；有些數(shù)學(xué)概念是對抽象的再抽象，有些數(shù)學(xué)概念是思維的自由想象和創(chuàng)造的產(chǎn)物，如四元數(shù)、虛數(shù)、n維空間等等.

一、概念學(xué)習(xí)中的問題

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中存在諸多困難：（1）會(huì)背概念，但不懂含義.如學(xué)生寫出的方程例子“x=3+■”.（2）片面理解.如認(rèn)為只有上下垂直關(guān)系.（3）概念的應(yīng)用方面.如換地公式的使用.（4）概念間的邏輯關(guān)系的清楚.如Roll中值定理、laglanrzh中值定理、Chency中值定理、泰勒中值定理之間的關(guān)系.（5）概念所體現(xiàn)的思想性、方法性不明白.如，定積分概念所體現(xiàn)的逼近思想、以直代曲的方法、極限的方法等.

二、數(shù)學(xué)概念的形成

瑞士著名心理學(xué)家皮亞杰（J.Piaget）在其《發(fā)生認(rèn)識(shí)論原理》中指出：“每個(gè)心理結(jié)構(gòu)都是心理發(fā)展的結(jié)果，而心理發(fā)展就是從一個(gè)較初級的結(jié)構(gòu)過渡到一個(gè)不那么初級的（或較復(fù)雜的）結(jié)構(gòu).”[1]已有的數(shù)學(xué)概念既是前階段認(rèn)識(shí)的產(chǎn)物，又是此后數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，表現(xiàn)了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)發(fā)展的階梯特性，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的層次性和無限發(fā)展的可能性.格勞斯認(rèn)為，克服錯(cuò)誤概念對新概念學(xué)習(xí)的排斥的唯一可能的解決辦法是迫使學(xué)生去明確地面對他們的錯(cuò)誤與所學(xué)的科學(xué)原理之間的矛盾.[2]在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，對感性材料進(jìn)行思維加工，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)概念，這需要運(yùn)用抽象思維、形象思維、直覺思維等.抽象概括是最基本的兩種思維活動(dòng).

1.對現(xiàn)實(shí)模型抽象概括而來的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的直覺思維能力、抽象思維能力.數(shù)學(xué)中的很多原始概念都是有人們對客觀事物進(jìn)行抽象概括而成的，如點(diǎn)、線、面、體等數(shù)學(xué)概念都是從物體的形狀、位置、大小關(guān)系等具體形象抽象概括而來；自然數(shù)概念是從手指的個(gè)數(shù)，或“一粒米、一棵樹”等單個(gè)事物集合元素的個(gè)數(shù)，或從事物排列的順序抽象得來的.

2.對一些相對具體的概念進(jìn)行多級抽象概括而成的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，達(dá)到更高一級的抽象水平.如復(fù)數(shù)概念是在實(shí)數(shù)概念的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，實(shí)數(shù)概念是在有理數(shù)概念的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，有理數(shù)概念有時(shí)在自然數(shù)概念基礎(chǔ)上產(chǎn)生的.群、環(huán)域等概念也是對已有概念進(jìn)行多次抽象而來.

3.思維對感性材料理想化、純粹化而來的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的直覺思維能力、發(fā)散思維能力、整體思維能力、抽象思維能力.如直線概念的“直”和“無限延伸”等特征是從筆直的條形物體的形象理想化、純粹化得來的.

4.對從已知數(shù)學(xué)對象結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的觀察能力、創(chuàng)新思維能力、辯證思維能力.如中位線、高、角平分線、內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角、對頂角、內(nèi)切圓、外接圓等等.

5.對數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造思維能力、辯證思維能力、發(fā)散思維能力.如為了數(shù)的乘法通行，規(guī)定一個(gè)數(shù)乘以0的積是0；正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則推廣到有理數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪，在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了負(fù)指數(shù)、零指數(shù)、分?jǐn)?shù)指數(shù)、無理指數(shù)等概念.

6.學(xué)習(xí)由于在數(shù)學(xué)理論中有存在的可能性而提出來的數(shù)學(xué)概念，解放學(xué)生的思想，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.如自然數(shù)集、無限遠(yuǎn)點(diǎn)等.

7.對隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展成為新概念的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生整體思維能力和辯證思維能力.如角的靜態(tài)概念：具有公共端點(diǎn)的兩條射線所成的圖形，隨著數(shù)學(xué)發(fā)展而發(fā)展的角的動(dòng)態(tài)概念：射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形.再如幾何量角的三角函數(shù)發(fā)展成為實(shí)數(shù)的三角函數(shù).

三、教學(xué)策略

1.重視學(xué)生的前概念.前概念是存在于人們頭腦中相對于新知識(shí)的已有的認(rèn)知，可能是正確的，也可能是片面的、錯(cuò)誤的.數(shù)學(xué)前概念一方面來源于日常生活中的經(jīng)驗(yàn)，另一方面來源于已有的正確的、片面的或錯(cuò)誤的概念.“源于兒童生活經(jīng)驗(yàn)的日常概念則是科學(xué)概念發(fā)展的重要前提”.[3]如自然數(shù)就是由“一粒米，一頭牛，兩只羊……”抽象而來.日常概念寬泛性、多義性、模糊性與數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確性、清晰性、簡潔性形成鮮明對比.由于日常概念的緘默性質(zhì)，學(xué)生在潛意識(shí)里不自覺地偏向于日常概念的使用，而舍棄、排斥、抵制數(shù)學(xué)概念的使用，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)產(chǎn)生誤解、錯(cuò)解的原因之一.

經(jīng)驗(yàn)對學(xué)習(xí)新概念的影響主要表現(xiàn)在對概念系統(tǒng)的擴(kuò)張上，從過去的經(jīng)驗(yàn)中找到與新概念相關(guān)的概念，在分析、比較、類化它們的異同的基礎(chǔ)上建立起新概念.正如“一粒米”≠“1”，日常概念不等價(jià)于數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)需要高度抽象.正確的前概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的良好基礎(chǔ)和鋪墊，它的正遷移作用可成為數(shù)學(xué)概念教學(xué)的資源和新的增長點(diǎn)，可提高學(xué)生掌握新概念和知識(shí)結(jié)構(gòu)的效率.如學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之前就有了“將一個(gè)蘋果分成四份，每人吃一份，占這個(gè)蘋果的多少”這樣關(guān)于部分—整體的生活體驗(yàn)，這對于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)概念的意義是有利的，但會(huì)對“無限”的理解產(chǎn)生障礙.如人們都有走捷徑、抄近路的生活體驗(yàn)，這有利于學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的性質(zhì)概念：兩邊和大于第三邊.

片面的或錯(cuò)誤的前概念對新概念的學(xué)習(xí)有阻礙作用，它會(huì)影響學(xué)生對數(shù)學(xué)新概念的同化和順應(yīng)，形成錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)概念.如生活中人們對“垂直”概念的體會(huì)多是上下垂直關(guān)系.學(xué)生會(huì)把“平方運(yùn)算”只與“正”聯(lián)系在一起，“平方根”與“算術(shù)平方根”的理解混亂.在概念教學(xué)過程中要讓學(xué)生充分暴露錯(cuò)誤觀念，正確看待自己原有的生活經(jīng)驗(yàn)，把對事物表面現(xiàn)象觀察及思維的結(jié)論與數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行比較、反思，找出矛盾所在，經(jīng)歷認(rèn)知上的沖突和震撼，改變不平衡的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)概念代替片面的或錯(cuò)誤的前概念，促成新概念在原有概念網(wǎng)絡(luò)中同化和順應(yīng).

2.促進(jìn)感性表征.數(shù)學(xué)概念的形成過程是以感覺、知覺和表象為基礎(chǔ)，通過分析、綜合、抽象、概括、理想化、純粹化、系統(tǒng)化等思維活動(dòng)，從個(gè)別到一般、從具體到抽象、從現(xiàn)象到本質(zhì)的認(rèn)識(shí)過程.原概念的形成過程展示了由實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、感性材料為基礎(chǔ)所進(jìn)行的“去粗取精”、“由表及里”的思維加工，典型地表現(xiàn)了人類認(rèn)識(shí)中從感性到理性的飛躍.

（1）模型法.模型是指模擬原型的形式，不包括原型的全部特征，但能描述原型在數(shù)量及空間形式方面的本質(zhì)特征.模型方法是以研究模型來揭示原型的形態(tài)、特征和本質(zhì)的方法，是邏輯方法的一種特有形式.由于數(shù)學(xué)是思維的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)概念里的模型主要是思想模型.思想模型是物質(zhì)模型在思維中的引申、根據(jù)建模的思想方法不同，又分為兩類：一類是以形象化方法構(gòu)建的具象模型，是人們在思維中通過對原型的簡化和純化而構(gòu)造出來的，具有一定的形態(tài)結(jié)構(gòu)特征；另一類是以抽象化方法構(gòu)建的模型，是人們抽象出原型某方面的本質(zhì)屬性而構(gòu)造出來的.例如“圓”來自于乒乓球、籃球、足球、太陽、月亮等.

（2）觀察實(shí)驗(yàn)法.觀察是積極的思維活動(dòng)和穩(wěn)定的有意注意，并借助經(jīng)驗(yàn)作用于人的感官對客觀事物進(jìn)行形象感知和反映，是一種系統(tǒng)的、較持久的知覺.觀察實(shí)驗(yàn)是學(xué)生獲得感性認(rèn)識(shí)的重要途徑.運(yùn)用實(shí)驗(yàn)展示有關(guān)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和過程，可使學(xué)生獲得典型、生動(dòng)、深刻且能反映事物數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)變化的感性認(rèn)識(shí).通過這種方法培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行有目的、有計(jì)劃的觀察，經(jīng)歷順序觀察、分部觀察、對比觀察的過程，發(fā)展分析、綜合、歸納、概括等思維能力.

（3）動(dòng)態(tài)圖法.斯涅普坎認(rèn)為，在未區(qū)分出事物的本質(zhì)特征和避開非本質(zhì)特征之前，是不可能對事物進(jìn)行歸納的.[4]教學(xué)中提供的標(biāo)準(zhǔn)形式、標(biāo)準(zhǔn)圖用一種無聲的語言給學(xué)生做出了限制數(shù)學(xué)概念對象的錯(cuò)誤暗示.動(dòng)態(tài)圖為數(shù)學(xué)概念提供豐富的變式圖形，用大量甚至無窮多（離散的或連續(xù)的）圖形給學(xué)生以感性認(rèn)識(shí)，創(chuàng)造出一種變化的、生動(dòng)的情境，促使學(xué)生通過觀察、思考變動(dòng)圖形中不變的性質(zhì)，從而歸納出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的意義.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，教師設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)圖形，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)、平移、分割、疊加等方法，直觀清晰地展示概念的發(fā)生、發(fā)展、變化、演變的過程，用形象闡釋邏輯思維中的抽象定義.通過動(dòng)態(tài)圖促使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)從片面到全面，從現(xiàn)象到本質(zhì)，從外部聯(lián)系到內(nèi)部聯(lián)系，由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，邏輯思維與形象思維共同作用，獲得更為豐富的經(jīng)驗(yàn)和更加直觀具體的概念圖像，在動(dòng)態(tài)變化中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).例如函數(shù)的奇偶性、周期性、連續(xù)性、可導(dǎo)性，圖形的中心對稱性、旋轉(zhuǎn)對稱性、軸對稱性.用動(dòng)態(tài)圖幫助學(xué)生理解劉徽的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓和體而無所失矣”極限思想，從而掌握極限概念.再比如說幫助學(xué)生理解不動(dòng)點(diǎn)的概念、定積分的概念等.

3.克服思維定式的消極作用.面對豐富的實(shí)例，學(xué)生進(jìn)行概括時(shí)，容易出現(xiàn)遺漏、擴(kuò)展、異化等錯(cuò)誤.學(xué)生對數(shù)學(xué)的思考往往來自于個(gè)別范例和具體活動(dòng).[5]所有的學(xué)習(xí)都涉及到原來經(jīng)驗(yàn)的遷移，遷移量是以學(xué)生帶到學(xué)習(xí)情境的原有知識(shí)為基礎(chǔ).[6]中學(xué)生（特別是初中學(xué)生）雖然處于邏輯思維開始居主導(dǎo)地位的年齡階段.[7]但是由經(jīng)驗(yàn)型的邏輯思維向理論型的抽象邏輯思維發(fā)展，具體的形象成分在思維過程中人起著很重要的作用，常常需要具體的、直觀的、形象的、感性經(jīng)驗(yàn)的支持，以排除理解、判斷、推理上的障礙.

思維定式表現(xiàn)為一種遷移，有積極作用的遷移和消極作用的遷移之分.積極的思維定式是人們把頭腦中已有的思維模式經(jīng)過批判、反思之后恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用到新的情境中，用于分析新的問題，促進(jìn)問題解決.消極的思維定式是人們將頭腦中已有的、習(xí)慣了的思維方式不加任何反思地，直接應(yīng)用到新的問題情境中，固守這種分析問題、解決問題的模式，從而降低了問題解決的效率，甚至不能解決問題.思維定式的消極作用主要表現(xiàn)在：（1）用原來審視數(shù)學(xué)概念的思維方法對待新概念.這種情況在觀察感知事物、分析、抽象、概括思維產(chǎn)物的各階段都可能存在.（2）盲目推廣.沒有分析具體情況，不加批判地、盲目地按已有經(jīng)驗(yàn)、結(jié)論、思想、方法對新概念進(jìn)行推廣.（3）思域狹窄化.在相對固定的領(lǐng)域里對數(shù)學(xué)新事物進(jìn)行思考.如在對二面角概念的理解總是在平面內(nèi)思考，在自然數(shù)領(lǐng)域內(nèi)思考無理數(shù).再如對“1-1+1-1+1-1+ΛΛ”的和認(rèn)識(shí)，有幾種觀點(diǎn)：一種認(rèn)為其和為1；一種認(rèn)為其和為0；還有認(rèn)為1和0是其和，1和0都不是其和，其和是別的數(shù).

4.明確概念間的邏輯關(guān)系.明確數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是數(shù)學(xué)概念所反映的對象、現(xiàn)象、過程所特有的本質(zhì)屬性；數(shù)學(xué)概念的外延式具有數(shù)學(xué)概念所蘊(yùn)含本質(zhì)屬性的全體對象.明確數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延之間的反變關(guān)系.明確數(shù)學(xué)概念間主要的幾種關(guān)系：全同關(guān)系、從屬關(guān)系、交叉關(guān)系和全異關(guān)系.明確給數(shù)學(xué)概念下定義必須滿足定義要相稱、不能惡性循環(huán)、一般不用否定形式、應(yīng)簡明的基本要求.運(yùn)算、操作是數(shù)學(xué)思維發(fā)生之處，是完整概念形成的基石，它為學(xué)生理解領(lǐng)會(huì)提供了必要條件.[8]

5.建構(gòu)概念網(wǎng)絡(luò).任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都不是孤立的.對相鄰概念與新概念的屬性進(jìn)行比較、分析、辯證，概括出它們的共性及邏輯關(guān)系，建立概念網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生的分析思維和辯證思維能力.概念網(wǎng)絡(luò)為學(xué)生提供了一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言的形式和建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的有效手段，有利于對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行整合，有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，能較好地提高學(xué)生數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)化的程度，從而建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)主要表現(xiàn)概念間的主要聯(lián)系，反映各概念的出現(xiàn)順序，概念間的邏輯關(guān)系，演變形態(tài)和屬性變化.公理化體系是這種系統(tǒng)性的最高反映.例如，多邊形就可形成一種立體結(jié)構(gòu)的概念網(wǎng)絡(luò)，它是“譜系”與“蛛網(wǎng)”的混合.[9]已知概念在“高觀點(diǎn)”下有所發(fā)展，如平行線是交于無限遠(yuǎn)點(diǎn)的直線，因而平行線也可以看作是“角”的兩邊；柱面可以看作頂點(diǎn)在無限遠(yuǎn)處的“錐面”.又如廣義梯形可以包括梯形（課本給出的形式）、三角形（截線之一過角的頂點(diǎn)）、平行四邊形（“角”的頂點(diǎn)在無限遠(yuǎn)點(diǎn)）.

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作者簡介：李紅梅（1979-），女，四川樂至縣人，碩士，講師，研究方向：主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究；張曉梅（1971-），女，四川達(dá)州市人，講師，碩士，研究方向：主要從事概率論及應(yīng)用統(tǒng)計(jì)研究。