運算教學真的需要重視和落實
——對2014年浙江省數學高考理科試題的點滴思考

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(湖州市教育科學研究中心 浙江湖州 313000)

2014年高考已經落下帷幕，有相當一部分浙江考生認為2014年的數學理科試題很難，考得不理想.筆者也試著限時2小時去做該試題，感觸頗深.首先試題嚴格遵循《浙江省普通高考考試說明》的標準，一點也不超綱、試題也不偏不怪，在全面考查基礎知識和基本技能的同時，突出表現了“重思維、重本質”的特點；其次試題還有“重運算”的特點，對運算的要求較高，特別是含有字母的代數式運算，與前幾年相比有明顯增加，例如第6，8～10，13，15～17，21，22題等涉及代數式運算，但每道題并沒有想象中的那么難.筆者又將該試題與2013年的試題作了對比研究，發現2014年每一類題目，如選擇題、填空題、解答題的最后2題也都沒有2013年的難，但不少師生卻覺得比2013年難.那么，2014年的浙江省數學高考理科試題到底難在何處呢？

筆者認為，對相當一部分浙江考生來說，2014年浙江省數學高考理科試題很大程度上是難在運算上.拿到省考試院印發的命題組提供的參考答案，印象最深的是命題組給出的考查意圖中對運算考查的描述：選擇題和填空題的考查意圖都是考查基礎知識和基本運算；解答題第18～20題的考查意圖是除考查該題所在知識外，同時考查運算求解能力；第21，22題則還要考查綜合解題能力.盡管部分考生的數學基礎知識掌握得較扎實，但是若他們對運算不重視、運算技能不過關、算法不合理簡捷，那么要獲得理想成績還是比較困難的.筆者的切身體會是：該試題擊中了當前高中數學教學中相當普遍的一個軟肋——對運算教學不夠重視、有關運算的教學沒落實.這將給高中數學教學以正確的導向，同時給高中數學教師留下了一定的反思空間.

說到運算教學，在平時的課堂教學調研中常會發現，有一些師生是比較輕視的：他們認為運算教學是次要的、枯燥的，也不需要動腦去思考，所含的思維價值比較低，不需花大力氣去教學，不少學生平時用計算器代替筆算、心算等；也有一些高中數學教師雖然口頭上說運算教學是重要的，但沒放在心里、落到實處，反而把運算教學簡單化了，以為運算教學就是掌握好運算技能，反而認為學生早在義務教育階段就應落實好運算技能，在高中階段又有比運算更重要的教學任務，再加上為了趕進度而導致課時緊，在具體課堂教學中就把運算教學給忽視了，只想在課后的大量練習中提高學生的運算能力.這些教學情況是較普遍的，這也說明在高中階段不少師生對運算教學的認識不夠重視、不夠到位、也沒有真正去落實.然而不少專家、學者卻是對運算教學非常重視的.《浙江省普通高考考試說明》在能力要求中，對運算求解能力的描述是：會根據法則和公式進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題的條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，能根據要求對數據進行估計和近似計算；在考查要求中，對運算求解能力的考查主要考查計算和推理能力.章建躍教授認為：數學學習的基本任務是學會運算和推理，運算離不開推理，“能推理、會運算”是從數學學習中養成的基本素質.因此，筆者呼吁要真的重視和落實運算教學，將專家、學者對運算教學的重視落到具體的教學實踐中去.

1 要堅定落實運算教學的基本要求——運算科學、準確

(2014年浙江省數學高考理科試題第16題)

分析要求出雙曲線的離心率，只要找到a,b的數量關系即可.根據條件容易列出關于a,b的等量關系，下面只需科學、準確地運算就能得出答案.

雖然許多考生都知道例1該怎么做，但此題的得分并不高，此題參與運算的字母有3個，讓運算技能不過關的考生看著就頭疼，運算不仔細，導致運算失誤，從而出現了“會而不對”的現象，考后才說“運算傷不起”，“算容易、算對不易，且算且仔細”.第21題的情況與此題類似，重點考查含字母的代數運算，需要扎實的運算基本功.這說明在數學教學中，學生的運算需達到科學、準確，這樣才算基本功達標.

例2在(1+x)6(1+y)4的展開式中，記xmyn項的系數為f(m,n)，則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=

( )

A.45 B.60 C.120 D.210

(2014年浙江省數學高考理科試題第5題)

分析本題考查二項式定理和基本的代數運算.只需結合二項式定理列出算式，求得結果即可，這是基本的通法.若考生的思維深刻且運算能力較強，則解法可以更簡單.

解法1由題意得

f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=

20+60+36+4=120.

評注當前人們對運算有一些誤解，認為運算就是按照各種運算法則進行加、減、乘、除，按照算法規則進行邏輯推理而獲得正確結果，這僅僅是運算的一個方面.更重要的是，在運算中包含著對算法的構造、設計、選擇，對算理的理解、運用等.像例2這樣的題，雖然看似簡單，但內涵豐富，是加強運算教學的一個好例題.在平時教學時，教師可要求學生不能滿足于會算就行，還要鼓勵學生思考有沒有更新、更好的算法.若能構造出新的算法，既能提升思維能力，又能與原算法相互印證，從而確保運算的科學、準確.

2 要努力落實運算教學的較高要求——運算合理、迅速

一個數學問題可以有多種不同的表征，不同的表征方式可以得出不同的算法.通常來說，運算錯誤不僅僅是運算技能不過關，更主要的是算法不合理.能減少運算量、縮短思維長度、優化解題過程的算法是好算法.在平時教學中，課堂上應多展示不同的算法，讓學生合理地設計和選擇適合自己的好算法，要努力落實運算教學的較高要求，使運算合理、迅速，明白算理和實質.選擇好算法是在具備相關知識并形成一定的運算經驗后形成的，能迅速設計好算法是數學能力強的表現之一.

(2014年浙江省數學高考理科試題第15題)

分析本題主要考查簡單的分段函數和基本運算，可以從代數角度和函數圖像角度進行分析，各有特色，適合不同的考生，對運算能力的考查也不盡相同.

f(a)≥-2，

從而

解得

評注本題用代數運算與數形結合思想等多種角度考查考生對于簡單分段函數的理解.本題的代數運算并不繁雜，數形結合的算法就更簡捷了，但考生的得分并不高，難在對算理的理解上.不管是代數算法還是數形結合算法，都要清晰地明白算理，也就是要將本題中函數的自變量分層次，先將f(a)看成函數的自變量，再將實數看成函數f(a)的自變量，那么問題很快就迎刃而解.由此，在平時的運算教學中，教師不僅要讓學生進行多種算法構造、設計、選擇的體驗，更重要的是要讓學生增強對算理的理解和運用，這樣可以使學生更加深刻地理解數學思想方法的真諦.

例4已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(其中m≥3,n≥3)，從乙盒中隨機抽取i(其中i=1,2)個球放入甲盒中.

(1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數記為ξi(其中i=1,2)；

(2)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為Pi(其中i=1,2)，則

( )

A.P1>P2,E(ξ1)

B.P1E(ξ2)

C.P1>P2,E(ξ1)>E(ξ2)

D.P1

(2014年浙江省數學高考理科試題第9題)

分析本題是摸球問題，背景公平，考查數學的概念和本質，是2014年的亮點題之一.本題主要考查概率統計中的概率、離散型隨機變量均值的概念，具體的運算求解方式有很多，考生可選擇一個適合自己的好算法.

解法1對題目所給條件、結合概念直接表征為概率模型，運用古典概率公式和均值公式，通過運算硬做，雖然運算量較大但還是可行的.

解法2由于本題是選擇題，不需小題大做，可將m,n賦值，通過特殊值法減少運算量.不妨設m=3，n=3，具體過程如下：

從而P1>P2.

從而E(ξ1)

解法3抓住本題中概率統計的數學本質:Pi(其中i=1,2)為放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的可能性;E(ξ)為隨機變量ξ的均值，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.仔細分析此題的背景并合理類比，將此題中離散型隨機變量的概率統計問題類比成溶液中溶質的“物質的量的濃度”和溶液中溶質質量問題.

不妨大膽想象，原題類比為：甲容器中有1升的純酒精，乙容器中有若干升的含水酒精，分別從乙容器里取出1升、2升含水酒精，倒入甲容器，比較這2次倒入含水酒精后，甲容器里的純酒精物質的量以及純酒精的濃度.很容易估算出，倒入2升含水酒精后比倒入1升后，甲容器里的酒精濃度在減少，純酒精的物質的量在增加.由此類比，可得P1>P2，E(ξ1)

評注本題背景深刻，表征多元.在給出的3種算法中：第1種是精確運算；第2種是特殊條件下簡化版的定量運算；第3種算法其實是估算，是對事物本質的直覺判斷，故運算量最少.估算是對面臨情況的一種整體把握，是通過與頭腦中已有數學模型的類比而實現的，因而是一種定性思維形式，這種數學思維具有更大的靈活性和可變通性.在現實世界中，精確是相對的，模糊是絕對的，因此，對事物發生發展的可能性的估計、對結果的可能性的判斷以及相應的對行動方案的選擇，都需要人們的估算能力.

3 要爭取達到運算教學的理想狀態——運算靈活、巧妙

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省數學高考理科試題第8題)

解因為a+b和a-b是以a，b為鄰邊的平行四邊形的對角線，所以

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)，

max{|a+b|2,|a-b|2}.

評注本題考查平面向量的運算和幾何意義，形式新穎，能力立意，突出本質.本題從已知條件中隱含的恒等式|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)來推導出一個不等式的結論，極具思維的靈活性.解題所依據的是一個非常淺顯的原理——2個實數的平均值不大于這2個實數的最大值，這只需直覺上的估算即可得出.但這種直覺上的估算是非常靈活、巧妙的，這樣的算法是返璞歸真的.

教師都會想方設法讓學生在運算時更靈活、巧妙，盡心追求理想的運算教學狀態.這種靈活、巧妙的運算能力反映了學生在面臨數學問題時的判斷和選擇能力，形成這種素質的基礎是精確計算的訓練.在精確計算過程中，一方面要求學生在理解算理的基礎上講究算法的合理性，并在計算速度上達到一定水平；另一方面，在此基礎上要求學生不斷對計算結果進行估計和判斷，以使學生形成適合于估算的直覺，進而培養對事物發展前景和結果的判斷能力.在處理問題時，人們可以憑借這種靈活、巧妙的運算直覺，對采取什么方法、方法的可行性以及可能的結果等等作出判斷，也即“能思故我在，會算故我強”.

眾所周知，計算和演繹是數學中緊密結合在一起的過程，從某種意義上說，數學學習的主要作用是形成“算法的思維”，培養按照規定的運算程序進行計算的習慣和設計新的計算程序的能力(實際上，數學的公式、法則、定理等等都可以理解為規定好的計算程序).運算教學時以算法思想統帥數學解題活動，扎實作好算法分析、算法設計、算法評價，真正做到在正式動手之前算理明晰、算法合理.教師們真的需要重視并落實好運算教學，使運算教學成為數學課堂中一項重要的教學活動.學生數學思維的創造性和運用數學的能力都可以從運算教學中得到培養，讓我們一起努力，真正實現運算教學的育人功能.