變力作用下的動(dòng)能定理分析

陳亞蘭

（興義市第五中學(xué) 貴州 興義 562400）

眾所周知，在《全日制普通高中物理新課程標(biāo)準(zhǔn)》中，三維目標(biāo)的過(guò)程與方法提到［1］：通過(guò)物理概念和規(guī)律的學(xué)習(xí)過(guò)程，了解物理學(xué)的研究方法，認(rèn)識(shí)物理實(shí)驗(yàn)、物理模型和數(shù)學(xué)工具在物理學(xué)發(fā)展過(guò)程中的作用.可見(jiàn)，對(duì)用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題提出了較高的要求.高中學(xué)生已經(jīng)具備了微積分的初步知識(shí)，用微積分求解有關(guān)高中物理習(xí)題成為可能［2］.曾經(jīng)有的教師在課堂上應(yīng)用微積分進(jìn)行題解，出現(xiàn)了學(xué)生反而聽(tīng)得更加精神的狀況［1］.課后了解不少學(xué)生也反映.用微積分解題感覺(jué)很新鮮，感嘆說(shuō)“爽”.在平時(shí)作業(yè)中，個(gè)別聰明的學(xué)生也會(huì)用微積分進(jìn)行題解.

本文利用微積分導(dǎo)出變力作用下的動(dòng)能定理，從而拓展動(dòng)能定理的推導(dǎo)新條件和教學(xué)新環(huán)境.主要圍繞兩個(gè)方面進(jìn)行論述，一是物體運(yùn)動(dòng)軌跡為直線(xiàn)時(shí)，變力作用下動(dòng)能定理的理解；二是物體運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線(xiàn)時(shí)，變力作用下動(dòng)能定理的分析.

1 直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理

高中物理課本中的動(dòng)能定理，是根據(jù)牛頓第二定律和勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律推導(dǎo)而得的［3］.外力對(duì)物體做功是一個(gè)過(guò)程量，直接度量為狀態(tài)量的動(dòng)能改變量，即W＝ΔEk.只要考慮這一點(diǎn)，就很容易把問(wèn)題解決.

一質(zhì)量為m的金屬球從離地面高h(yuǎn)處自由落下，陷入沙坑中L深處，如圖1所示.在陷入沙子的過(guò)程中，用動(dòng)能的狀態(tài)量值可以求出平均阻力為f（變力）.綜合知識(shí)得

根據(jù)動(dòng)能定理，可以得

圖1

2 曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理

能量是物體狀態(tài)的單值函數(shù)［4］，力對(duì)物體所做的功是空間積累效應(yīng)的過(guò)程量.如果物體的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線(xiàn)，則空間積累量的功不考慮其復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，只考慮狀態(tài)動(dòng)能的改變量即可確定其值.在此，復(fù)雜的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，為使問(wèn)題一目了然，得引入元功，利用積分導(dǎo)出變力作用下的動(dòng)能定理.

當(dāng)物體在變力F作用下，從a點(diǎn)沿曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，我們用va和vb分別表示起始速度，如圖2所示.物體在F的作用下發(fā)生一無(wú)限小的位移（其大小為dr），則元功為dA＝Fcosθdr.物體從a點(diǎn)沿曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過(guò)程中，變力F做的功通過(guò)積分可以得

圖2

根據(jù)牛頓第二定律，進(jìn)行微分處理，其中

經(jīng)過(guò)整理得變力作用下，物體沿曲線(xiàn)軌跡運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理，即

3 總結(jié)

在直線(xiàn)和曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中，變力作用下，都可以利用動(dòng)能定理進(jìn)行處理問(wèn)題.這是一個(gè)可用狀態(tài)量求解過(guò)程量的物理問(wèn)題，使問(wèn)題處理簡(jiǎn)單化，具體復(fù)雜的過(guò)程不要考慮.當(dāng)A＞0時(shí)，作用于物體上的合外力做正功，結(jié)果是使物體增加了動(dòng)能；當(dāng)A＜0時(shí)，作用于物體上的合外力作負(fù)功，結(jié)果是使物體減少了動(dòng)能.

以上分析表明，動(dòng)能定理適用于物體的任何運(yùn)動(dòng)過(guò)程，物體在外力的持續(xù)作用下，經(jīng)歷某一段路程，不管外力是不是變力，也不管物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何復(fù)雜，合外力對(duì)物體作的功總是取決于物體始末動(dòng)能之差的負(fù)值.功可以被看作是物體在相互作用過(guò)程中交換的能量，能量也可被看作是物體在某一狀態(tài)下儲(chǔ)存起來(lái)的、潛在的功.

1 張振.在高中物理中應(yīng)用微積分的研究.物理教師，2010，31（9）：6～7

2 蔣軍，袁海泉.用微積分解答高中物理問(wèn)題的價(jià)值.物理通報(bào)，2010（10）：30～32

3 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū).物理·必修2.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2010.25～26

4 程守洙，江之永.普通物理學(xué)（上冊(cè)）.北京：高等教育出版社，2009.69～71