通過數學解題過程培養學生的創造性思維

李斌

摘 要 數學解題不僅能檢測學生對數學基本知識和基本技能的掌握情況，更重要的是能在訓練學生的思維的同時，開發和培養學生的創造性思維能力。

關鍵詞 數學解題過程 創造性思維

中圖分類號：G658.2 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）14-0105-02

數學教育作為學校教育的重要內容之一，對學生創造性思維能力的形成和發展起著非常重要的作用，尤其作為數學教育任務的數學解題又是重中之重。數學解題不僅能檢測學生對數學基本知識和基本技能的掌握情況，更重要的是能在訓練學生的思維的同時，開發和培養學生的創造性思維能力。

一、數學解題對創造性思維的培養

在數學思維活動中，思維的靈活性表現為能對具體的數學問題作出具體分析，善于根據情況的變化，及時調整原有的思維過程與方法，靈活地運用有關的定理、公式、法則，并且思維不具于固定程式或模式，具有較強的應變能力。下面以具體例子來說明數學解題對創造性思維的培養。

例1 已知a≥-3，解關于x的方程

x4-10x3-2（a-11）x2+2（5a+6）x+2a+a2=0

分析：用常規方法解此四次方程比較困難。調整思維方向，發現方程中的最高次數是2，可把主元與次元作一轉換，整理出關于x的一元二次方程，這樣問題便易于解決了。對于此題的求解，是通過主元與次元的轉換，突破了思維定勢，體現了思維的靈活性。

數學創造思維活動的整個過程都離不開聯想、想象、幻想等科學的想象力，因此，勤于動腦、熟練掌握和運用數學想象的思維方法，往往是實現數學創造的關鍵。

例2 求經過點A（4，-1）并且與直線2x-y=0相切與點M（1，2）的圓的方程。

分析：解此題的一般思維方法是先設出所求的圓的方程（x-a）2+（y-b）2=r2，再由已知條件列出方程組，然后求出系數a，b，r。這種方法計算繁瑣，有些學生會這樣分析：點M可以看作點圓（x-1）2+（y-2）2=0，所求的圓即過已知直線和點圓交點的圓，通過這種分析就將問題簡單化，充分體現了數學思維的創造性與科學性。

根據上述分析可以利用曲線系的思想和方法求解這個問題。

解析：設所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2+ （2x-y）=0，有點A（4，-1）在所求圓上，所以該點坐標滿足圓的方程，代入求得 =-2，即所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2-2（2x-y）=0，即x2+y2-6x-2y+5=0。

點評：這種解法新穎、獨特、簡便，富于創造性，顯然是想象后的創造性思維方式的結果。大量的實踐證明，許多命題的發現、思路的相成和方法的創造都可通過數學猜想、歸納而得到，因此數學猜想、歸納是對學生平時培養創造性思維能力的一種方法。

例3 已知f（x）=lg（x2+2x-3m），求（1）函數的定義域為實數集時m的取值范圍；（2）函數的值域為實數集時m的取值范圍。

分析：若把此例題的兩問不放在一起，很多學生就會把它們視為同一個問題來處理，極易出錯。事實上，這兩問是從不同角度考察二次函數的圖像與對數函數的性質，故解答過程截然相反。

解：令t=x2+2x-3m，則

（1）若使原函數的定義域為R，則使△<0即可，解之得m<-；

（2）若使原函數的值域為R，則使△≥0即可，解之得m≥-；

（3）擴大成果。所得到的結論能否推廣、引申，得到更為一般的規律和事實。這是數學研究與發展的重要方式，也是數學教學中培養學生發散思維和創新能力的良好途徑。

例4 已知三角形的周長為定值，求其面積的最大值。

本例不難求出結果。按發散思維的特性，可對本題作出不同的變化、猜測。

（1）若三角形的面積為定值時，它的周長有最大值嗎？

（2）已知直角三角形的周長為定值，求其面積的最大值。

（3）若四邊形的周長為定值時，它的面積有最大值嗎？

（4）若封閉的平面曲線周長一定時，它的面積有最大值嗎？

創造性思維的培養主要是指擺脫舊的思維序列的束縛影響，機智靈活地從一種思維過程轉向另一種思維過程。這種思維的靈活性表現為能夠根據客觀事物的發展與變化，及時調整自己的思路，改變已有的思維過程，尋找新的解決問題的方法。也就是說學生能夠從多視角、多維度、多類型看問題、分析問題和解決問題。這一品質可以從課堂反應來體現，如學生的一題多解、一個故事多種結尾等等，也可以通過標準化測驗來鑒定。如讓學生說出一件事物的用途，說得越多越好，然后對所說出的用途進行整理分類，分類越多，表明思維的靈活性越強；分類不多，只能表明重復性大。

二、數學解題教學中培養學生創造性思維

解題教學中要營造一個和諧、民主的教學環境，教師要做好以下幾個方面的工作：

第一，保證學生的心理自由。人本主義心理學認為，只有個體得到充分的心理安全和心理自由，才能充分發揮和發展他的創造力。因為只有心理自由，才有思維自由，個體才能充分進行發散思維，才能表現出創造力。因而，教學中要營造高度民主、輕松活潑、相互理解的教學氛圍，這對于活躍學生思維，培養學生質疑反思的能力，有極為重要的意義。

第二，善待學生對問題提出的見解。有一句話說得好，“孩子都是往大人鼓勵的方向發展”，學生提出有別于教師的獨特想法，是他們現有認知水平的表現，是他們認真思考、勇于探究的結果，教師應該多給學生鼓勵和贊美，以激發他們創造思考的動機。更為重要的是，當其他學生看到教師鼓勵和重視提出不同見解的同學時，無形中也會激勵他們，最后逐漸形成“爭先發言”的場面，師生關系也變得融洽、和諧。

第三，訓練學生的統攝能力是培養學生創造性思維的保證。思維的統攝能力，即辨證思維能力，是學生創造性思維能力培養與形成的最高層次。在具體教學中，我們一定要引導學生認識到數學作為一門學科，它既是科學的，也是不斷變化和發展的，它是從否定、否定之否定的變化發展中篩選出的最經得住考驗的東西，努力使學生形成較強的辨證思維能力，也就是說，在數學教學中，我們要密切聯系時間、空間等多種可能的條件，將構想的主體與其運動的持續性、順序性和廣延性作為存在形式統一起來作多方探討，經常性地教育學生思考問題時不能顧此失彼，掛一漏萬，要做到“兼權熟計”。這里，特別是在數學解題教學中，我們要教育學生不能單純的依靠定義、定理，而是吸收另一些習題的啟示，拓寬思維的廣度，在教學中啟發學生逐步完成某個單元、章節或某些解題方法規律的總結，培養學生的思維統攝能力。

（責任編輯 劉 馨）endprint

摘 要 數學解題不僅能檢測學生對數學基本知識和基本技能的掌握情況，更重要的是能在訓練學生的思維的同時，開發和培養學生的創造性思維能力。

關鍵詞 數學解題過程 創造性思維

中圖分類號：G658.2 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）14-0105-02

數學教育作為學校教育的重要內容之一，對學生創造性思維能力的形成和發展起著非常重要的作用，尤其作為數學教育任務的數學解題又是重中之重。數學解題不僅能檢測學生對數學基本知識和基本技能的掌握情況，更重要的是能在訓練學生的思維的同時，開發和培養學生的創造性思維能力。

一、數學解題對創造性思維的培養

在數學思維活動中，思維的靈活性表現為能對具體的數學問題作出具體分析，善于根據情況的變化，及時調整原有的思維過程與方法，靈活地運用有關的定理、公式、法則，并且思維不具于固定程式或模式，具有較強的應變能力。下面以具體例子來說明數學解題對創造性思維的培養。

例1 已知a≥-3，解關于x的方程

x4-10x3-2（a-11）x2+2（5a+6）x+2a+a2=0

分析：用常規方法解此四次方程比較困難。調整思維方向，發現方程中的最高次數是2，可把主元與次元作一轉換，整理出關于x的一元二次方程，這樣問題便易于解決了。對于此題的求解，是通過主元與次元的轉換，突破了思維定勢，體現了思維的靈活性。

數學創造思維活動的整個過程都離不開聯想、想象、幻想等科學的想象力，因此，勤于動腦、熟練掌握和運用數學想象的思維方法，往往是實現數學創造的關鍵。

例2 求經過點A（4，-1）并且與直線2x-y=0相切與點M（1，2）的圓的方程。

分析：解此題的一般思維方法是先設出所求的圓的方程（x-a）2+（y-b）2=r2，再由已知條件列出方程組，然后求出系數a，b，r。這種方法計算繁瑣，有些學生會這樣分析：點M可以看作點圓（x-1）2+（y-2）2=0，所求的圓即過已知直線和點圓交點的圓，通過這種分析就將問題簡單化，充分體現了數學思維的創造性與科學性。

根據上述分析可以利用曲線系的思想和方法求解這個問題。

解析：設所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2+ （2x-y）=0，有點A（4，-1）在所求圓上，所以該點坐標滿足圓的方程，代入求得 =-2，即所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2-2（2x-y）=0，即x2+y2-6x-2y+5=0。

點評：這種解法新穎、獨特、簡便，富于創造性，顯然是想象后的創造性思維方式的結果。大量的實踐證明，許多命題的發現、思路的相成和方法的創造都可通過數學猜想、歸納而得到，因此數學猜想、歸納是對學生平時培養創造性思維能力的一種方法。

例3 已知f（x）=lg（x2+2x-3m），求（1）函數的定義域為實數集時m的取值范圍；（2）函數的值域為實數集時m的取值范圍。

分析：若把此例題的兩問不放在一起，很多學生就會把它們視為同一個問題來處理，極易出錯。事實上，這兩問是從不同角度考察二次函數的圖像與對數函數的性質，故解答過程截然相反。

解：令t=x2+2x-3m，則

（1）若使原函數的定義域為R，則使△<0即可，解之得m<-；

（2）若使原函數的值域為R，則使△≥0即可，解之得m≥-；

（3）擴大成果。所得到的結論能否推廣、引申，得到更為一般的規律和事實。這是數學研究與發展的重要方式，也是數學教學中培養學生發散思維和創新能力的良好途徑。

例4 已知三角形的周長為定值，求其面積的最大值。

本例不難求出結果。按發散思維的特性，可對本題作出不同的變化、猜測。

（1）若三角形的面積為定值時，它的周長有最大值嗎？

（2）已知直角三角形的周長為定值，求其面積的最大值。

（3）若四邊形的周長為定值時，它的面積有最大值嗎？

（4）若封閉的平面曲線周長一定時，它的面積有最大值嗎？

創造性思維的培養主要是指擺脫舊的思維序列的束縛影響，機智靈活地從一種思維過程轉向另一種思維過程。這種思維的靈活性表現為能夠根據客觀事物的發展與變化，及時調整自己的思路，改變已有的思維過程，尋找新的解決問題的方法。也就是說學生能夠從多視角、多維度、多類型看問題、分析問題和解決問題。這一品質可以從課堂反應來體現，如學生的一題多解、一個故事多種結尾等等，也可以通過標準化測驗來鑒定。如讓學生說出一件事物的用途，說得越多越好，然后對所說出的用途進行整理分類，分類越多，表明思維的靈活性越強；分類不多，只能表明重復性大。

二、數學解題教學中培養學生創造性思維

解題教學中要營造一個和諧、民主的教學環境，教師要做好以下幾個方面的工作：

第一，保證學生的心理自由。人本主義心理學認為，只有個體得到充分的心理安全和心理自由，才能充分發揮和發展他的創造力。因為只有心理自由，才有思維自由，個體才能充分進行發散思維，才能表現出創造力。因而，教學中要營造高度民主、輕松活潑、相互理解的教學氛圍，這對于活躍學生思維，培養學生質疑反思的能力，有極為重要的意義。

第二，善待學生對問題提出的見解。有一句話說得好，“孩子都是往大人鼓勵的方向發展”，學生提出有別于教師的獨特想法，是他們現有認知水平的表現，是他們認真思考、勇于探究的結果，教師應該多給學生鼓勵和贊美，以激發他們創造思考的動機。更為重要的是，當其他學生看到教師鼓勵和重視提出不同見解的同學時，無形中也會激勵他們，最后逐漸形成“爭先發言”的場面，師生關系也變得融洽、和諧。

第三，訓練學生的統攝能力是培養學生創造性思維的保證。思維的統攝能力，即辨證思維能力，是學生創造性思維能力培養與形成的最高層次。在具體教學中，我們一定要引導學生認識到數學作為一門學科，它既是科學的，也是不斷變化和發展的，它是從否定、否定之否定的變化發展中篩選出的最經得住考驗的東西，努力使學生形成較強的辨證思維能力，也就是說，在數學教學中，我們要密切聯系時間、空間等多種可能的條件，將構想的主體與其運動的持續性、順序性和廣延性作為存在形式統一起來作多方探討，經常性地教育學生思考問題時不能顧此失彼，掛一漏萬，要做到“兼權熟計”。這里，特別是在數學解題教學中，我們要教育學生不能單純的依靠定義、定理，而是吸收另一些習題的啟示，拓寬思維的廣度，在教學中啟發學生逐步完成某個單元、章節或某些解題方法規律的總結，培養學生的思維統攝能力。

（責任編輯 劉 馨）endprint

摘 要 數學解題不僅能檢測學生對數學基本知識和基本技能的掌握情況，更重要的是能在訓練學生的思維的同時，開發和培養學生的創造性思維能力。

關鍵詞 數學解題過程 創造性思維

中圖分類號：G658.2 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）14-0105-02

數學教育作為學校教育的重要內容之一，對學生創造性思維能力的形成和發展起著非常重要的作用，尤其作為數學教育任務的數學解題又是重中之重。數學解題不僅能檢測學生對數學基本知識和基本技能的掌握情況，更重要的是能在訓練學生的思維的同時，開發和培養學生的創造性思維能力。

一、數學解題對創造性思維的培養

在數學思維活動中，思維的靈活性表現為能對具體的數學問題作出具體分析，善于根據情況的變化，及時調整原有的思維過程與方法，靈活地運用有關的定理、公式、法則，并且思維不具于固定程式或模式，具有較強的應變能力。下面以具體例子來說明數學解題對創造性思維的培養。

例1 已知a≥-3，解關于x的方程

x4-10x3-2（a-11）x2+2（5a+6）x+2a+a2=0

分析：用常規方法解此四次方程比較困難。調整思維方向，發現方程中的最高次數是2，可把主元與次元作一轉換，整理出關于x的一元二次方程，這樣問題便易于解決了。對于此題的求解，是通過主元與次元的轉換，突破了思維定勢，體現了思維的靈活性。

數學創造思維活動的整個過程都離不開聯想、想象、幻想等科學的想象力，因此，勤于動腦、熟練掌握和運用數學想象的思維方法，往往是實現數學創造的關鍵。

例2 求經過點A（4，-1）并且與直線2x-y=0相切與點M（1，2）的圓的方程。

分析：解此題的一般思維方法是先設出所求的圓的方程（x-a）2+（y-b）2=r2，再由已知條件列出方程組，然后求出系數a，b，r。這種方法計算繁瑣，有些學生會這樣分析：點M可以看作點圓（x-1）2+（y-2）2=0，所求的圓即過已知直線和點圓交點的圓，通過這種分析就將問題簡單化，充分體現了數學思維的創造性與科學性。

根據上述分析可以利用曲線系的思想和方法求解這個問題。

解析：設所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2+ （2x-y）=0，有點A（4，-1）在所求圓上，所以該點坐標滿足圓的方程，代入求得 =-2，即所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2-2（2x-y）=0，即x2+y2-6x-2y+5=0。

點評：這種解法新穎、獨特、簡便，富于創造性，顯然是想象后的創造性思維方式的結果。大量的實踐證明，許多命題的發現、思路的相成和方法的創造都可通過數學猜想、歸納而得到，因此數學猜想、歸納是對學生平時培養創造性思維能力的一種方法。

例3 已知f（x）=lg（x2+2x-3m），求（1）函數的定義域為實數集時m的取值范圍；（2）函數的值域為實數集時m的取值范圍。

分析：若把此例題的兩問不放在一起，很多學生就會把它們視為同一個問題來處理，極易出錯。事實上，這兩問是從不同角度考察二次函數的圖像與對數函數的性質，故解答過程截然相反。

解：令t=x2+2x-3m，則

（1）若使原函數的定義域為R，則使△<0即可，解之得m<-；

（2）若使原函數的值域為R，則使△≥0即可，解之得m≥-；

（3）擴大成果。所得到的結論能否推廣、引申，得到更為一般的規律和事實。這是數學研究與發展的重要方式，也是數學教學中培養學生發散思維和創新能力的良好途徑。

例4 已知三角形的周長為定值，求其面積的最大值。

本例不難求出結果。按發散思維的特性，可對本題作出不同的變化、猜測。

（1）若三角形的面積為定值時，它的周長有最大值嗎？

（2）已知直角三角形的周長為定值，求其面積的最大值。

（3）若四邊形的周長為定值時，它的面積有最大值嗎？

（4）若封閉的平面曲線周長一定時，它的面積有最大值嗎？

創造性思維的培養主要是指擺脫舊的思維序列的束縛影響，機智靈活地從一種思維過程轉向另一種思維過程。這種思維的靈活性表現為能夠根據客觀事物的發展與變化，及時調整自己的思路，改變已有的思維過程，尋找新的解決問題的方法。也就是說學生能夠從多視角、多維度、多類型看問題、分析問題和解決問題。這一品質可以從課堂反應來體現，如學生的一題多解、一個故事多種結尾等等，也可以通過標準化測驗來鑒定。如讓學生說出一件事物的用途，說得越多越好，然后對所說出的用途進行整理分類，分類越多，表明思維的靈活性越強；分類不多，只能表明重復性大。

二、數學解題教學中培養學生創造性思維

解題教學中要營造一個和諧、民主的教學環境，教師要做好以下幾個方面的工作：

第一，保證學生的心理自由。人本主義心理學認為，只有個體得到充分的心理安全和心理自由，才能充分發揮和發展他的創造力。因為只有心理自由，才有思維自由，個體才能充分進行發散思維，才能表現出創造力。因而，教學中要營造高度民主、輕松活潑、相互理解的教學氛圍，這對于活躍學生思維，培養學生質疑反思的能力，有極為重要的意義。

第二，善待學生對問題提出的見解。有一句話說得好，“孩子都是往大人鼓勵的方向發展”，學生提出有別于教師的獨特想法，是他們現有認知水平的表現，是他們認真思考、勇于探究的結果，教師應該多給學生鼓勵和贊美，以激發他們創造思考的動機。更為重要的是，當其他學生看到教師鼓勵和重視提出不同見解的同學時，無形中也會激勵他們，最后逐漸形成“爭先發言”的場面，師生關系也變得融洽、和諧。

第三，訓練學生的統攝能力是培養學生創造性思維的保證。思維的統攝能力，即辨證思維能力，是學生創造性思維能力培養與形成的最高層次。在具體教學中，我們一定要引導學生認識到數學作為一門學科，它既是科學的，也是不斷變化和發展的，它是從否定、否定之否定的變化發展中篩選出的最經得住考驗的東西，努力使學生形成較強的辨證思維能力，也就是說，在數學教學中，我們要密切聯系時間、空間等多種可能的條件，將構想的主體與其運動的持續性、順序性和廣延性作為存在形式統一起來作多方探討，經常性地教育學生思考問題時不能顧此失彼，掛一漏萬，要做到“兼權熟計”。這里，特別是在數學解題教學中，我們要教育學生不能單純的依靠定義、定理，而是吸收另一些習題的啟示，拓寬思維的廣度，在教學中啟發學生逐步完成某個單元、章節或某些解題方法規律的總結，培養學生的思維統攝能力。

（責任編輯 劉 馨）endprint