基于兩步最小均方的寬帶波束形成算法

鄭永翔,任 超,竇亞軍

(北京北斗星通導航技術股份有限公司,北京 100081)

0 引 言

波束形成是衛星導航、雷達和通信信號處理中的一個重要組成部分[1]。波束形成系統可以看作是一種應用在空間域的濾波器,它使得天線陣只在某一方向具有較高的增益,而在其它方向具有較低的增益,甚至可以在某一方向產生很深的零陷,抑制來自該方向的的干擾。要實現快速、準確的方向圖合成,這主要取決于所使用的波束形成算法。例如,在文獻[2]和[3]中描述了將RLS和LMS分別進行級聯,可以得到兩個快速有效的波束形成算法RLMS和LLMS。文獻[4]中采用了一種基于切比雪夫多項式的改進波束形成算法,可以大大降低計算的復雜度。

在文獻[5]～[7]的基礎上,采用空時二維濾波器結構,提出了修正兩步最小均方波束形成算法。本算法修正了每次迭代運算中的期望響應幅度和方向矩陣,可以顯著地減少矩陣運算量,快速準確地求解出期望方向圖的相位和相應的權矢量。此外,本算法在不改變天線陣元數的情況下,增加了時域處理維數,達到改善波束形成質量的目的。可廣泛應用于多天線的GNSS導航接收機或抗干擾接收機中,在提高接收機在復雜環境下的可用性和靈敏度上具有重要的意義。

1 問題提出

空時自適應濾波是將一維的空域濾波推廣到時間與空間的二維域中,形成空時二維濾波器結構,其實現結構如圖1所示。

圖1 空時二維濾波器結構圖

圖中M為空時二維濾波器的天線陣元個數;N為每 個陣元通道后FIR濾波器階數。{xmn}(m=1,2,…,M，n=1,2,…,N)為M路天線陣元接收到的輸入信號在FIR濾波器中延遲了n-1個處理節拍后的信號。{wmn}(m=1,2,…,M，n=1,2,…,N)為M個FIR濾波器的系數,即空時二維權系數。y為各路FIR濾波器的合路輸出,即空時二維濾波器的輸出。每個處理節拍延時為 (T<1/B,B為信號帶寬),則每個陣元后信號總的延時長度(N-1)T,要求能夠包括不同的多徑延時。空時濾波器權可用MN×1維向量表示為

W=[w11,w12,…,w1N,w21,…,w2N,…,

wM1,…,wMN]T.

(1)

各陣元接收數據組成的協方差矩陣

R=E[XXH].

(2)

空時二維導向矢量a可寫成

a=Ss?St,

(3)

式中:矢量Ss=[1,ejωs,…,ej(M-1)ωs]T為空間導向矢量;ωs為空間歸一化頻率;St=[1,ejωt,…,ej(N-1)ωt]T為時間導向矢量;ωt為時間歸一化頻率,?表示可羅奈克積。

假設有Ns個窄帶平面波信號si,i=1,2,…Ns入射到空間中M元均勻線陣上,陣元間距為接收到信號中最高頻率所對應的波長的一半。假設有用信號的帶寬為B,則第m個陣元的接收到的數據為

m=1,2,…,M,

(4)

式中,nm(t)為第m個陣元通道的熱噪聲。對其中某一個通道的數據進行K點的離散傅立葉變換,可以得到如下的寬帶模型

X(fk)=A(fk)S(fk)+N(fk),

k=1,2,…,K.

(5)

式中:X(fk)為對應頻率fk的接收數據;S(fk)為信號的離散傅立葉變換;N(fk)噪聲的離散傅立葉變換;A(fk)=[a1(θ1,fk)a2(θ2,fk)…aNs(θNs,fk)]為信號導向矢量矩陣。

空頻二維方向圖的陣列響應可表示為

P(θ,f)=WHA(θ,f),θ∈Θf∈B,

(6)

式中:Θ∈[-90°,90°]為信號波達角的集合;B為接收信號帶寬。

2 基于空時結構最小均方的方向圖控制

陣列方向圖合成問題就是使合成方向圖與期望方向圖的誤差最小化,因此可表示為

(7)

考慮下面的公式

Pd(θ,f)=WHV(θ,f),θ∈Θf∈B.

(8)

其中矢量

Pd=[Pd(θ1,f),…,Pd(θN,f)]

(θ1,…,θN∈Θ,f∈B),

來自進博會的數據顯示, 3000多家參展企業中,不僅涉及G20全部成員,覆蓋超過50個“一帶一路”沿線國家和地區,全球44個最不發達國家中,也有超過30個前來參加。大量外國參展商希望抓住中國消費升級和高質量發展的機遇,借助進博會的平臺,在中國市場“更進一步”。

為期望陣列響應。而方向圖合成就是要尋找最優的W,使等式(7)中的J值最小。在大多數應用中,選擇的角度θ與頻率f的個數N遠大于陣元數M,所以使用最小均方算法來求解等式(7)。

顯然,期望陣列響應Pd(θ,f)可表示為

Pd(θ,f)=PdM(θ,f)PdP(θ,f),θ∈Θf∈B.

(9)

式中,PdP(θ,f)=exp(j∠Pd(θ,f)),θ∈Θ，f∈B;PdM(θ,f)=|Pd(θ,f)|.

所以

Pd=PdMPdP=PdP·diag(PdM),

(10)

式中:PdM=[PdM(θ1,f),…,PdM(θN,f)];PdP=[PdP(θ1,f),…,PdP(θN,f)] (θ1,…,θN∈Θf∈B).

方向圖合成問題可以表示為

diag(PdM)‖2.

(11)

基于等式 (11)的方向圖合成算法步驟概括如下:

第1步:初始化期望陣列響應幅度PM=|W0HVpattern|,其中W0為最優權矢量的初值Vpattern:[V(γ1,η1),…,V(γK,ηN)](γ1,…,γK∈Θ,η1,…,ηK∈B)為方向矩陣的初值;Θ∈[-90°,90°]為期望方向圖中增益峰值所對應的波達角的集合,B為接收信號帶寬,設迭代次數n=0.

第3步:用找到的θi和fi更新迭代算法中的PdM和V

PdM=[Pml,PdM(θ1,f1),…,PdM(θL,fK)],

(12)

V=[Vml,V(θ1,f1),…,V(θL,fK)],

(13)

式中:Pml和Vml分別為天線陣主瓣所指方向對應的陣列響應幅度和方向導向矢量。

第4步:采用文獻[7]中兩步最小均方算法更新權矢量Wn,迭代次數n=n+1.

(14)

Pdp0=Pdp/|Pdp|,

(15)

(16)

第5步:重復第2～4步,直到‖Wn-Wn-1‖2小于允許的方向圖合成誤差ε.

對于上述算法,有以下幾點說明:

1)依據期望方向圖的增益,可將波達角與頻率組成的二維集合(Θ,B)分為主瓣區域和旁瓣區域,由此可確定主瓣區域對應的陣列響應幅度Pml和方向導向矢量Vml.在第一步初始化方向矩陣Vpattern時,選擇掃描角度與頻率的間隔越大,計算量越小;間隔越小,方向圖越平滑。在后面的仿真實驗中,掃描角度間隔選為0.1°,掃描頻率間隔選為1 MHz.

2)在第1步中,權矢量的初值W0可設為Capon波束形成算法的解[8]

W=R-1a(θ0,f)/(aH(θ0,f)R-1a(θ0,f)),

式中:(θ0,f)是天線主瓣指向方向;R=V(θ0,f)VH(θ0,f)+σ2I;σ為一個非常小的實數,I為單位矩陣。

3)在第3步中,在迭代時通常只關心主瓣的響應,不去約束旁瓣并不會對方向圖合成結果造成明顯的影響,但是卻可以大大減少矩陣運算量。

4)通常情況下,第4步中方向圖合成的允許誤差選為ε=10-4.

3 計算機仿真

通過兩個計算機仿真實驗來驗證本文提出的陣列方向圖合成算法可以合成任意的波束,以適應不同場景的需要。

實驗一:考慮7元均勻線陣結構,陣元間距d=λ/2,λ為接收信號載波頻率對應的波長。確定主瓣區域為[-30°,0°],對應的陣列響應幅度為0 dB; 其余角度空間為旁瓣區域,對應的陣列響應幅度為-40 dB.每個陣元通道的FIR濾波器階數為5.計算機仿真有用信號疊加寬帶擴頻干擾信號,有用信號為帶寬20 MHz的BPSK調制信號,信號中心頻率為15.48 MHz,干擾信號為帶寬20 MHz的BPSK調制信號,與信號同頻,采樣率62 MHz.若選擇允許誤差ε=10-4,自適應方向圖控制算法通過10次迭代運算可以收斂,收斂結果,如圖2所示。從圖中可以看出,主瓣和旁瓣在各個頻點的陣列響應幅度都很好的收斂到期望的響應,這樣,只要保證有用信號從主瓣區域入射,而干擾信號落入旁瓣區域,即使干擾與信號同頻,也可達到很好的抑制效果。

圖2 7元線陣方向圖收斂結果

實驗二:考慮30元均勻線陣結構,采用本文算法設置階躍式旁瓣包絡,首先確定主瓣區域為[-5°,5°],對應的陣列響應幅度為0 dB;旁瓣區域[-40°,-5°]和[5°,40°],對應的陣列響應幅度為-30 dB,旁瓣區域[-90°,-40°]和[40°,90°],對應的陣列響應幅度為-40 dB.每個陣元通道的FIR濾波器階數為5.計算機仿真有用信號疊加寬帶擴頻干擾信號,有用信號為帶寬20 MHz的BPSK調制信號,信號中心頻率為15.48 MHz,干擾信號為帶寬20 MHz的BPSK調制信號,與信號同頻,采樣率62 MHz.選擇允許誤差ε=10-4,自適應方向圖控制算法迭代30次收斂結果如圖3所示。同樣的陣列結構設置鍥形旁瓣包絡時,在區間[-90°,-5°]內,陣列響應幅度從-50 dB開始以0.2 dB/(°)的速度上升到達-5°,在區間[5°,90°]內,陣列響應幅度以0.2 dB/(°)的速度下降到-50 dB,形成一個鍥形包絡。確定主瓣區域為[-5°,5°],對應的陣列響應幅度為0 dB.選擇允許誤差ε=10-4,自適應方向圖控制算法迭代30次收斂結果，如圖4所示。同上個實驗相比,此例中的主瓣區域更窄,但相應旁瓣區域的響應幅度略高,對于與信號方向相近的干擾區分度更高,具有更明顯的抑制效果。

圖3 30元線陣階躍式旁瓣方向圖

圖4 30元線陣鍥形旁瓣方向圖

4 結束語

本文結合空時濾波器結構提出了一種新的基于兩步最小均方的方向圖合成算法。算法的核心在于通過修正迭代運算中的期望陣列響應幅度和方向矩陣,在每次迭代中只約束主瓣方向矢量,因此可以大大降低矩陣運算復雜度,并快速準確地求解出期望方向圖的相位和相應的權矢量,同時利用額外的時域處理維數改善了波束合成質量。最后通過幾個計算機仿真實驗充分驗證了該算法的有效性。

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