在數學教學中如何培養學生的發散思維

張秀梅

發散思維，即求異思維，它具有多向性、變異性、獨特性的特點，包括橫向思維、逆向思維及多向思維.在中學數學教學中，培養學生的發散思維可提高學生的綜合素質，這是中學數學教學改革的重要課題.我們要有目的地從以下三個方面培養學生的思維品質，開闊學生的視野，拓寬學生的思路，啟迪學生的思維意識，培養學生的發散性思維能力，提高學生的創造力.

一、加強知識間的縱橫聯系，培養橫向思維

知識間總有縱向、橫向、多向或多層次等多種聯系，教師要善于發現、引導學生建立思維線索.要盡可能運用思維技巧，利用聯想把若干數學概念或定理、法則等賦予巧妙的聯系，從而獲得新的理解等.橫向思維關鍵在于培養學生的縱橫發散，而縱橫發散是通過兩個或多個發散點間的聯系，以及發散點與其他知識的關系，借助例題形成發散思維.

像這樣通過建立聯系、學會縱橫思維，就可以很快解決問題.在課堂上還可采用小組討論、競賽、自學等，反復訓練，逐步發展學生的數學思維能力.

二、打破正向思維，培養逆向思維

心理學研究表明：每一個思維過程都有一個與之相反的思維過程，在這個互逆過程中，存在正、逆思維的聯結.正向思維是從題目給的已知條件出發，按題目給的已知條件順利去研究、推導未知結論的思維方式.所謂逆向思維，是指和正向思維方向相反而又相互聯系的思維過程，即我們通常所說的“倒著想”或“反過來想一想”.逆向思維可以化異為同，化生為熟，化多為少，化難為易，變繁為簡，逆向思維也是人們提出問題、解決問題的一種重要方法.

從以上例題可知，學生在思考問題時，若能積極、大膽地把思維方向引向倒轉，從別人思維的相反方向或相反順序上考慮問題，往往能得到突破，取得意想不到的效果，從而解決問題.同時教師在教學中有意識地進行轉化思維方法的滲透，就會強化學生轉化的意識，培養學生的逆向思維.

如果一個學生的雙基越扎實，前面知識對后面知識的負遷移作用就越小，逆向思維也就越容易建立.因此，培養學生的逆向思維能力，必須以扎實雙基為前提，否則會弄巧成拙、事倍功半.我們只有在夯實學生雙基的前提下，顧及學生年齡、心理發展特點和接受能力，精心設計培養學生逆向思維能力的方法，才能使學生的創造性思維得到發展.

三、利用一題多解、一題多變，培養多向思維

反復進行“一題多解”、“一題多變”的訓練，是幫助學生克服思維狹窄性的有效途徑.可通過討論，啟迪學生思維，開拓解題思路，在此基礎上讓學生通過多次訓練，既增長了知識，又培養了思維能力.在數學教學中，抓住一道典型題目，尋求多種途徑的解法，促使學生全方位、多層次地思考分析.

1.利用一題多解，培養學生的多向思維.

一題多解訓練，就是啟發和引導學生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運算過程分析、解答同一道數學題的練習活動.一題多解是培養學生發散思維能力、探索精神和創新能力的有效途徑.

分析一：因AD∥BC，延長FE交CB延長線，由△FAE≌△HBE及△FAG∽△HCG，即可證明本題.如圖（1），證明略.

分析二：因AB∥DC，過F作DC的平行線，由△AMF∽△ACD及△FMG∽△EAG，即可證明本題.如圖（2），證明略.

分析四：過點D作DH∥FE交AB的延長線于點H，由△AEF∽△AHD及△DQC∽△HQA，本題可證.如圖（4），證明略.

通過一題多解訓練，達到鍛煉學生的思維，拓寬學生的思路，增長學生的知識，培養和提高學生的創造性學習能力的根本目的.發散性思維是變通的，因此在教學過程中，對一些問題的解決，教師充分利用學生學過的基礎知識和技能，調動一切做題手段，從各個側面論證同一命題正確性.

2.利用一題多變，培養學生的多向思維.

著名數學家波利亞說：“一個專心認真備課的教師能夠拿出一個有變化但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”

一題多變即從一道例題或習題出發通過改變條件、改變結論、變化情景、變化題型、變化難度等手段使原來的一道題變成一類題、由一類題變成多類題，并通過對變式題的研究、解決，促使學生積極思維，有利于防止就題論題、呆板僵化的思維方式.從而培養學生思維的靈活性，達到舉一反三、觸類旁通，熟一片、通一類的效果.

例：甲列車從A地開往B地，速度是80千米/小時，乙列車同時從B地開往A地，速度是100千米/小時.已知A，B兩地相距300千米，兩車相遇的地方離A地多遠？

變式1：兩車幾小時后相遇？

變式2：如果甲車先開20分鐘，甲車行了多少小時兩車相遇？

變式3：兩車同時開出，同向而行，多少小時乙車可以追趕上甲車？

這種訓練不僅使學生更深入地掌握這種問題的結構和解法，還可預防思維定勢，同時也培養發散思維能力.

總之，教師在教學實踐中，要多方面培養學生的發散性思維能力，堅持發展學生的創造力.教師通過發散→集中→再發散→再集中的循環思維方式，將發散與集中有機結合，使學生的思維品質得到優化，使學生的創造性思維和創新能力得到進一步提高.endprint

發散思維，即求異思維，它具有多向性、變異性、獨特性的特點，包括橫向思維、逆向思維及多向思維.在中學數學教學中，培養學生的發散思維可提高學生的綜合素質，這是中學數學教學改革的重要課題.我們要有目的地從以下三個方面培養學生的思維品質，開闊學生的視野，拓寬學生的思路，啟迪學生的思維意識，培養學生的發散性思維能力，提高學生的創造力.

一、加強知識間的縱橫聯系，培養橫向思維

知識間總有縱向、橫向、多向或多層次等多種聯系，教師要善于發現、引導學生建立思維線索.要盡可能運用思維技巧，利用聯想把若干數學概念或定理、法則等賦予巧妙的聯系，從而獲得新的理解等.橫向思維關鍵在于培養學生的縱橫發散，而縱橫發散是通過兩個或多個發散點間的聯系，以及發散點與其他知識的關系，借助例題形成發散思維.

像這樣通過建立聯系、學會縱橫思維，就可以很快解決問題.在課堂上還可采用小組討論、競賽、自學等，反復訓練，逐步發展學生的數學思維能力.

二、打破正向思維，培養逆向思維

心理學研究表明：每一個思維過程都有一個與之相反的思維過程，在這個互逆過程中，存在正、逆思維的聯結.正向思維是從題目給的已知條件出發，按題目給的已知條件順利去研究、推導未知結論的思維方式.所謂逆向思維，是指和正向思維方向相反而又相互聯系的思維過程，即我們通常所說的“倒著想”或“反過來想一想”.逆向思維可以化異為同，化生為熟，化多為少，化難為易，變繁為簡，逆向思維也是人們提出問題、解決問題的一種重要方法.

從以上例題可知，學生在思考問題時，若能積極、大膽地把思維方向引向倒轉，從別人思維的相反方向或相反順序上考慮問題，往往能得到突破，取得意想不到的效果，從而解決問題.同時教師在教學中有意識地進行轉化思維方法的滲透，就會強化學生轉化的意識，培養學生的逆向思維.

如果一個學生的雙基越扎實，前面知識對后面知識的負遷移作用就越小，逆向思維也就越容易建立.因此，培養學生的逆向思維能力，必須以扎實雙基為前提，否則會弄巧成拙、事倍功半.我們只有在夯實學生雙基的前提下，顧及學生年齡、心理發展特點和接受能力，精心設計培養學生逆向思維能力的方法，才能使學生的創造性思維得到發展.

三、利用一題多解、一題多變，培養多向思維

反復進行“一題多解”、“一題多變”的訓練，是幫助學生克服思維狹窄性的有效途徑.可通過討論，啟迪學生思維，開拓解題思路，在此基礎上讓學生通過多次訓練，既增長了知識，又培養了思維能力.在數學教學中，抓住一道典型題目，尋求多種途徑的解法，促使學生全方位、多層次地思考分析.

1.利用一題多解，培養學生的多向思維.

一題多解訓練，就是啟發和引導學生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運算過程分析、解答同一道數學題的練習活動.一題多解是培養學生發散思維能力、探索精神和創新能力的有效途徑.

分析一：因AD∥BC，延長FE交CB延長線，由△FAE≌△HBE及△FAG∽△HCG，即可證明本題.如圖（1），證明略.

分析二：因AB∥DC，過F作DC的平行線，由△AMF∽△ACD及△FMG∽△EAG，即可證明本題.如圖（2），證明略.

分析四：過點D作DH∥FE交AB的延長線于點H，由△AEF∽△AHD及△DQC∽△HQA，本題可證.如圖（4），證明略.

通過一題多解訓練，達到鍛煉學生的思維，拓寬學生的思路，增長學生的知識，培養和提高學生的創造性學習能力的根本目的.發散性思維是變通的，因此在教學過程中，對一些問題的解決，教師充分利用學生學過的基礎知識和技能，調動一切做題手段，從各個側面論證同一命題正確性.

2.利用一題多變，培養學生的多向思維.

著名數學家波利亞說：“一個專心認真備課的教師能夠拿出一個有變化但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”

一題多變即從一道例題或習題出發通過改變條件、改變結論、變化情景、變化題型、變化難度等手段使原來的一道題變成一類題、由一類題變成多類題，并通過對變式題的研究、解決，促使學生積極思維，有利于防止就題論題、呆板僵化的思維方式.從而培養學生思維的靈活性，達到舉一反三、觸類旁通，熟一片、通一類的效果.

例：甲列車從A地開往B地，速度是80千米/小時，乙列車同時從B地開往A地，速度是100千米/小時.已知A，B兩地相距300千米，兩車相遇的地方離A地多遠？

變式1：兩車幾小時后相遇？

變式2：如果甲車先開20分鐘，甲車行了多少小時兩車相遇？

變式3：兩車同時開出，同向而行，多少小時乙車可以追趕上甲車？

這種訓練不僅使學生更深入地掌握這種問題的結構和解法，還可預防思維定勢，同時也培養發散思維能力.

總之，教師在教學實踐中，要多方面培養學生的發散性思維能力，堅持發展學生的創造力.教師通過發散→集中→再發散→再集中的循環思維方式，將發散與集中有機結合，使學生的思維品質得到優化，使學生的創造性思維和創新能力得到進一步提高.endprint

發散思維，即求異思維，它具有多向性、變異性、獨特性的特點，包括橫向思維、逆向思維及多向思維.在中學數學教學中，培養學生的發散思維可提高學生的綜合素質，這是中學數學教學改革的重要課題.我們要有目的地從以下三個方面培養學生的思維品質，開闊學生的視野，拓寬學生的思路，啟迪學生的思維意識，培養學生的發散性思維能力，提高學生的創造力.

一、加強知識間的縱橫聯系，培養橫向思維

知識間總有縱向、橫向、多向或多層次等多種聯系，教師要善于發現、引導學生建立思維線索.要盡可能運用思維技巧，利用聯想把若干數學概念或定理、法則等賦予巧妙的聯系，從而獲得新的理解等.橫向思維關鍵在于培養學生的縱橫發散，而縱橫發散是通過兩個或多個發散點間的聯系，以及發散點與其他知識的關系，借助例題形成發散思維.

像這樣通過建立聯系、學會縱橫思維，就可以很快解決問題.在課堂上還可采用小組討論、競賽、自學等，反復訓練，逐步發展學生的數學思維能力.

二、打破正向思維，培養逆向思維

心理學研究表明：每一個思維過程都有一個與之相反的思維過程，在這個互逆過程中，存在正、逆思維的聯結.正向思維是從題目給的已知條件出發，按題目給的已知條件順利去研究、推導未知結論的思維方式.所謂逆向思維，是指和正向思維方向相反而又相互聯系的思維過程，即我們通常所說的“倒著想”或“反過來想一想”.逆向思維可以化異為同，化生為熟，化多為少，化難為易，變繁為簡，逆向思維也是人們提出問題、解決問題的一種重要方法.

從以上例題可知，學生在思考問題時，若能積極、大膽地把思維方向引向倒轉，從別人思維的相反方向或相反順序上考慮問題，往往能得到突破，取得意想不到的效果，從而解決問題.同時教師在教學中有意識地進行轉化思維方法的滲透，就會強化學生轉化的意識，培養學生的逆向思維.

如果一個學生的雙基越扎實，前面知識對后面知識的負遷移作用就越小，逆向思維也就越容易建立.因此，培養學生的逆向思維能力，必須以扎實雙基為前提，否則會弄巧成拙、事倍功半.我們只有在夯實學生雙基的前提下，顧及學生年齡、心理發展特點和接受能力，精心設計培養學生逆向思維能力的方法，才能使學生的創造性思維得到發展.

三、利用一題多解、一題多變，培養多向思維

反復進行“一題多解”、“一題多變”的訓練，是幫助學生克服思維狹窄性的有效途徑.可通過討論，啟迪學生思維，開拓解題思路，在此基礎上讓學生通過多次訓練，既增長了知識，又培養了思維能力.在數學教學中，抓住一道典型題目，尋求多種途徑的解法，促使學生全方位、多層次地思考分析.

1.利用一題多解，培養學生的多向思維.

一題多解訓練，就是啟發和引導學生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運算過程分析、解答同一道數學題的練習活動.一題多解是培養學生發散思維能力、探索精神和創新能力的有效途徑.

分析一：因AD∥BC，延長FE交CB延長線，由△FAE≌△HBE及△FAG∽△HCG，即可證明本題.如圖（1），證明略.

分析二：因AB∥DC，過F作DC的平行線，由△AMF∽△ACD及△FMG∽△EAG，即可證明本題.如圖（2），證明略.

分析四：過點D作DH∥FE交AB的延長線于點H，由△AEF∽△AHD及△DQC∽△HQA，本題可證.如圖（4），證明略.

通過一題多解訓練，達到鍛煉學生的思維，拓寬學生的思路，增長學生的知識，培養和提高學生的創造性學習能力的根本目的.發散性思維是變通的，因此在教學過程中，對一些問題的解決，教師充分利用學生學過的基礎知識和技能，調動一切做題手段，從各個側面論證同一命題正確性.

2.利用一題多變，培養學生的多向思維.

著名數學家波利亞說：“一個專心認真備課的教師能夠拿出一個有變化但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”

一題多變即從一道例題或習題出發通過改變條件、改變結論、變化情景、變化題型、變化難度等手段使原來的一道題變成一類題、由一類題變成多類題，并通過對變式題的研究、解決，促使學生積極思維，有利于防止就題論題、呆板僵化的思維方式.從而培養學生思維的靈活性，達到舉一反三、觸類旁通，熟一片、通一類的效果.

例：甲列車從A地開往B地，速度是80千米/小時，乙列車同時從B地開往A地，速度是100千米/小時.已知A，B兩地相距300千米，兩車相遇的地方離A地多遠？

變式1：兩車幾小時后相遇？

變式2：如果甲車先開20分鐘，甲車行了多少小時兩車相遇？

變式3：兩車同時開出，同向而行，多少小時乙車可以追趕上甲車？

這種訓練不僅使學生更深入地掌握這種問題的結構和解法，還可預防思維定勢，同時也培養發散思維能力.

總之，教師在教學實踐中，要多方面培養學生的發散性思維能力，堅持發展學生的創造力.教師通過發散→集中→再發散→再集中的循環思維方式，將發散與集中有機結合，使學生的思維品質得到優化，使學生的創造性思維和創新能力得到進一步提高.endprint