例述2014年浙江省數(shù)學(xué)高考中的圖形交匯考查

●沈順良 (海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要領(lǐng)域，圖像法是解決問題的重要方法.2014年浙江省數(shù)學(xué)高考對圖形通過各種交匯的方式進(jìn)行了綜合、全面、靈活的考查.

1 形與數(shù)的交匯

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)思想，浙江省數(shù)學(xué)高考重視利用數(shù)形結(jié)合解決問題的考查.

例1 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，且0＜f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3，則 ( )

A.c≤3 B.3 ＜c≤6

C.6 ＜c≤9 D.c＞9

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第6題)

分析本題除了可用代入法求解外，還可以將已知條件轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)圖像.令f(-1)=f(-2)=f(-3)=m，則f(x)-m=3有3個根 -1，-2，-3，而 f(x)的3次項(xiàng)系數(shù)為 1，故

圖1

代入并展開得

由于0＜m≤3，即

從而6＜c≤9.故選C.

一般按分段函數(shù)的代數(shù)解法需要進(jìn)行2個層次a和f(a)的分類討論，而利用f(x)的圖像則能避免分類討論.首先由圖像易知f(a)≥-2，再次利用f(a)的圖像就得答案(-∞，2］.

2 函數(shù)圖像的交匯

中學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)了一次、二次、反比例、指數(shù)、對數(shù)、冪、三角函數(shù)等基本函數(shù)的圖像，它們是獲得各類函數(shù)性質(zhì)并解決問題的重要內(nèi)容，浙江省數(shù)學(xué)高考注重對基本函數(shù)圖像的綜合考查.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

分析本題涉及3個函數(shù)圖像的交匯，它們在［0，1］上的圖像如圖2所示.

圖2

f1(x)在［0，1］上單調(diào)遞增，則

3 動態(tài)圖形的交匯

當(dāng)圖形對應(yīng)的代數(shù)形式中含有參數(shù)，或圖形本身是一般情形，此時的圖形是動態(tài)的，需要綜合把握所有的圖形.

圖3

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

分析從平面向量的幾何意義看，這是一般平行四邊形的邊長和對角線長度的關(guān)系問題，邊長分別為|a|，|b|，對角線長分別為|a+b|，|a-b|.將動態(tài)的平行四邊形轉(zhuǎn)化為動態(tài)的基本三角形(銳角、直角和鈍角)，就可得到答案為D.此題的另一解法是利用平行四邊形的性質(zhì)：|a+b|2+|ab|2=2(|a|2+|b|2)，2邊同除2直接得到答案.

4 圖形與實(shí)際應(yīng)用的交匯

在實(shí)際應(yīng)用背景下，可以將各信息轉(zhuǎn)化到幾何圖形中的條件進(jìn)行數(shù)學(xué)化，然后通過數(shù)學(xué)方法解決該圖形問題，考查了學(xué)生將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化并進(jìn)行解決的能力.

例5 如圖4，某人在垂直水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若 AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，則 tanθ 的最大值______.

圖4

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

分析作PD⊥BC，聯(lián)結(jié) AD，AP，就將由點(diǎn) A觀察點(diǎn)P的仰角θ轉(zhuǎn)化為Rt△PDA中的∠PAD.只要令PD=x，則DC =x，由余弦定理得

5 立體與平面圖形的交匯

立體圖形的解決，往往可化歸為平面圖形，如線面角和二面角轉(zhuǎn)化為2條相交直線所成的角，然后利用平面基本圖形或解三角形來解.

例6 如圖 5，在四棱錐 A-BCDE中，平面ABC⊥平面 BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC =

(1)證明：DE⊥平面ACD.

(2)求二面角B-AD-E的大小.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

圖5 圖6

分析(1)略.

(2)二面角的2個半平面涉及△ADE和△ABE，只要過棱上一點(diǎn)分別在2個三角形內(nèi)作棱的垂線，即可得二面角的平面角∠BFG，然后利用解三角形求之.

方法1 如圖5，過點(diǎn)B作BF⊥AD，再作FG∥DE，聯(lián)結(jié) BG，分別在△ADE，△ADB，△ABE 中求出△BFG的邊長.

方法2 如圖6，由于ED⊥AD，只要過點(diǎn)D作AB的垂線交AB延長線于點(diǎn)F，則∠EDF是二面角的平面角.在Rt△ADE中，由勾股定理得AE =;在△ADB中，AD =，BD =，AB=2，由三角形相似得DF =，BF=1;在△AFE中，先由△EBA解得，再用余弦定理得EF=1;在△FDE中，DE=EF=1，DF =，可解得∠EDF=.

上述例舉了2014年浙江省數(shù)學(xué)高考中對圖形交匯的考查，它要求我們在日常教學(xué)中重視對幾何圖形的整體把握和化歸，注重數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，對下一屆數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)起到了較好的導(dǎo)向作用.