數學中的執因索果與執果索因

張興萍

在數學問題的分析和解答中，人們往往愛用執因索果或者執果索因的思維方法.前者是從條件出發，逐步推導出所需的結論，反映在解法上往往為綜合法；后者則是從結論出發，逐步地追溯使結論成立的條件，反映在解法上就是分析法，也稱之為逆推法.綜合法的特點是從已知看可知逐步推向未知；而分析法的特點則是從未知看需知逐步靠攏已知.在實際解決問題的過程中往往是用執果索因的思維方法分析尋找解題思路，而用綜合法表達解證過程.

例1：已知a、b是互不相等的正數且a+b=1，試證 + >4.

證法一：（執果索因思維方法）要證明 + >4，因為a>0、b>0，所以只要證明a+b>4ab.由于a+b=1，因此只要證明1>4a（1-a），就是要證明4a -4a+1>0即（2a-1） >0，也就是要證明a≠ .條件a>0，b>0，a≠b，a+b=1，易得a≠ 成立.

證法二：（執因索果思維方法）∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1，∴ + = + =2+（ + ）≥2+2 =4，當且僅當 = 即a=b時等號成立.∵a≠b，∴ + >4.

證法三：∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1

∴可設a=cos α則b=sin α（0<α< 且α≠ ），

∴ + = + =sec α+csec α=（1+tan α）+（1+ctan α）=2+（tan α+ctan α）>=2+2 =4.

例2：已知關于x的實系數方程x +x+m=0的兩個根x 、x 滿足|x -x |=3，求實數m的值.

分析：本題中方程x +x+m=0的兩個根x 、x 到底是實數還是虛數并沒有明確，但是x 、x ∈C則沒有任何疑問.為此，如何運用條件|x -x |=3則是解本題的關鍵.x 、x ∈C且|x -x |=3，則9=|x -x | =|（x -x ） |=|（x +x ） -4x x |=|（-1） -4m|，

∴m=-2或m= .

例3：設s 、t 分別是等差數列{a }、{b }的前n項和，并且 = ，求f（n）= .

分析：本題的關鍵是必須把 逐步轉化為 的某種關系.若注意到{a }、{b }均為等差數列，則可以利用等差數列的性質來轉化.比如：{a }是非常數等差數列？圳s =an +bn（ab≠0）.

解法一：∵{a }、{b }均為等差數列（記φ（n）= ）

∴ = = = = =

∴f（n）= = =φ（2n-1）= = 即為所求.

解法二：∵ = = （a≠0）并且s 、t 分別是等差數列{a }、{b }的前n項和，

∴s =7an +an，t =4an +27an（a≠0為一個常數）

∴a =s =8a，b =t =31a得f（1）= .

當n≥2時，a =s -s =7a[n -（n-1） ]+a[n-（n-1）]=14na-6a

同理b =t -t =ta[n -（n-1） ]+27a[n-（n-1）]=8na+23a

∴當n≥2時，f（n）= = =

（顯然上式對n=1得比值為f（1）= ），∴f（n）= 即為所求.

備注：若兩個等差數列{a }、{b }的前n項之和s 、t 的比值記為φ（n）= ，而記 =f（n），則f（n）=φ（2n-1）.

例4：已知x>1、y>1、z>1，a>0且a≠1，若 = = ，則x y =y z =z x .

分析：本題的條件式 = = ，和結論式x y =y z =z x 都是關于x、y、z的輪換對稱式子，因此要證x y =y z =z x 成立，只要證明x y =y z 或y z =z x 之一成立，另一則同理可證.由于條件式 = = ，是一個比值式（該比值非0，否則x（y+z-x）=y（z+x-y）=z（x+y-z）=0得x+y+z=0與x>1、y>1、z>1矛盾），其分母均含有對數，不妨設這個比值為 即 = = = 得log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.于是，只要我們能夠把結論式x y =y z 或y z =z x 都化為對數的形式問題就可能有解決的辦法.

證明：要證明x y =y z 成立，只要證明log x y =log y z 成立，只要證明ylog x+xlog y=zlog y+ylog z成立就行了.

令條件比值式= 則log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.

而ylog x+xlog y=y kx（y+z-x）+x ky（z+x-y）=2kxyz

zlog y+ylog z=z ky（z+x-y）+y kz（x+y-z）=2kxyz

∴ylog x+xlog y=zlog y+ylog z即x y =y z 成立

同理可以證明y z =z x 成立.

∴若 = = ，則x y =y z =z x .

備注：一般地，若條件式是一個比值式，通常可以設這個比值式的比值為一個常數k或 ，由此可以把條件簡化為關于常數k的代數式便于應用條件.endprint

在數學問題的分析和解答中，人們往往愛用執因索果或者執果索因的思維方法.前者是從條件出發，逐步推導出所需的結論，反映在解法上往往為綜合法；后者則是從結論出發，逐步地追溯使結論成立的條件，反映在解法上就是分析法，也稱之為逆推法.綜合法的特點是從已知看可知逐步推向未知；而分析法的特點則是從未知看需知逐步靠攏已知.在實際解決問題的過程中往往是用執果索因的思維方法分析尋找解題思路，而用綜合法表達解證過程.

例1：已知a、b是互不相等的正數且a+b=1，試證 + >4.

證法一：（執果索因思維方法）要證明 + >4，因為a>0、b>0，所以只要證明a+b>4ab.由于a+b=1，因此只要證明1>4a（1-a），就是要證明4a -4a+1>0即（2a-1） >0，也就是要證明a≠ .條件a>0，b>0，a≠b，a+b=1，易得a≠ 成立.

證法二：（執因索果思維方法）∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1，∴ + = + =2+（ + ）≥2+2 =4，當且僅當 = 即a=b時等號成立.∵a≠b，∴ + >4.

證法三：∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1

∴可設a=cos α則b=sin α（0<α< 且α≠ ），

∴ + = + =sec α+csec α=（1+tan α）+（1+ctan α）=2+（tan α+ctan α）>=2+2 =4.

例2：已知關于x的實系數方程x +x+m=0的兩個根x 、x 滿足|x -x |=3，求實數m的值.

分析：本題中方程x +x+m=0的兩個根x 、x 到底是實數還是虛數并沒有明確，但是x 、x ∈C則沒有任何疑問.為此，如何運用條件|x -x |=3則是解本題的關鍵.x 、x ∈C且|x -x |=3，則9=|x -x | =|（x -x ） |=|（x +x ） -4x x |=|（-1） -4m|，

∴m=-2或m= .

例3：設s 、t 分別是等差數列{a }、{b }的前n項和，并且 = ，求f（n）= .

分析：本題的關鍵是必須把 逐步轉化為 的某種關系.若注意到{a }、{b }均為等差數列，則可以利用等差數列的性質來轉化.比如：{a }是非常數等差數列？圳s =an +bn（ab≠0）.

解法一：∵{a }、{b }均為等差數列（記φ（n）= ）

∴ = = = = =

∴f（n）= = =φ（2n-1）= = 即為所求.

解法二：∵ = = （a≠0）并且s 、t 分別是等差數列{a }、{b }的前n項和，

∴s =7an +an，t =4an +27an（a≠0為一個常數）

∴a =s =8a，b =t =31a得f（1）= .

當n≥2時，a =s -s =7a[n -（n-1） ]+a[n-（n-1）]=14na-6a

同理b =t -t =ta[n -（n-1） ]+27a[n-（n-1）]=8na+23a

∴當n≥2時，f（n）= = =

（顯然上式對n=1得比值為f（1）= ），∴f（n）= 即為所求.

備注：若兩個等差數列{a }、{b }的前n項之和s 、t 的比值記為φ（n）= ，而記 =f（n），則f（n）=φ（2n-1）.

例4：已知x>1、y>1、z>1，a>0且a≠1，若 = = ，則x y =y z =z x .

分析：本題的條件式 = = ，和結論式x y =y z =z x 都是關于x、y、z的輪換對稱式子，因此要證x y =y z =z x 成立，只要證明x y =y z 或y z =z x 之一成立，另一則同理可證.由于條件式 = = ，是一個比值式（該比值非0，否則x（y+z-x）=y（z+x-y）=z（x+y-z）=0得x+y+z=0與x>1、y>1、z>1矛盾），其分母均含有對數，不妨設這個比值為 即 = = = 得log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.于是，只要我們能夠把結論式x y =y z 或y z =z x 都化為對數的形式問題就可能有解決的辦法.

證明：要證明x y =y z 成立，只要證明log x y =log y z 成立，只要證明ylog x+xlog y=zlog y+ylog z成立就行了.

令條件比值式= 則log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.

而ylog x+xlog y=y kx（y+z-x）+x ky（z+x-y）=2kxyz

zlog y+ylog z=z ky（z+x-y）+y kz（x+y-z）=2kxyz

∴ylog x+xlog y=zlog y+ylog z即x y =y z 成立

同理可以證明y z =z x 成立.

∴若 = = ，則x y =y z =z x .

備注：一般地，若條件式是一個比值式，通常可以設這個比值式的比值為一個常數k或 ，由此可以把條件簡化為關于常數k的代數式便于應用條件.endprint

在數學問題的分析和解答中，人們往往愛用執因索果或者執果索因的思維方法.前者是從條件出發，逐步推導出所需的結論，反映在解法上往往為綜合法；后者則是從結論出發，逐步地追溯使結論成立的條件，反映在解法上就是分析法，也稱之為逆推法.綜合法的特點是從已知看可知逐步推向未知；而分析法的特點則是從未知看需知逐步靠攏已知.在實際解決問題的過程中往往是用執果索因的思維方法分析尋找解題思路，而用綜合法表達解證過程.

例1：已知a、b是互不相等的正數且a+b=1，試證 + >4.

證法一：（執果索因思維方法）要證明 + >4，因為a>0、b>0，所以只要證明a+b>4ab.由于a+b=1，因此只要證明1>4a（1-a），就是要證明4a -4a+1>0即（2a-1） >0，也就是要證明a≠ .條件a>0，b>0，a≠b，a+b=1，易得a≠ 成立.

證法二：（執因索果思維方法）∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1，∴ + = + =2+（ + ）≥2+2 =4，當且僅當 = 即a=b時等號成立.∵a≠b，∴ + >4.

證法三：∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1

∴可設a=cos α則b=sin α（0<α< 且α≠ ），

∴ + = + =sec α+csec α=（1+tan α）+（1+ctan α）=2+（tan α+ctan α）>=2+2 =4.

例2：已知關于x的實系數方程x +x+m=0的兩個根x 、x 滿足|x -x |=3，求實數m的值.

分析：本題中方程x +x+m=0的兩個根x 、x 到底是實數還是虛數并沒有明確，但是x 、x ∈C則沒有任何疑問.為此，如何運用條件|x -x |=3則是解本題的關鍵.x 、x ∈C且|x -x |=3，則9=|x -x | =|（x -x ） |=|（x +x ） -4x x |=|（-1） -4m|，

∴m=-2或m= .

例3：設s 、t 分別是等差數列{a }、{b }的前n項和，并且 = ，求f（n）= .

分析：本題的關鍵是必須把 逐步轉化為 的某種關系.若注意到{a }、{b }均為等差數列，則可以利用等差數列的性質來轉化.比如：{a }是非常數等差數列？圳s =an +bn（ab≠0）.

解法一：∵{a }、{b }均為等差數列（記φ（n）= ）

∴ = = = = =

∴f（n）= = =φ（2n-1）= = 即為所求.

解法二：∵ = = （a≠0）并且s 、t 分別是等差數列{a }、{b }的前n項和，

∴s =7an +an，t =4an +27an（a≠0為一個常數）

∴a =s =8a，b =t =31a得f（1）= .

當n≥2時，a =s -s =7a[n -（n-1） ]+a[n-（n-1）]=14na-6a

同理b =t -t =ta[n -（n-1） ]+27a[n-（n-1）]=8na+23a

∴當n≥2時，f（n）= = =

（顯然上式對n=1得比值為f（1）= ），∴f（n）= 即為所求.

備注：若兩個等差數列{a }、{b }的前n項之和s 、t 的比值記為φ（n）= ，而記 =f（n），則f（n）=φ（2n-1）.

例4：已知x>1、y>1、z>1，a>0且a≠1，若 = = ，則x y =y z =z x .

分析：本題的條件式 = = ，和結論式x y =y z =z x 都是關于x、y、z的輪換對稱式子，因此要證x y =y z =z x 成立，只要證明x y =y z 或y z =z x 之一成立，另一則同理可證.由于條件式 = = ，是一個比值式（該比值非0，否則x（y+z-x）=y（z+x-y）=z（x+y-z）=0得x+y+z=0與x>1、y>1、z>1矛盾），其分母均含有對數，不妨設這個比值為 即 = = = 得log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.于是，只要我們能夠把結論式x y =y z 或y z =z x 都化為對數的形式問題就可能有解決的辦法.

證明：要證明x y =y z 成立，只要證明log x y =log y z 成立，只要證明ylog x+xlog y=zlog y+ylog z成立就行了.

令條件比值式= 則log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.

而ylog x+xlog y=y kx（y+z-x）+x ky（z+x-y）=2kxyz

zlog y+ylog z=z ky（z+x-y）+y kz（x+y-z）=2kxyz

∴ylog x+xlog y=zlog y+ylog z即x y =y z 成立

同理可以證明y z =z x 成立.

∴若 = = ，則x y =y z =z x .

備注：一般地，若條件式是一個比值式，通常可以設這個比值式的比值為一個常數k或 ，由此可以把條件簡化為關于常數k的代數式便于應用條件.endprint