淺析運用導數求解函數最值

趙琴妹

摘 要 函數的最值問題在經濟生活中具有實際意義。本文根據多年教學經驗，選擇了經濟生活中常見的最值問題進行了詳細的分析，并對其求解方法進行了探析。

關鍵詞 函數最值 應用 經濟生活

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

On the Use of Derivatives for Solving the Most Value Function

ZHAO Qinmei

（Hami Coal Secondary Vocational School， Hami， Xinjiang 839003）

Abstract Function most value problem has practical significance in economic life. Based on years of teaching experience， choose the economic life of the most common questions the value of a detailed analysis， and explores its solving methods.

Key words most function value； application； economic life

在經濟生活中，往往需要在一定經濟條件下合理配置資源，使得投入最小，產出最多，效益最高，也經常會遇到求利潤最大化、用料最省、效率最高等問題。這些經濟生活問題通常都可以轉化為高等數學中函數問題來探討，進而轉化為求函數中最大（小）值的問題。以導數知識為工具研究函數的極值，導數作為強有力的工具提供了簡單、程序化的方法，具有普遍的可操作方法。

解決函數極值問題關鍵在于建立數學模型和目標函數。把“問題情景”譯為數學語言，找出問題中的主要關系，并把問題的主要關系近似化，形式化，抽象成數學問題，再劃歸為常規問題，選擇合適的數學方法求解。一般步驟有：（1）解有關函數最大值、最小值的實際問題，需要分析問題中各個變量之間的關系，找出適當的函數關系式，并確定函數的定義區間；所得結果要符合問題的實際意義。（2）根據問題的實際意義來判斷函數最值時，如果函數在此開區間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較。（3）相當多有關最值的實際問題用導數方法解決較簡單。

1 最大利潤問題

即當彩電售價為 = 4200元時，其需求彈性為富有彈性，此時適當降價不僅能增加銷售量，擴大該企業的彩電在銷售市場上占有的份額，同時也能減少產品的庫存積存，減低庫存成本，增加銷售收入，給企業帶來經濟效益。

在此例中，通過教學的積極引導和支持，學生對這一類應用題的解法有了一個清晰的認識。在講解時需要強調對函數求導和極值問題的分析和應用，需要學生熟練掌握函數求導。通過以上典型例題的研究和分析，能夠讓學生對利用導數求解極值問題有初步的認識，為接下來的學習奠定堅實的基礎。

2 經濟批量問題

經濟批量問題是確定合理采購進貨的批量，使庫存費用和采購費用之和最小。如圖1所示：

圖1

如果某種商品的全年需求量為，全年分批采購，批量為，庫存量為，為每采購一批貨物所需要的采購費用，表示一個單位貨物庫存一年所需費用，為時間，為進貨周期，則全年平均庫存量為最大庫存與最小庫存之和的平均數。若表示全年采購次數，則其在數值上等于全年需求量與批量的商。

例2：某廠生產某種產品，其年銷售量為100萬件，每批生產需要增加準備費1000元，而每件的一年庫存費為0.05元.如果年銷售率為平均的，且上批售完后立即生產出下批（此時商品的庫存數為批量的一半），問應分為幾批生產，能使采購費用及庫存費之和最小？

問題分析：此題的易錯點是對題目理解不透徹，概念理解有偏差，對采購費用、總費用、庫存費用三者之間的關系理解不清，計算錯誤。關鍵是確定總費用的構成要素，根據各個構成要素確定求解方法。

即分5批生產，總費用最小。

例二在實際生活中不是很常見，在解決導數與數學建模問題時，首先要注意自變量的取值范圍，即考慮問題的實際意義。解決問題的過程實際上是一個典型的數學建模過程，所以對此定義和公式須給予詳細的解釋和說明，要引導學生注重把實際問題抽象成數學問題，并選擇適當的方法求解，要考慮符合問題的實際意義，掌握此類題型解題的基本步驟。

例3：某房地產公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去。當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費。試問房租定為多少可獲得最大收入？

問題分析：當租金定為每月180元時可全部出租，但租金可能太低，當月租高于180元會有房子租不出去，所以為了獲得最大收入，要找最佳租出點。

解：設房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為：

當 = 0時，= 350（唯一駐點），故每月每套租金為 350 元時收入最高，最大收入為=（）（）=10890（元）。

例3跟生活結合非常緊密，首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當的函數關系，并確定函數的定義域，核心問題是建立適當的函數關系。再通過研究相應函數的性質，提出優化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數是一個有力的工具。根據題意建立目標函數，尋找各個條件之間的聯系，讓學生充分利用已學知識去分析解答此類問題，對提高學生的邏輯思維能力和推理能力具有重要意義。

3 總結與反思

在實際應用當中，求解最值問題時首先要建立目標函數，要認真分析問題中各個變量之間的關系，找出適當的函數關系式，也就是建立適當的數學模型，以更好地匹配實際問題，從而利用導數來得到實際問題的解。在求實際問題的最值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應舍去。

根據目標函數求解極值，求駐點和不可導點，求區間端點及駐點和不可導點的函數值，比較大小，哪個最大就是最大值，哪個最小就是最小值。若目標函數只有唯一駐點，則該駐點函數值為所求極值。即如果區間內只有一個極值，則這個極值就是最值。

通過對以上三個例題的探究，促進學生分析問題、解決問題以及數學建模能力的提高。讓學生體會到了數學來源于生活，又應用于生活。通過生活中極值問題的求解，體會了導數在解決實際問題中的作用，促進了學生全面認識數學的科學價值和文化價值。

總之，導數在解決現實生活中的很多問題時使用非常方便，尤其是可以使用導數解決生活中的很多優化組合的問題，這些問題轉化為求函數的最值問題，運用導數求解，很大程度上簡化了我們的過程，縮短了步驟，起著非常重要的作用。還可以與解析幾何相聯系，可以在知識網絡交匯處設計問題。因此，在實際生活中，要學會應用導數的作用。

參考文獻

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