電磁感應中導線切割引起的穩定問題分析

(南京市金陵中學，江蘇 南京 210005)

1 單個導體棒切割引起的穩定問題

(1)僅單個導體棒切割

圖1

例1 如圖1所示，U形導體框架寬L=1m，與水平面成α=30°角傾斜放置在勻強磁場中，磁感應強度B=0.2T，垂直框面向上．在框架上垂直框邊放一根質量m=0.2kg、有效電阻R=0.1Ω的導體棒ab，從靜止起沿框架無摩擦下滑，設框架電阻不計，框邊足夠長，取g=10m/s2．求：

①ab棒下滑的最大速度vmax；

②在達到最大速度時，ab棒上釋放的電功率．

所以，導體棒從靜止開始運動，且回路一直閉合，導體棒做加速度逐漸減小的變加速運動，導體穩定狀態為勻速運動狀態.

(2)直流電源與單個導體棒切割

圖2

例2 如圖2所示，水平放置的U形金屬框架中接有電源，電動勢為E，內阻為r0，框架上放置一質量為m、電阻為R的金屬桿，它可以在框架上無摩擦地滑動，框架兩邊相距L，勻強磁場的磁感應強度為B，方向豎直向上．當ab桿受到水平向右足夠大的恒力F后．求ab棒可以達到的最大速度vmax.

解析:一開始ab棒受到水平向右的力F、水平向左的安培力FB,因為力F足夠大，所以ab棒向右加速運動，之后ab棒切割磁感線產生的感應電動勢E2與直流電源E順向連接，故回路中的電流方向為從a流向b．

例3 上題中，若磁場反向，分析ab棒的運動情況.

解析：一開始ab棒受到水平向右的力F、水平向右的安培力FB，所以ab棒向右加速運動，之后ab棒切割磁感線產生的感應電動勢E2與直流電源E反向連接.

ab棒的受力方程為:F+BIL=ma,

顯然，穩定后ab棒切割磁感線產生的感應電動勢E2比直流電源E大，安培力已反向.

2 兩個導體棒切割引起的穩定問題

(1)兩個導體棒反向切割

圖3

例4 兩金屬桿ab和cd長均為L，電阻均為R，質量分別為M和m，且M>m.用兩根質量和電阻均可忽略不計的柔軟金屬絲把它們連成回路，并懸掛在水平、光滑絕緣棒上(如圖3)，兩金屬桿水平，整個裝置處在一與回路平面垂直的勻強磁場中，磁感應強度為B.若金屬桿ab從靜止開始下落，分析金屬桿ab的運動情況.

ab棒的受力：豎直向下的重力，豎直向上的安培力，豎直向上的繩的拉力，加速度向下.

cd棒的受力：豎直向下的重力，豎直向下的安培力，豎直向上的繩的拉力，加速度向上.

設運動的加速度大小為a，ab棒受力方程為：Mg-BIL-T=Ma，cd棒受力方程為：

所以，當導體棒反向切割時，分別產生的電源為順接，穩定后棒所受的合力為零，兩棒均做勻速運動.

(2)兩個導體棒同向切割

例5 兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間的距離為L，導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構成矩形回路，如圖4所示，兩根導體棒的質量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻不計，在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B，設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行，開始時棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0.若兩導體棒在運動中始終不接觸，分析金屬桿ab的運動情況，并求在運動中產生的焦耳熱是多少？

圖4

解析：棒ab棒向右運動，切割磁感線產生由b到a的電流，受向左的安培力作用減速，cd棒受向右的安培力作用向右加速運動.同時，兩棒會產生反接的電動勢.所以穩定時兩棒均應做勻速直線運動，回路中應沒有電流，此時，回路中的磁通量應不發生變化.兩棒所受的安培力任何時刻均為等值反向，所以系統動量守恒.

例6 光滑平行金屬導軌如圖5所示，軌道的水平部分bcd位于豎直向上的勻強磁場中，bc部分的寬度為cd部分寬度的2倍，bc、cd部分軌道足夠長，將質量都為m的金屬棒P和Q分別置于軌道上的ab段和cd段，P棒位于距水平軌道高為h的地方，放開P棒，使其自由下滑，求P棒和Q棒的最終速度及回路中所產生的電能.

圖5

解析：棒P下滑的過程，回路中沒有電流，機械能守恒.

其后的運動過程分析與例5相同，只是兩棒所受的安培力不同，所以整個過程系統的動量不守恒，還有，穩定后回路中沒有感應電流，bc部分的寬度與cd部分寬度不同，所以此時兩棒的速度不等.

所以導體棒同向切割，分別產生的電源為反接，若棒所受其他力作用為零，安培力也應為零，所以回路中沒有感應電流，兩棒均做勻速運動.

圖6

例7 在水平面上間距為L的兩根平行光滑的金屬導軌間有一豎直向下的勻強磁場(如圖6)，金屬棒ab和cd擱置在導軌上，并始終垂直于導軌，導軌的左端接一電阻R，ab和cd棒電阻也均為R，當ab在外力作用下勻速向右以速度υ運動時，cd棒達到穩定時的速度為多少？此時作用在ab棒上水平向右的外力F為多大？.

導體處于穩定狀態，一般是指導體的速度不變的狀態，通常根據運動情況判斷回路中的電流方向，再分析導體棒的受力情況，討論其加速度變化的情況，穩定后根據合力為零以及變化過程中遵循的規律求解.

參考文獻：

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