淺談高等數學教學與實際問題的結合

方賀男+陶志闊+王祥夫

摘要：高等數學是理工科專業學生的基礎課程，可以為實際問題的學習和研究提供幫助。本文針對高等數學的教學進行了思考，以具體問題為例，闡述了如何提高學生學習高等數學的興趣，并將知識靈活運用到應用科學問題中。

關鍵詞：高等數學；應用科學問題；理論基礎應用

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）35-0087-02

《高等數學》是理工科專業的一門理論性較強的自然科學基礎課程，是后繼很多基礎課程和專業課程必不可少的基礎知識。通過學習高等數學的基本概念、基本原理，可以使學生在數理基礎方面具有一定的理論水平，進而提高學生的基礎應用能力。高等數學涵蓋的內容十分豐富，包括函數與極限、一元函數、多元函數和復變函數的微積分、向量代數與空間解析幾何、級數、常微分方程等，這些內容在一些應用科學問題中有非常廣泛的應用。然而，很多學生感覺高等數學的學習十分枯燥、乏味，無法提起學習興趣。因此，能夠在講解高等數學時結合應用科學問題，會提高學生的學習興趣，進而鞏固其對于高等數學的掌握。職是之故，將培養數學思維方法與解決實際問題的能力相結合是當前高等數學教學需要關注的問題。我們在物理電子類課程的教學中對于高等數學課程和實際問題之間的促進作用有著一定的體會，如果學生高等數學學習得比較好，學習一些內容如魚得水，這體現了高等數學對于解決實際應用問題的促進作用；在學習物理電子類課程中，有些同學反映對于以前學習得高等數學知識有了更深的理解和體會，甚至之前幾乎完全不懂的數學概念現在懂了，這體現了實際應用問題的講解對于高等數學學習的促進作用。下面就幾個具體的例子來闡述如何在高等數學的教學中結合實際問題。

一、單擺問題

在高中物理里，學生們就已經學習過了單擺問題。然而，由于高等數學知識的缺乏，學生們只能死記硬背單擺的周期公式，即T=2π（L/g）1/2，其中L是單擺的擺長，g是重力加速度。這十分不利于學生對于單擺問題和簡諧運動的深刻理解。因此，在高等數學講到常微分方程時，甚至在講到微分時，就可以把單擺問題作為微積分的實際應用講解給學生。可以參考如下講法，即先根據牛頓第二定律將質點的運動方程列出，通過小角近似得到一個二次微分方程。這時，既可以利用常規的常微分方程解法來解這個方程，也可以利用觀察法得到該方程的解是余弦函數，從而得到單擺的周期。通過單擺問題的求解，既令學生對于高等數學中的微積分和解常微分方程的知識得到了鞏固，又令學生對于高中物理里的單擺問題加深了理解。

二、流體中運動物體的速度問題[1]

流體的范圍很廣，包括空氣、水等氣態或者液態的物質。可以這么說，現實生活中的物體運動絕大多數都是在流體中進行的。因此，流體中運動物體的速度問題是十分具有實際背景和應用價值的。在這類問題中，流體阻力的影響分析是關鍵。根據實驗和理論分析，我們知道流體阻力Fd=1/2CdAρv2，其中Cd是曳引系數，A是有效截面積，ρ是流體密度，v是物體相對于流體的運動速度。物體在流體中下落，受到重力和流體阻力，所以總受力為F=mg-1/2CdAρv2。物體所受力平衡時的速度定義為終極速度，因此可以解得終極速度為vT=（2mg/CdAρ）1/2。利用上面這個表達式，我們可以把運動方程寫成dv/dt=g（1-v2/vT2），進一步改寫為（dv/dz）（dz/dt）=g（1-v2/vT2），又因為dz/dt=v，所以有dv2/（1-v2/vT2）=2gdz，取初始條件z=0，v=0，兩邊積分得v2=vT2[1-exp（-z/zc）]，其中zc=m/CdAρ。這個解說明流體中運動物體的速度永遠達不到終極速度，但是隨著運動的進行，會以指數方式趨近于終極速度。該問題的解決依賴于學生對于微分定義的理解和靈活運用以及如果通過積分來求解微分方程的能力，對于學生微積分的學習大有裨益。

三、平面靜電場的復勢問題[2]

在工程技術中往往要解決很多平面矢量場的問題，例如平面靜電場等。由于是平面矢量問題，因此需要用兩個變量來描述該類問題，換句話說，需要用兩個函數來描述這個平面場的性質。在場論中，通常用一對共軛調和函數來描寫。這說明描述平面矢量場的兩個函數構成的復變函數是解析函數，于是人們利用解析函數的理論來統一研究平面場的性質，這不僅使得問題的表達形式比較緊湊，而且常常會引出新的結果。而在平面靜電場問題中，電通和電勢均是調和函數，即滿足拉普拉斯方程，因此由電通量作實部、電勢作虛部組成的函數是解析函數，可以描述平面靜電場的性質。該解析函數通常稱為平面靜電場的復勢。通過分析不同解析函數所代表的平面靜電場，可以令學生對于復變函數中的模、輻角等的物理意義有比較深入的了解，同時對于解析函數的定義、解析函數和共軛調和函數間的關系、柯西-黎曼定理以及拉普拉斯方程等內容可以融會貫通。所以，在高等數學復變函數教學時能夠結合該問題加以分析討論，對于學生的復變函數內容的掌握具有重要的意義。

四、放大電路的頻率響應問題

放大電路的頻率響應是模擬電子線路課程的重要內容，也是一些電子器件研制時重要的理論依據，比如著名的相移反饋振蕩器就是利用了頻率響應。我們在模擬電子線路課程的教學中深深體會到，有些學生對于復變函數的學習不夠靈活和圓融，因此在講解放大電路的頻率響應時學生學得比較吃力。所以，如果高等數學在講解復變函數時，可以將放大電路里的高通電容電阻電路和低通電容電阻電路作為一個實際例子來講解的話，可以讓學生充分理解復變函數的意義，也會對復變函數的作用有一定的體會。在歷史上，相移反饋振蕩器就是利用電容電阻電路由斯坦福大學的兩位學生開發的，并用其制成了一批可變頻聲音發生器，賣給了沃爾特·迪斯尼公司，而相移反饋振蕩器的原理用簡單的復變函數和微積分的知識就可以讓學生明白。這會大大激發學生對于學習高等數學的興趣和動力。以上的4個問題是高等數學教學中關于微積分和復變函數部分與實際應用問題相結合的實例。縱觀高等數學的全部內容，還有很多地方可以與實際應用問題相結合，比如級數展開對于量子力學中的微擾問題的應用、高斯定理對于電動力學中靜電場的散度方程的應用等等。因此，高等數學的教學需要教師有針對性地精心挑選和設計有助于學生理解和掌握高等數學內容的各種有啟發作用的實際應用問題，這里就不一一贅述。

總之，我們淺談了高等數學教學與實際應用問題相結合的教學方法。有助于學生后續課程的學習。更重要的是，該教學方法能夠激發學生學習的興趣和主動性，提高了課堂教學效率，乃至于促進了學生們對于科學知識的向往和尊敬。需要注意的是，在教學過程中，教師應該注意掌握課堂內容的主次，在時間上對于基礎理論和實際問題的講解做合理的分配。我們相信隨著高等數學等基礎科學課程教學的進步，我國的高等教育會在21世紀有長足的發展。

參考文獻：

[1]盧德馨.大學物理學[M].第2版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]邵惠民.數學物理方法[M].北京：科學出版社，2004.

基金項目：南京郵電大學引進人才科研基金啟動項目（NY213025）；南京郵電大學教學改革研究項目（JG03313JX73）。endprint