導(dǎo)數(shù)在彈性與邊際中的應(yīng)用

盛繼中

摘 要： 本文主要研究了經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的彈性與邊際.運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的導(dǎo)數(shù)工具對(duì)彈性與邊際進(jìn)行了深入分析，同時(shí)，給出了在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 邊際 彈性

一、函數(shù)的瞬時(shí)變化率——邊際概念

值得注意的是經(jīng)濟(jì)函數(shù)大多是離散的不連續(xù)的，例如產(chǎn)品的銷售量總是以整數(shù)變化而不會(huì)出現(xiàn)幾分之幾或零點(diǎn)幾.所以從嚴(yán)格意義上講大多數(shù)經(jīng)濟(jì)函數(shù)不可能用微積分的方法來(lái)處理.但是，如果經(jīng)濟(jì)總量非常大，突然增加一個(gè)或減少一個(gè)，這時(shí)發(fā)生的變化同總量相比就是很小的，所以，我們可以近似地認(rèn)為，當(dāng)經(jīng)濟(jì)總量很大時(shí)，這種變化是連續(xù)的，甚至是可微的.根據(jù)這個(gè)假定，我們就可以對(duì)經(jīng)濟(jì)函數(shù)引入瞬時(shí)變化率的概念.

那么企業(yè)產(chǎn)量達(dá)到多少時(shí)，才可以使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)呢？

由以上兩段的分析可知，在獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量處，也必須要求邊際收入等于邊際成本，并且其邊際收入的導(dǎo)數(shù)還要小于邊際成本的導(dǎo)數(shù).

二、函數(shù)的相關(guān)變化率——彈性

以上的邊際分析中，無(wú)論是函數(shù)的增量還是函數(shù)變化率都是在絕對(duì)數(shù)量范圍內(nèi)的.但在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的分析中，僅僅知道絕對(duì)變量與絕對(duì)變化率是不夠的.例如，筆記本電腦每臺(tái)大致10000元，普通MP3每部500元左右，若兩者都漲價(jià)100元?jiǎng)t它們價(jià)格的絕對(duì)變量都是100元，但是這一樣嗎？如果將他們與商品的原價(jià)格相比，筆記本電腦的價(jià)格漲了1%，而MP3的價(jià)格卻漲了20%，顯然，MP3價(jià)格的漲幅要比筆記本電腦的大得多，所以這次MP3價(jià)格的上漲會(huì)在大眾消費(fèi)群中的引起軒然大波，其銷售量也會(huì)受到較大影響，相比較而言筆記本電腦的漲價(jià)卻顯得微不足道了.借由這個(gè)簡(jiǎn)單的例子我們覺(jué)得有必要研究一下函數(shù)的相關(guān)改變量與相關(guān)變化率.

我們舉個(gè)例子加以說(shuō)明：

例2：現(xiàn)在免費(fèi)公共交通提倡者指出城市中交通擁擠的狀況已引起了公眾的極大的關(guān)注，若公共交通可以降價(jià)甚至免費(fèi)，那么許多通勤者就會(huì)改乘公共交通工具而不使用私家車，交通堵塞可以得到緩解，城市的空氣污染也會(huì)減輕.這種建議似乎很好可是否真的有效？即它能在多大程度上提高公共交通的使用率并且減少城市中私家車的使用量從而達(dá)到最終目的呢？這就涉及了很多問(wèn)題，其中之一就是公共交通工具比如說(shuō)公交車的需求價(jià)格彈性有多少，即降低公交車的車價(jià)可以增加多少公交車的乘坐率？

若假設(shè)公交車的需求彈性是0.4，且計(jì)劃將車價(jià)下調(diào)50%，讓我們看一下這個(gè)措施將帶來(lái)的怎樣影響吧.

這個(gè)結(jié)果告訴我們?cè)诠卉囆枨髲椥允?.4的情況下，公交車價(jià)下降50%只可以使乘客增加20%，即公交車的使用率提高的并不多，并且公交車行業(yè)的總收入還會(huì)因?yàn)榻祪r(jià)減少30%.所以從這個(gè)方面來(lái)看，這個(gè)建議不是很有效.除非公交車的需求彈性被改變.

它所表達(dá)的就是若IC卡的價(jià)格繼續(xù)上升到0.9元，則乘客會(huì)下降11.44%，收入?yún)s提高17.16%，也就是公交車的使用率下降的并不多，而且行業(yè)的收入還會(huì)上升17.16%，所以很不幸，繼續(xù)提價(jià)還是存在很大可能的.

三、二元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際與彈性

上面介紹的是一元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際與彈性分析，但在實(shí)際經(jīng)濟(jì)分析中一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)不可能只和一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量有關(guān)，大多數(shù)的經(jīng)濟(jì)函數(shù)都和多個(gè)變量相聯(lián)系，所以有必要討論多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)，仿照一元函數(shù)的方法就可以建立起相應(yīng)的多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際與彈性.以下以二元函數(shù)為例舉例進(jìn)行說(shuō)明.

1.二元函數(shù)的邊際分析——邊際成本

上式的意義為，在需求交叉價(jià)格彈性為0.1的假設(shè)下，當(dāng)公交車的價(jià)格下降50%時(shí)會(huì)引起私家車的使用量下降5%，即這種收費(fèi)的減少幾乎不會(huì)對(duì)城市中的私家車使用量產(chǎn)生影響.根據(jù)這個(gè)結(jié)果，降低公交車的收費(fèi)很難使私家車的使用者轉(zhuǎn)變?yōu)楣卉嚨氖褂谜?所以結(jié)合例2中分析的結(jié)果，在給定的條件下，該措施并不能有效地緩解城市交通堵塞和環(huán)境污染的問(wèn)題，還需考慮其他辦法.

另外，利用交叉價(jià)格偏彈性還可以判別兩種商品是互補(bǔ)品還是替代商品.若兩種商品的需求交叉價(jià)格彈性為正值，則兩種商品之間為替代關(guān)系，即兩種商品可以相互替代來(lái)滿足消費(fèi)者的某種需求，比如水果中的蘋(píng)果和梨；若需求交叉彈性為負(fù)值，則兩種商品之間為互補(bǔ)關(guān)系，即兩種商品必須同時(shí)使用才能滿足消費(fèi)者的某種需求，如照相機(jī)和膠卷；若需求交叉彈性為零，則兩種商品間無(wú)相關(guān)關(guān)系.

其余的彈性還有供給價(jià)格彈性、需求收入彈性等，被廣泛地運(yùn)用于各種經(jīng)濟(jì)變量之間，對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的分析起到了重要的作用.

四、邊際和彈性的聯(lián)系與區(qū)別

以上結(jié)果表示p=4時(shí)，價(jià)格上升1%，總收益將降低1.286%，價(jià)格增加一個(gè)單位，總收益將減少18個(gè)單位.

由上面的解題看出，邊際與彈性隨著p點(diǎn)的不同而不同，是一個(gè)局部性的概念，掌握“邊際”與“彈性”的概念，注意它們的區(qū)別與聯(lián)系，在市場(chǎng)管理和制定商品價(jià)格、確定生產(chǎn)量等方面都具有重要的經(jīng)濟(jì)意義.

參考文獻(xiàn)：

[1]全國(guó)金融聯(lián)考研究組.金融聯(lián)考大綱[M].金程教育出版社，2005.

[2]張從軍，李輝，等.常見(jiàn)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)解析[M].東南大學(xué)出版社，2004.

[3]高鴻業(yè).西方經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社，2004.endprint

摘 要： 本文主要研究了經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的彈性與邊際.運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的導(dǎo)數(shù)工具對(duì)彈性與邊際進(jìn)行了深入分析，同時(shí)，給出了在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 邊際 彈性

一、函數(shù)的瞬時(shí)變化率——邊際概念

值得注意的是經(jīng)濟(jì)函數(shù)大多是離散的不連續(xù)的，例如產(chǎn)品的銷售量總是以整數(shù)變化而不會(huì)出現(xiàn)幾分之幾或零點(diǎn)幾.所以從嚴(yán)格意義上講大多數(shù)經(jīng)濟(jì)函數(shù)不可能用微積分的方法來(lái)處理.但是，如果經(jīng)濟(jì)總量非常大，突然增加一個(gè)或減少一個(gè)，這時(shí)發(fā)生的變化同總量相比就是很小的，所以，我們可以近似地認(rèn)為，當(dāng)經(jīng)濟(jì)總量很大時(shí)，這種變化是連續(xù)的，甚至是可微的.根據(jù)這個(gè)假定，我們就可以對(duì)經(jīng)濟(jì)函數(shù)引入瞬時(shí)變化率的概念.

那么企業(yè)產(chǎn)量達(dá)到多少時(shí)，才可以使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)呢？

由以上兩段的分析可知，在獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量處，也必須要求邊際收入等于邊際成本，并且其邊際收入的導(dǎo)數(shù)還要小于邊際成本的導(dǎo)數(shù).

二、函數(shù)的相關(guān)變化率——彈性

以上的邊際分析中，無(wú)論是函數(shù)的增量還是函數(shù)變化率都是在絕對(duì)數(shù)量范圍內(nèi)的.但在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的分析中，僅僅知道絕對(duì)變量與絕對(duì)變化率是不夠的.例如，筆記本電腦每臺(tái)大致10000元，普通MP3每部500元左右，若兩者都漲價(jià)100元?jiǎng)t它們價(jià)格的絕對(duì)變量都是100元，但是這一樣嗎？如果將他們與商品的原價(jià)格相比，筆記本電腦的價(jià)格漲了1%，而MP3的價(jià)格卻漲了20%，顯然，MP3價(jià)格的漲幅要比筆記本電腦的大得多，所以這次MP3價(jià)格的上漲會(huì)在大眾消費(fèi)群中的引起軒然大波，其銷售量也會(huì)受到較大影響，相比較而言筆記本電腦的漲價(jià)卻顯得微不足道了.借由這個(gè)簡(jiǎn)單的例子我們覺(jué)得有必要研究一下函數(shù)的相關(guān)改變量與相關(guān)變化率.

我們舉個(gè)例子加以說(shuō)明：

例2：現(xiàn)在免費(fèi)公共交通提倡者指出城市中交通擁擠的狀況已引起了公眾的極大的關(guān)注，若公共交通可以降價(jià)甚至免費(fèi)，那么許多通勤者就會(huì)改乘公共交通工具而不使用私家車，交通堵塞可以得到緩解，城市的空氣污染也會(huì)減輕.這種建議似乎很好可是否真的有效？即它能在多大程度上提高公共交通的使用率并且減少城市中私家車的使用量從而達(dá)到最終目的呢？這就涉及了很多問(wèn)題，其中之一就是公共交通工具比如說(shuō)公交車的需求價(jià)格彈性有多少，即降低公交車的車價(jià)可以增加多少公交車的乘坐率？

若假設(shè)公交車的需求彈性是0.4，且計(jì)劃將車價(jià)下調(diào)50%，讓我們看一下這個(gè)措施將帶來(lái)的怎樣影響吧.

這個(gè)結(jié)果告訴我們?cè)诠卉囆枨髲椥允?.4的情況下，公交車價(jià)下降50%只可以使乘客增加20%，即公交車的使用率提高的并不多，并且公交車行業(yè)的總收入還會(huì)因?yàn)榻祪r(jià)減少30%.所以從這個(gè)方面來(lái)看，這個(gè)建議不是很有效.除非公交車的需求彈性被改變.

它所表達(dá)的就是若IC卡的價(jià)格繼續(xù)上升到0.9元，則乘客會(huì)下降11.44%，收入?yún)s提高17.16%，也就是公交車的使用率下降的并不多，而且行業(yè)的收入還會(huì)上升17.16%，所以很不幸，繼續(xù)提價(jià)還是存在很大可能的.

三、二元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際與彈性

上面介紹的是一元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際與彈性分析，但在實(shí)際經(jīng)濟(jì)分析中一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)不可能只和一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量有關(guān)，大多數(shù)的經(jīng)濟(jì)函數(shù)都和多個(gè)變量相聯(lián)系，所以有必要討論多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)，仿照一元函數(shù)的方法就可以建立起相應(yīng)的多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際與彈性.以下以二元函數(shù)為例舉例進(jìn)行說(shuō)明.

1.二元函數(shù)的邊際分析——邊際成本

上式的意義為，在需求交叉價(jià)格彈性為0.1的假設(shè)下，當(dāng)公交車的價(jià)格下降50%時(shí)會(huì)引起私家車的使用量下降5%，即這種收費(fèi)的減少幾乎不會(huì)對(duì)城市中的私家車使用量產(chǎn)生影響.根據(jù)這個(gè)結(jié)果，降低公交車的收費(fèi)很難使私家車的使用者轉(zhuǎn)變?yōu)楣卉嚨氖褂谜?所以結(jié)合例2中分析的結(jié)果，在給定的條件下，該措施并不能有效地緩解城市交通堵塞和環(huán)境污染的問(wèn)題，還需考慮其他辦法.

另外，利用交叉價(jià)格偏彈性還可以判別兩種商品是互補(bǔ)品還是替代商品.若兩種商品的需求交叉價(jià)格彈性為正值，則兩種商品之間為替代關(guān)系，即兩種商品可以相互替代來(lái)滿足消費(fèi)者的某種需求，比如水果中的蘋(píng)果和梨；若需求交叉彈性為負(fù)值，則兩種商品之間為互補(bǔ)關(guān)系，即兩種商品必須同時(shí)使用才能滿足消費(fèi)者的某種需求，如照相機(jī)和膠卷；若需求交叉彈性為零，則兩種商品間無(wú)相關(guān)關(guān)系.

其余的彈性還有供給價(jià)格彈性、需求收入彈性等，被廣泛地運(yùn)用于各種經(jīng)濟(jì)變量之間，對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的分析起到了重要的作用.

四、邊際和彈性的聯(lián)系與區(qū)別

以上結(jié)果表示p=4時(shí)，價(jià)格上升1%，總收益將降低1.286%，價(jià)格增加一個(gè)單位，總收益將減少18個(gè)單位.

由上面的解題看出，邊際與彈性隨著p點(diǎn)的不同而不同，是一個(gè)局部性的概念，掌握“邊際”與“彈性”的概念，注意它們的區(qū)別與聯(lián)系，在市場(chǎng)管理和制定商品價(jià)格、確定生產(chǎn)量等方面都具有重要的經(jīng)濟(jì)意義.

參考文獻(xiàn)：

[1]全國(guó)金融聯(lián)考研究組.金融聯(lián)考大綱[M].金程教育出版社，2005.

[2]張從軍，李輝，等.常見(jiàn)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)解析[M].東南大學(xué)出版社，2004.

[3]高鴻業(yè).西方經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社，2004.endprint

摘 要： 本文主要研究了經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的彈性與邊際.運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的導(dǎo)數(shù)工具對(duì)彈性與邊際進(jìn)行了深入分析，同時(shí)，給出了在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 邊際 彈性

一、函數(shù)的瞬時(shí)變化率——邊際概念

值得注意的是經(jīng)濟(jì)函數(shù)大多是離散的不連續(xù)的，例如產(chǎn)品的銷售量總是以整數(shù)變化而不會(huì)出現(xiàn)幾分之幾或零點(diǎn)幾.所以從嚴(yán)格意義上講大多數(shù)經(jīng)濟(jì)函數(shù)不可能用微積分的方法來(lái)處理.但是，如果經(jīng)濟(jì)總量非常大，突然增加一個(gè)或減少一個(gè)，這時(shí)發(fā)生的變化同總量相比就是很小的，所以，我們可以近似地認(rèn)為，當(dāng)經(jīng)濟(jì)總量很大時(shí)，這種變化是連續(xù)的，甚至是可微的.根據(jù)這個(gè)假定，我們就可以對(duì)經(jīng)濟(jì)函數(shù)引入瞬時(shí)變化率的概念.

那么企業(yè)產(chǎn)量達(dá)到多少時(shí)，才可以使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)呢？

由以上兩段的分析可知，在獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量處，也必須要求邊際收入等于邊際成本，并且其邊際收入的導(dǎo)數(shù)還要小于邊際成本的導(dǎo)數(shù).

二、函數(shù)的相關(guān)變化率——彈性

以上的邊際分析中，無(wú)論是函數(shù)的增量還是函數(shù)變化率都是在絕對(duì)數(shù)量范圍內(nèi)的.但在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的分析中，僅僅知道絕對(duì)變量與絕對(duì)變化率是不夠的.例如，筆記本電腦每臺(tái)大致10000元，普通MP3每部500元左右，若兩者都漲價(jià)100元?jiǎng)t它們價(jià)格的絕對(duì)變量都是100元，但是這一樣嗎？如果將他們與商品的原價(jià)格相比，筆記本電腦的價(jià)格漲了1%，而MP3的價(jià)格卻漲了20%，顯然，MP3價(jià)格的漲幅要比筆記本電腦的大得多，所以這次MP3價(jià)格的上漲會(huì)在大眾消費(fèi)群中的引起軒然大波，其銷售量也會(huì)受到較大影響，相比較而言筆記本電腦的漲價(jià)卻顯得微不足道了.借由這個(gè)簡(jiǎn)單的例子我們覺(jué)得有必要研究一下函數(shù)的相關(guān)改變量與相關(guān)變化率.

我們舉個(gè)例子加以說(shuō)明：

例2：現(xiàn)在免費(fèi)公共交通提倡者指出城市中交通擁擠的狀況已引起了公眾的極大的關(guān)注，若公共交通可以降價(jià)甚至免費(fèi)，那么許多通勤者就會(huì)改乘公共交通工具而不使用私家車，交通堵塞可以得到緩解，城市的空氣污染也會(huì)減輕.這種建議似乎很好可是否真的有效？即它能在多大程度上提高公共交通的使用率并且減少城市中私家車的使用量從而達(dá)到最終目的呢？這就涉及了很多問(wèn)題，其中之一就是公共交通工具比如說(shuō)公交車的需求價(jià)格彈性有多少，即降低公交車的車價(jià)可以增加多少公交車的乘坐率？

若假設(shè)公交車的需求彈性是0.4，且計(jì)劃將車價(jià)下調(diào)50%，讓我們看一下這個(gè)措施將帶來(lái)的怎樣影響吧.

這個(gè)結(jié)果告訴我們?cè)诠卉囆枨髲椥允?.4的情況下，公交車價(jià)下降50%只可以使乘客增加20%，即公交車的使用率提高的并不多，并且公交車行業(yè)的總收入還會(huì)因?yàn)榻祪r(jià)減少30%.所以從這個(gè)方面來(lái)看，這個(gè)建議不是很有效.除非公交車的需求彈性被改變.

它所表達(dá)的就是若IC卡的價(jià)格繼續(xù)上升到0.9元，則乘客會(huì)下降11.44%，收入?yún)s提高17.16%，也就是公交車的使用率下降的并不多，而且行業(yè)的收入還會(huì)上升17.16%，所以很不幸，繼續(xù)提價(jià)還是存在很大可能的.

三、二元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際與彈性

上面介紹的是一元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際與彈性分析，但在實(shí)際經(jīng)濟(jì)分析中一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)不可能只和一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量有關(guān)，大多數(shù)的經(jīng)濟(jì)函數(shù)都和多個(gè)變量相聯(lián)系，所以有必要討論多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)，仿照一元函數(shù)的方法就可以建立起相應(yīng)的多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際與彈性.以下以二元函數(shù)為例舉例進(jìn)行說(shuō)明.

1.二元函數(shù)的邊際分析——邊際成本

上式的意義為，在需求交叉價(jià)格彈性為0.1的假設(shè)下，當(dāng)公交車的價(jià)格下降50%時(shí)會(huì)引起私家車的使用量下降5%，即這種收費(fèi)的減少幾乎不會(huì)對(duì)城市中的私家車使用量產(chǎn)生影響.根據(jù)這個(gè)結(jié)果，降低公交車的收費(fèi)很難使私家車的使用者轉(zhuǎn)變?yōu)楣卉嚨氖褂谜?所以結(jié)合例2中分析的結(jié)果，在給定的條件下，該措施并不能有效地緩解城市交通堵塞和環(huán)境污染的問(wèn)題，還需考慮其他辦法.

另外，利用交叉價(jià)格偏彈性還可以判別兩種商品是互補(bǔ)品還是替代商品.若兩種商品的需求交叉價(jià)格彈性為正值，則兩種商品之間為替代關(guān)系，即兩種商品可以相互替代來(lái)滿足消費(fèi)者的某種需求，比如水果中的蘋(píng)果和梨；若需求交叉彈性為負(fù)值，則兩種商品之間為互補(bǔ)關(guān)系，即兩種商品必須同時(shí)使用才能滿足消費(fèi)者的某種需求，如照相機(jī)和膠卷；若需求交叉彈性為零，則兩種商品間無(wú)相關(guān)關(guān)系.

其余的彈性還有供給價(jià)格彈性、需求收入彈性等，被廣泛地運(yùn)用于各種經(jīng)濟(jì)變量之間，對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的分析起到了重要的作用.

四、邊際和彈性的聯(lián)系與區(qū)別

以上結(jié)果表示p=4時(shí)，價(jià)格上升1%，總收益將降低1.286%，價(jià)格增加一個(gè)單位，總收益將減少18個(gè)單位.

由上面的解題看出，邊際與彈性隨著p點(diǎn)的不同而不同，是一個(gè)局部性的概念，掌握“邊際”與“彈性”的概念，注意它們的區(qū)別與聯(lián)系，在市場(chǎng)管理和制定商品價(jià)格、確定生產(chǎn)量等方面都具有重要的經(jīng)濟(jì)意義.

參考文獻(xiàn)：

[1]全國(guó)金融聯(lián)考研究組.金融聯(lián)考大綱[M].金程教育出版社，2005.

[2]張從軍，李輝，等.常見(jiàn)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)解析[M].東南大學(xué)出版社，2004.

[3]高鴻業(yè).西方經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社，2004.endprint