親而不近 讓梯度更明顯
——2014年全國數學高考大綱卷理科第21題的解析與拓展

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(蒼溪中學校 四川蒼溪 628400)

2014年高考已經落下帷幕，全國數學高考大綱卷理科總體上保持了近幾年來的命題風格和試題特色.筆者特別關注了第21題，該題較全面地考查了學生掌握解析幾何基礎知識與基本方法的程度，將直線、圓、拋物線等知識點融匯在一起，給人以“親而不近”之感，好似面熟但并不容易解答，入手容易，但是要想完整解答，需要考生具備扎實的基礎知識和較強的分析解決問題的能力，梯度性較強，具有較好的選拔功能.“在知識網絡的交匯點命題”的命題思路得到進一步彰顯.筆者對此題作了進一步的推廣，若有不足之處，望各位同行批評指正.

1 真題再現

(1)求C的方程；

(2)過點F的直線l與C相交于點A，B，若AB的垂直平分線l′與C相交于點M，N，且點A，B，M，N共圓,求l的方程.

由題意知

解得p=2，故曲線C的方程為y2=4x.

(2)當直線l與x軸垂直時，顯然不滿足題意.當直線l不與x軸垂直時，設直線AB的方程為l:

x=ky+1(其中k≠0).

y2-4ky-4=0,

則

y1+y2=4k,y1y2=-4,

4(1+k2),

x1+x2=ky1+ky2+2=4k2+2.

由拋物線的第二定義知

故|AB|=x1+x2+p=4(1+k2)，線段AB的中點為D(2k2+1,2k).因為直線l′垂直平分線線段AB，所以

設直線l′的方程為

從而

于是

由線段MN垂直平分線段AB，且點A，B，M，N共圓知，線段MN為該圓的直徑，點E為該圓圓心，即

|DE|2+|AD|2=|AE|2.

即

整理得k2=1，即k=±1.故直線l的方程為x+y-1=0或x-y-1=0.

點評證明多點共圓的常用方法是：證明圓心到各點的距離相等.本題的難點在于如何利用已知條件找圓心、如何求得圓心到各點的距離.本題立意鮮明，富含思考與探究價值,也再次表明韋達定理的無敵.

不難發現，當過焦點F的直線l斜率為1時，點A，B，M，N共圓，對于一般的拋物線，是否還有類似的結論呢？經過進一步的探究，得出如下結論.

2 拓展推廣

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),線段AB的中點為D，線段MN的中點為E.

則

因為直線MN垂直平分線線段AB，所以kMN=-1，從而可設直線MN的方程為l′:

y2+2py-5p2=0，

則

Δ=20p2+4p2>0，y3+y4=-2p,y3y4=-5p2，

易知線段

因為E為線段MN的中點，所以

由線段MN垂直平分線線段AB可知，

|AE|=|BE|，

從而

|AE|=|BE|=|ME|=|NE|，

即點A，B，M，N共圓.

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),線段AB的中點為D，線段MN的中點為E.

x2-2(p+m)x+m2=0,

則Δ=4p2+8pm>0，x1+x2=2(p+m),x1x2=m2,

故線段AB的中點D(p+m,p)，且

由直線MN垂直平分線線段AB知，kMN=-1，從而可設直線MN的方程為l′:

y=-x+2p+m.

y2+2py-4p2-2pm=0，

則

Δ=20p2+8pm>0，

y3+y4=-2p,y3y4=-4p2-2pm，

故線段MN的中點E(3p+m，-p)，且

由兩點之間距離公式可知

因為E為線段MN的中點，所以

由線段MN垂直平分線線段AB可知

|AE|=|BE|.

從而

|AE|=|BE|=|ME|=|NE|,

即點A，B，M，N共圓.

②利用拋物線的對稱性，同理可得，當直線AB的方程為l:y=-(x-m)時，點A，B，M，N共圓.

類比拋物線，在橢圓和雙曲線中也有類似的結論.

拓展3、拓展4的證明同拓展2，在此不再贅述，有興趣的讀者可自行證明.

說明拓展4中的條件a>b>0，是為了滿足直線l與C相交于不同的點A，B.否則，當0

通過常規題考查考生的數學基礎知識、數學思想方法的掌握與數學能力，注重對數學本源的考查，體現了高考改革的新要求和新趨向，而“在知識網絡的交匯點命題”的命題思路也得到進一步彰顯.