機械波動能與勢能同步問題的深入分析

張棲寧 馮 杰 蘇秋霞 湯奕楠

（上海師范大學數理學院 上海 200234）

1 機械波的定義及其產生的條件

機械振動在彈性介質中的傳播稱為機械波.在彈性體內部的機械波的產生條件：我們一般把彈性體稱為彈性介質，在彈性介質中，各質點間是以彈性力互相聯系著的.如果介質中有一個質點A，因受外界擾動而離開其平衡位置，A點周圍的質點就將對A作用一個彈性力以對抗這一擾動，使A回到平衡位置，并在平衡位置附近做振動.與此同時，當A偏離其平衡位置時，A點周圍的質點也受到A所作用的彈性力，于是周圍質點也離開各自的平衡位置，并使周圍質點對其鄰接的外圍質點作用彈性力，從而由近及遠地使周圍質點、外圍質點以及更外圍的質點，都在彈性力的作用下陸續振動起來.這就是說，介質中一個質點的振動引起鄰近質點的振動，鄰近質點的振動又引起較遠質點的振動，于是振動就以一定的速度由近及遠地向各個方向傳播出去，形成波動.由此可見，機械波的產生條件為：一是要有做機械振動的物體，亦即波源；二是要有能夠傳播這種機械振動的介質，只有通過介質質點間的相互作用，才可能把機械振動向外傳播［1］.

2 機械波的能量

眾所周知，機械波在傳播機械振動這種運動形式的同時也伴隨著振動能量的傳遞，所以波的傳播過程既是振動的傳播過程，又是能量的傳遞過程.那么機械波的能量是怎樣產生又有什么特點呢？

2.1 機械波能量的來源

當波在介質中傳播時，介質中的所有質元都在各自的平衡位置附近振動，每個質元都具有振動速度，所以具有動能；同時由于介質元都發生壓縮或伸張形變（縱波）或切形變（橫波），介質因而具有彈性勢能.動能和勢能的總和就是該介質元的總機械能.因此波傳到哪里，哪里就有機械能.這些機械能來自于波源.在介質元不遷移的情況下傳遞能量是介質波動的基本性質.那么介質中各質點是否與做簡諧運動的諧振子一樣機械能守恒呢？

2.2 機械波的能量公式

下面以簡諧縱波在一棒中沿棒長方向傳播為例，推導出波的能量公式.

圖1 棒中波動的分析

如圖1所示，取x軸沿棒長方向，設波動方程為

式中u為波傳播的速度.在波動過程中，棒中每一小段將不斷地壓縮和拉伸.

在棒上任取一體積元（注意：是體積元，而不是質點）BC，體積dV，棒在平衡位置時，B，C坐標分別為x和x＋dx，即BC長為dx.設棒的橫截面積為S，質量密度為ρ，體積元能量為dW＝dWk＋dWp.

其中，體積元的動能為

式（1）中的v為棒上體積元振動的速度.勢能由以下推導求得：設t時刻，A 和B端位移分別為y，y＋dy，所以，體積元伸長量為dy.設在體積元端面上由于形變產生的彈性恢復力大小為f，可知，協強為，根據我們熟知的胡克定律，按照楊氏彈性模量定義，有

式中Y為楊氏彈性模量.則有

按照胡克定律，在彈性限度內彈性恢復力值為

從機械波能量的公式可以看出，質元的動能和勢能兩者相位一致，動能與勢能同時達到最大或最小，同處達到最大或最小，即機械波動能與勢能同步.而且在波的傳播過程中，介質中每個質元的機械能不守恒，而是隨時間變化的［2］.

2.3 機械波動能與勢能同步

為了更形象、更深刻地理解“機械波傳播的介質中各體元的動能和勢能問題”，筆者從定性方面討論一下波動中能量的變化過程.為簡明計，只討論平面簡諧橫波在各向同性均勻介質中傳播時的情況，如圖2表示橫波在介質中的傳播（由于介質各向同性，只討論一個平面的情況）的放大圖.

圖2 體元處于平衡位置

在介質內任取一小體元dV（宏觀足夠小，微觀足夠大），其平衡位置為A，當波在介點中傳播時，該體元在位置A附近上下振動，由于具有振動速度，產生振動動能dEk；在振動的同時，體元dV發生形變，具有形變勢能dEp，體元中總能量dE＝dEk＋dEp.

（1）當體元dV處于平衡位置A時（如圖2），其振動速度v達最大，因而動能dEk∝v2達最大；同時，由于A處于左右兩平面的位移方向相反，相互拉伸，因而相對形變最大，而勢能dEp∝δ2（其中δ表示形變），所以此時勢能也最大.

（2）當體元dV處于最大位移時（如圖3），振動速度v＝0，因而dEk＝0，此時，體元內部各部分位移相等且同向，形變為零，因而dEp＝0.

圖3 體元處于最大位移

（3）體元dV處于平衡位置與最大位移之間的一般位置時（如圖4），動能和勢能同時增大，同時減小，任一時刻兩者都有相等的值.

圖4 體元處于一般位置

因此，質元的動能和勢能兩者相位一致，動能與勢能同時達到最大或最小，機械波動能與勢能同步.體元總能量dE是時刻在變化的.在平衡位置時，體元從附近介質中吸收能量，能量達到最大值；到最大位移處，體元放出能量，減小為零［3］.這樣，體元就與其附近體元交換能量.因此，波動過程也是能量傳播過程，能量沿波的方向傳播出去.

另外，大家都知道，在簡諧波中，介質中各部分由于彈性力的作用，依次重復振源的振動，并依此導出簡諧波的表達式，但介質內各部分的振動并不完全與簡諧振子的振動相同.因為簡諧振子系統是一個孤立的系統，彈簧振子或扭擺等振動系統中線性回復力為彈性力（或力矩），它們是保守力（或力矩），所以簡諧振動系統的總機械能守恒.對單個諧振子，當動能最大時，勢能最小為零，當勢能最大時，動能最小為零.而波動中介質各部分就不能看作一個孤立的系統，每一部分都與附近的介質有相互作用，能量時刻在變化，波的傳播過程中，介質中的任一質元與其鄰近的質元之間在不斷進行能量交換，機械能不守恒，正表明波的傳播過程也是能量的傳播過程.而且在能量的表達式中，含有行波的相位傳播因子（ωt －kx ），因此能量傳輸速度等于波的相速度

所以相位傳播 —— 運動狀態傳播 —— 能量傳輸，三者是一致的［4］.

2.4 機械波能量傳遞的本質

能量的傳遞必須通過做功過程而實現，機械波的能量傳遞也不例外.

圖5 機械波的傳遞

圖5所示為一列沿繩子向右傳播的簡諧橫波在某一時刻的波形圖.A，B，C為繩子上3個相鄰的質點.由于波是由A傳向B，再傳向C的，所以B質點的振動是由于A質點的振動使繩子發生形變而產生的彈力F帶動的.很明顯，這個彈力對A做負功而對B做正功，使A質點不斷釋放能量，而使B質點不斷吸收能量，使能量從A傳遞給B.同理C質點又是B質點帶動的，因此B質點又不斷地向C質點傳遞能量.但應該注意每一質點在任一小段時間ΔtΔt→0（）內，從前一質點吸收的能量并不等于向后一質點釋放的能量.如圖5中的質點B，此時由于兩側介質的形變大小不同，兩側質點A，C對它的彈力也就不同，左側形變小、彈力小，右側形變大、彈力大，因此在這一時刻附近的一小段Δt（Δt →0）內，A對B做正功小于C對B做的負功，也就是說B從A吸收的能量小于B向C釋放的能量.因而B向上離開平衡位置的過程中總能量是減少的.同理，在B返回平衡位置的過程中總能量又是增加的.這樣通過介質之間相互作用力做功，使每一質點周期性的積累能量和釋放能量實現了能量隨波的傳遞［5］.

綜上所述，機械波在傳播過程中，每一時刻介質中各處的能量（嚴格來說是能量密度）在波的傳播方向上呈現周期性的分布，是不均勻的，而每一質點的能量也是隨時間周期性變化的，是不守恒的.能量的傳播是通過質點之間的相互作用力做功來實現的.

在關于“機械波傳播的介質中各體元的動能和勢能同步”的問題上，大多數課本中只是運用數學公式導出“動能和勢能同時達到最大，又同時減小為零”的結論，同學們往往不能達到較深層次的理解.本文定性地討論了波動中能量的變化過程，從而使學生對機械波動能與勢能的同步、在波的傳播過程中，介質中每個質元的機械能不守恒、波的傳播過程也是能量的傳播過程以及機械波能量傳遞的本質等問題有較好的體會和認知，而不只是死記硬背結論.

1 戚伯云，楊維纮.力學.北京：科學出版社，2011.242～243

2 馮杰.大學物理專題研究.北京：北京大學出版社，2011.126～129

3 漆安慎，杜嬋英.力學.北京：高等教育出版社，2005.342～344

4 徐銘.怎樣理解機械波的能量.教材教法，2005，34（5）：14～15

5 楊周林.淺談機械波的能量及其傳遞.物理教師，1999，20（7－8）：42