數(shù)學(xué)問題設(shè)計的方法

繆任祥

摘 要： 重視數(shù)學(xué)問題的設(shè)計，引發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)生開動腦筋，有利于學(xué)生更好地理解知識，提高能力.設(shè)計問題要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，要有效，具有啟發(fā)性；問題不能過于抽象、形式化和書面化，學(xué)生會感到無法回答.本文結(jié)合直線的斜率和二元一次不等式表示的平面區(qū)域兩個教學(xué)片段，提出數(shù)學(xué)問題的設(shè)計要富有啟發(fā)性、層次性和系統(tǒng)性.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)問題 設(shè)計方法 啟發(fā)性 層次性

哈爾莫斯有句名言：“問題是數(shù)學(xué)的心臟！”

課堂上，數(shù)學(xué)問題是引發(fā)學(xué)生思維與探究活動的向?qū)?有了問題，才能激發(fā)學(xué)生的好奇心，有了問題才能啟動學(xué)生的思維，有了問題，學(xué)生的探究才能真正有效，學(xué)習(xí)才能有持續(xù)的動力.通過問題，能夠把知識的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).在解決問題的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并且有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)[1].

一、化抽象為具體，有啟發(fā)性

抽象的知識內(nèi)容單調(diào)枯燥，令人費(fèi)解，一旦變成形象直觀的知識，就容易記憶.教師通過把抽象的知識設(shè)定成具體的問題，讓抽象的知識具體化，學(xué)生就會樂于學(xué)習(xí).

[教學(xué)片段1]直線的斜率

問題1：經(jīng)過一點(diǎn)可以畫出多少條直線？如何確定其中的一條直線呢？請畫圖說明.

生：有無數(shù)條，沿著確定的方向就可以確定直線的位置，或者選取直線上另外一個點(diǎn)就可以確定該直線的位置.兩點(diǎn)可以確定一條直線，如圖（1）所示.

師：很好！

問題2：直線的方向和直線上兩個點(diǎn)的坐標(biāo)有何關(guān)系呢？

生：（思考，感到困惑）

師：（提示，類比）樓梯或路面的傾斜程度可用坡度刻畫，如圖⑵，⑶坡度與高度成正比，與寬度成反比，即：坡度= .

（1）？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖（2）？搖 ？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖（3）

（4）？搖 ？搖？搖？搖？搖？搖（5）

（6）？搖？搖？搖？搖 ？搖（7）

現(xiàn)在，將直線放到平面直角坐標(biāo)系中，如圖⑷在直線上任意取兩點(diǎn)P（x ，y ），Q（x ，y ），類比坡度，我們用比值 表示直線的傾斜程度，記k= .此時，k>0仍然沒有脫離具體的情景，高度，寬度，具體的點(diǎn)P，Q.因而需要去情景化，公式中x -x ，y -y 是對應(yīng)的坐標(biāo)之差，不必考慮長度或距離[2].如圖⑹中比值k<0，當(dāng)直線垂直于軸時，k=0.所以，k∈R，對于一條不與軸垂直的直線它的斜率是一個定值.這個比值由直線本身所決定，與所取點(diǎn)的位置無關(guān).

此時，我們稱k= 為直線的斜率.

規(guī)定，當(dāng)直線垂直于x軸時斜率不存在，如圖（5）.

如果把直線的斜率看成是直線上的兩個點(diǎn)坐標(biāo)之差的比值，那是用一個“數(shù)”來刻畫直線的方向；現(xiàn)在，我們思考怎樣從“幾何”的角度理解直線的方向？

問題3：在平面直角坐標(biāo)系中如何理解直線的方向？圖（7）中三條直線的方向有何不同，怎樣描述？

生：相對于x軸的傾斜程度不同.

師：選擇哪一個角為傾斜角？

生：直線與x軸相交于一點(diǎn)，將x軸繞著交點(diǎn)按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小的正角，為直線的傾斜角.

師：傾斜角的范圍是什么？

生：[0°，180°），規(guī)定：當(dāng)直線平行于x軸或者就是x軸時，傾斜角是0°.

問題4：表示直線方向的兩個特征量——傾斜角和斜率之間有何關(guān)系？

生：在圖（4）中，k= =tanα，在圖（6）中，k= = =-tan∠PQN，∵∠PQN=π-α，∴tan∠PQN=tanα.所以，k=tanα.

師：很好！此時，我們得到結(jié)論：當(dāng)直線與軸不垂直時，直線的斜率與傾斜角之間滿足關(guān)系k=tanα.

二、設(shè)計問題串，有層次性

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計問題時，要注重問題的整體性，層次性，探究性.

一堂課是一個有機(jī)的整體，從初始問題開始到回顧反思應(yīng)當(dāng)是一個系統(tǒng)完整的思維整體，否則，課堂就被分解得支離破碎，沒有合力，帶給學(xué)生的只是知識與技能而不能達(dá)到鍛煉思維的目的.孤立的問題對學(xué)生的思維幾乎沒有什么作用，然而以問題串的形式出現(xiàn)，能夠讓學(xué)生進(jìn)行連續(xù)的思維活動，思維不斷攀升到新的高度.

[教學(xué)片段2]二元一次不等表示的平面區(qū)域

問題1：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集{（x，y）|y=x+1}表示什么圖形？

問題2：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集{（x，y）|y

生：（學(xué)生思考，老師給予適當(dāng)時間）

問題3：判斷這些點(diǎn)（0，0），（-1，-1），（1，1），（1，-2），（3，3），是不是y

生：（經(jīng)過檢驗，回答）是的.

問題4：如果把這些點(diǎn)標(biāo)到直角坐標(biāo)系中，請大家仔細(xì)觀察有什么共同特點(diǎn)？

生：都位于直線y=x+1的下方.

（8）？搖？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖（9）

師：再來看點(diǎn)集{（x，y）|y

生：由于這些點(diǎn)都是不等式的解，而這些點(diǎn)又都在直線y=x+1的下方.因此，我猜測：以不等式y(tǒng)

師：很好！這是一個了不起的發(fā)現(xiàn).

問題5：我們怎樣證明：以不等式y(tǒng)

生：如圖8，坐標(biāo)Q（x，y

問題6：反過來，直線下方的點(diǎn)坐標(biāo)都滿足不等式y(tǒng)

生：都滿足.如圖8，設(shè)直線下方區(qū)域的點(diǎn)Q （x ，y ），直線上一點(diǎn)P（x，y），則x=x ，y>y ，y

結(jié)論：一般地，直線y=kx+b把平面分成兩個區(qū)域（如圖9），y>kx+b表示直線上方的平面區(qū)域，y

問題7：如何確定一般式Ax+By+C>0（A +B ≠0）所表示的平面區(qū)域？我們通過具體的例子來看：不等式2x+y-1>0表示的平面區(qū)域是什么？

生：等價于不等式y(tǒng)>-2x+1，表示直線2x+y-1=0的上方區(qū)域.一般的，對系數(shù)B討論轉(zhuǎn)化為斜截式.如：當(dāng)B>0時，原不等式轉(zhuǎn)化為不等式y(tǒng)>- x- ，表示直線Ax+By+C=0是上方區(qū)域.

師：有其他判斷方法嗎？

生：由問題6的證明可以看到，位于直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)（x，y）代入式子Ax+By+C所得實(shí)數(shù)的符號都相同.那么，任選一個不在直線上的點(diǎn)檢驗它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式.若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為不等式所表示的平面區(qū)域.

師：很好！當(dāng)C≠0，我們通常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)，當(dāng)C=0時，選點(diǎn)（1，0）或（0，1）.

結(jié)論2：我們稱這種方法為“選點(diǎn)法”：直線定界，特殊點(diǎn)定域.

[教學(xué)反思]教學(xué)片段1和2都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)基本思想，即數(shù)形結(jié)合思想，由特殊到一般的思想。在片段1中，采用直觀方法建構(gòu)斜率公式，講清楚斜率是定值，由直線本身決定，與直線上所取的點(diǎn)位置無關(guān).在片段2中，通過取特殊點(diǎn)驗證二元一次不等式的解，從兩個方面說明二元一次不等式表示的平面區(qū)域.將抽象的問題具體化，設(shè)計成問題串的形式，使得學(xué)生在課堂上有收獲，達(dá)到鍛煉思維的目的.

課堂上既要教給學(xué)生一定的知識，又要教給學(xué)生方法，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).在平常教學(xué)中，需要把教師和學(xué)生的活動整合到提出問題、解決問題的過程中，教師通過提出問題，調(diào)控學(xué)生的思維活動，揭示知識的發(fā)生過程，傳遞數(shù)學(xué)文化信息.讓學(xué)生在解決問題的過程中做數(shù)學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)，體驗數(shù)學(xué)，培養(yǎng)能力，增長知識.

參考文獻(xiàn)：

[1]李善良著.高中數(shù)學(xué)課程改革探究與實(shí)踐.

[2]渠東劍.基于尊重學(xué)生探究傾向設(shè)計教學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014年4月上旬：12-15.

[3]沈微微.有效提問，提高課堂效率.數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（1）：9-11.

[4]劉金燕.談高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有效提問的策略.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（4）：15-16.

結(jié)論：一般地，直線y=kx+b把平面分成兩個區(qū)域（如圖9），y>kx+b表示直線上方的平面區(qū)域，y

問題7：如何確定一般式Ax+By+C>0（A +B ≠0）所表示的平面區(qū)域？我們通過具體的例子來看：不等式2x+y-1>0表示的平面區(qū)域是什么？

生：等價于不等式y(tǒng)>-2x+1，表示直線2x+y-1=0的上方區(qū)域.一般的，對系數(shù)B討論轉(zhuǎn)化為斜截式.如：當(dāng)B>0時，原不等式轉(zhuǎn)化為不等式y(tǒng)>- x- ，表示直線Ax+By+C=0是上方區(qū)域.

師：有其他判斷方法嗎？

生：由問題6的證明可以看到，位于直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)（x，y）代入式子Ax+By+C所得實(shí)數(shù)的符號都相同.那么，任選一個不在直線上的點(diǎn)檢驗它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式.若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為不等式所表示的平面區(qū)域.

師：很好！當(dāng)C≠0，我們通常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)，當(dāng)C=0時，選點(diǎn)（1，0）或（0，1）.

結(jié)論2：我們稱這種方法為“選點(diǎn)法”：直線定界，特殊點(diǎn)定域.

[教學(xué)反思]教學(xué)片段1和2都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)基本思想，即數(shù)形結(jié)合思想，由特殊到一般的思想。在片段1中，采用直觀方法建構(gòu)斜率公式，講清楚斜率是定值，由直線本身決定，與直線上所取的點(diǎn)位置無關(guān).在片段2中，通過取特殊點(diǎn)驗證二元一次不等式的解，從兩個方面說明二元一次不等式表示的平面區(qū)域.將抽象的問題具體化，設(shè)計成問題串的形式，使得學(xué)生在課堂上有收獲，達(dá)到鍛煉思維的目的.

課堂上既要教給學(xué)生一定的知識，又要教給學(xué)生方法，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).在平常教學(xué)中，需要把教師和學(xué)生的活動整合到提出問題、解決問題的過程中，教師通過提出問題，調(diào)控學(xué)生的思維活動，揭示知識的發(fā)生過程，傳遞數(shù)學(xué)文化信息.讓學(xué)生在解決問題的過程中做數(shù)學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)，體驗數(shù)學(xué)，培養(yǎng)能力，增長知識.

參考文獻(xiàn)：

[1]李善良著.高中數(shù)學(xué)課程改革探究與實(shí)踐.

[2]渠東劍.基于尊重學(xué)生探究傾向設(shè)計教學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014年4月上旬：12-15.

[3]沈微微.有效提問，提高課堂效率.數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（1）：9-11.

[4]劉金燕.談高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有效提問的策略.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（4）：15-16.

結(jié)論：一般地，直線y=kx+b把平面分成兩個區(qū)域（如圖9），y>kx+b表示直線上方的平面區(qū)域，y

問題7：如何確定一般式Ax+By+C>0（A +B ≠0）所表示的平面區(qū)域？我們通過具體的例子來看：不等式2x+y-1>0表示的平面區(qū)域是什么？

生：等價于不等式y(tǒng)>-2x+1，表示直線2x+y-1=0的上方區(qū)域.一般的，對系數(shù)B討論轉(zhuǎn)化為斜截式.如：當(dāng)B>0時，原不等式轉(zhuǎn)化為不等式y(tǒng)>- x- ，表示直線Ax+By+C=0是上方區(qū)域.

師：有其他判斷方法嗎？

生：由問題6的證明可以看到，位于直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)（x，y）代入式子Ax+By+C所得實(shí)數(shù)的符號都相同.那么，任選一個不在直線上的點(diǎn)檢驗它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式.若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為不等式所表示的平面區(qū)域.

師：很好！當(dāng)C≠0，我們通常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)，當(dāng)C=0時，選點(diǎn)（1，0）或（0，1）.

結(jié)論2：我們稱這種方法為“選點(diǎn)法”：直線定界，特殊點(diǎn)定域.

[教學(xué)反思]教學(xué)片段1和2都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)基本思想，即數(shù)形結(jié)合思想，由特殊到一般的思想。在片段1中，采用直觀方法建構(gòu)斜率公式，講清楚斜率是定值，由直線本身決定，與直線上所取的點(diǎn)位置無關(guān).在片段2中，通過取特殊點(diǎn)驗證二元一次不等式的解，從兩個方面說明二元一次不等式表示的平面區(qū)域.將抽象的問題具體化，設(shè)計成問題串的形式，使得學(xué)生在課堂上有收獲，達(dá)到鍛煉思維的目的.

課堂上既要教給學(xué)生一定的知識，又要教給學(xué)生方法，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).在平常教學(xué)中，需要把教師和學(xué)生的活動整合到提出問題、解決問題的過程中，教師通過提出問題，調(diào)控學(xué)生的思維活動，揭示知識的發(fā)生過程，傳遞數(shù)學(xué)文化信息.讓學(xué)生在解決問題的過程中做數(shù)學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)，體驗數(shù)學(xué)，培養(yǎng)能力，增長知識.

參考文獻(xiàn)：

[1]李善良著.高中數(shù)學(xué)課程改革探究與實(shí)踐.

[2]渠東劍.基于尊重學(xué)生探究傾向設(shè)計教學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014年4月上旬：12-15.

[3]沈微微.有效提問，提高課堂效率.數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（1）：9-11.

[4]劉金燕.談高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有效提問的策略.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（4）：15-16.