角度決定深度

陶惠民++呂重明

在高中數學《正弦定理的運用》的研究課中，如何多角度地對問題“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”進行探討，我深有體會.這個問題是正弦定理應用的諸多問題中最復雜的一個，學生不容易掌握.而通常，只要記住一組邊角關系式（見后文）就可以判斷滿足條件的三角形解的個數.但是通過多年、多次、多班級課后的檢測發現，很多學生是記不住教師所介紹的一組判斷滿足條件的三角形解的個數的邊角關系式的.為什么記不住呢？原因在于學生對“判斷滿足條件的三角形解的個數的邊角關系式”不理解或理解不深刻.硬性記憶邊角關系式，時間一長就忘記了，況且就是記住了公式也會因字母的變化而不能靈活使用，最終還是解決不了問題.那么，怎樣才能讓學生比較容易地去掌握“判斷滿足條件的三角形解的個數的邊角關系式”又能靈活地去運用呢？我作了如下實踐.

一、引入探究

問題1：在△ABC中，若a=1，b=3，A=30°，則滿足條件的三角形解的情況如何？

有學生在黑板上板書如下：由正弦定理ba=sinBsinA，有sinB=basinA=32，B∈（0，π），∴B=60°或120°，所以滿足條件的三角形的個數有兩個.

這個問題的呈現讓學生復習了正弦定理的簡單應用，順便訂正了個別學生由sinB=32僅得到B=60°的錯誤結論.

問題2：在△ABC中，若a=3，b=1，A=60°，則滿足條件的三角形解的情況如何？

學生很快解答完畢.我將一個學生的解答投影到黑板上：由正弦定理易得：sinB=basinA=12，B∈（0，π），∴B=30°或150°，所以滿足條件的三角形的個數有兩個.

教師提問：B可以等于150°嗎？學生甲糾正：不可以！理由是：∵b

上面兩道題是這類問題中最關鍵的兩個問題，我讓學生思考這兩道題的聯系與區別，并要求簡要小結判斷的方法與步驟：（1）由正弦定理求出另一邊所對角的正弦值；（2）比較已知兩邊的大小，再由“大角對大邊”原理，求出另一個角的大小.（把這個內容寫到黑板上）

看來，直接解三角形似乎可以解決“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”這一問題.

六、回顧反思

回顧從多方面、多角度對問題“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”探究的整個過程，我們發現最完美的解決方法是從“形”這個角度來研究.在以形助數的情境下，學生理解深刻、記憶長久.由此可見，在認識問題的過程中，積極思考、躬行實踐是學問的一個方面，然而，思維的角度能夠決定解決問題的速度、認識問題的深度以及對問題理解記憶的持久度，所以選擇好思考問題的角度有時更為重要.

（責任編輯黃桂堅）

在高中數學《正弦定理的運用》的研究課中，如何多角度地對問題“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”進行探討，我深有體會.這個問題是正弦定理應用的諸多問題中最復雜的一個，學生不容易掌握.而通常，只要記住一組邊角關系式（見后文）就可以判斷滿足條件的三角形解的個數.但是通過多年、多次、多班級課后的檢測發現，很多學生是記不住教師所介紹的一組判斷滿足條件的三角形解的個數的邊角關系式的.為什么記不住呢？原因在于學生對“判斷滿足條件的三角形解的個數的邊角關系式”不理解或理解不深刻.硬性記憶邊角關系式，時間一長就忘記了，況且就是記住了公式也會因字母的變化而不能靈活使用，最終還是解決不了問題.那么，怎樣才能讓學生比較容易地去掌握“判斷滿足條件的三角形解的個數的邊角關系式”又能靈活地去運用呢？我作了如下實踐.

一、引入探究

問題1：在△ABC中，若a=1，b=3，A=30°，則滿足條件的三角形解的情況如何？

有學生在黑板上板書如下：由正弦定理ba=sinBsinA，有sinB=basinA=32，B∈（0，π），∴B=60°或120°，所以滿足條件的三角形的個數有兩個.

這個問題的呈現讓學生復習了正弦定理的簡單應用，順便訂正了個別學生由sinB=32僅得到B=60°的錯誤結論.

問題2：在△ABC中，若a=3，b=1，A=60°，則滿足條件的三角形解的情況如何？

學生很快解答完畢.我將一個學生的解答投影到黑板上：由正弦定理易得：sinB=basinA=12，B∈（0，π），∴B=30°或150°，所以滿足條件的三角形的個數有兩個.

教師提問：B可以等于150°嗎？學生甲糾正：不可以！理由是：∵b

上面兩道題是這類問題中最關鍵的兩個問題，我讓學生思考這兩道題的聯系與區別，并要求簡要小結判斷的方法與步驟：（1）由正弦定理求出另一邊所對角的正弦值；（2）比較已知兩邊的大小，再由“大角對大邊”原理，求出另一個角的大小.（把這個內容寫到黑板上）

看來，直接解三角形似乎可以解決“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”這一問題.

六、回顧反思

回顧從多方面、多角度對問題“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”探究的整個過程，我們發現最完美的解決方法是從“形”這個角度來研究.在以形助數的情境下，學生理解深刻、記憶長久.由此可見，在認識問題的過程中，積極思考、躬行實踐是學問的一個方面，然而，思維的角度能夠決定解決問題的速度、認識問題的深度以及對問題理解記憶的持久度，所以選擇好思考問題的角度有時更為重要.

（責任編輯黃桂堅）

在高中數學《正弦定理的運用》的研究課中，如何多角度地對問題“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”進行探討，我深有體會.這個問題是正弦定理應用的諸多問題中最復雜的一個，學生不容易掌握.而通常，只要記住一組邊角關系式（見后文）就可以判斷滿足條件的三角形解的個數.但是通過多年、多次、多班級課后的檢測發現，很多學生是記不住教師所介紹的一組判斷滿足條件的三角形解的個數的邊角關系式的.為什么記不住呢？原因在于學生對“判斷滿足條件的三角形解的個數的邊角關系式”不理解或理解不深刻.硬性記憶邊角關系式，時間一長就忘記了，況且就是記住了公式也會因字母的變化而不能靈活使用，最終還是解決不了問題.那么，怎樣才能讓學生比較容易地去掌握“判斷滿足條件的三角形解的個數的邊角關系式”又能靈活地去運用呢？我作了如下實踐.

一、引入探究

問題1：在△ABC中，若a=1，b=3，A=30°，則滿足條件的三角形解的情況如何？

有學生在黑板上板書如下：由正弦定理ba=sinBsinA，有sinB=basinA=32，B∈（0，π），∴B=60°或120°，所以滿足條件的三角形的個數有兩個.

這個問題的呈現讓學生復習了正弦定理的簡單應用，順便訂正了個別學生由sinB=32僅得到B=60°的錯誤結論.

問題2：在△ABC中，若a=3，b=1，A=60°，則滿足條件的三角形解的情況如何？

學生很快解答完畢.我將一個學生的解答投影到黑板上：由正弦定理易得：sinB=basinA=12，B∈（0，π），∴B=30°或150°，所以滿足條件的三角形的個數有兩個.

教師提問：B可以等于150°嗎？學生甲糾正：不可以！理由是：∵b

上面兩道題是這類問題中最關鍵的兩個問題，我讓學生思考這兩道題的聯系與區別，并要求簡要小結判斷的方法與步驟：（1）由正弦定理求出另一邊所對角的正弦值；（2）比較已知兩邊的大小，再由“大角對大邊”原理，求出另一個角的大小.（把這個內容寫到黑板上）

看來，直接解三角形似乎可以解決“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”這一問題.

六、回顧反思

回顧從多方面、多角度對問題“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”探究的整個過程，我們發現最完美的解決方法是從“形”這個角度來研究.在以形助數的情境下，學生理解深刻、記憶長久.由此可見，在認識問題的過程中，積極思考、躬行實踐是學問的一個方面，然而，思維的角度能夠決定解決問題的速度、認識問題的深度以及對問題理解記憶的持久度，所以選擇好思考問題的角度有時更為重要.

（責任編輯黃桂堅）