不確定二階系統的非奇異快速終端滑模控制

李 浩 梁 婕 梁海波 呂章剛

北京航天自動控制研究所，北京 100854

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不確定二階系統的非奇異快速終端滑模控制

李 浩 梁 婕 梁海波 呂章剛

北京航天自動控制研究所，北京 100854

針對不確定SISO二階系統中存在不確定參數、擾動等影響，研究非奇異快速終端滑模控制算法，設計控制器，理論上證明了系統的穩定性和輸出誤差的有限時間收斂，與采用線性滑模面的滑模控制方法相比，該方法提高了系統的響應性能。最后通過仿真證明了該方法的有效性。

二階系統；非奇異快速終端滑模控制；穩定性；有限時間收斂

現代戰爭對制導武器的準確性、快速性等性能提出了全新的要求，導彈無疑承擔了重要的角色。電動舵機是導彈制導和控制系統中執行機構的重要組成部分，其性能的好壞直接決定導彈飛行過程中的動態品質。電動舵機作為典型的二階系統，在實際應用中由于存在參數變化和擾動等不確定因素，控制器必須能適應參數變化和負載擾動的影響，才能取得良好的動、靜態性能。

滑模變結構控制通過控制作用的切換使系統狀態保持在滑模面上，對不確定參數、擾動具有很強的魯棒性，是對不確定系統進行控制的一種有效方法[1]。文獻[2]研究了舵機控制中舵面鉸鏈力矩和外加干擾對系統參數的影響，提出一種滑模面參數的設計方法。文獻[3]通過相軌跡優化設計參數，揭示了滑模控制增益、滑模面參數和電機機電時間常數之間的關系。文獻[4]采用滑模變結構控制提高了系統響應時間，改善了系統在干擾條件下的性能。文獻[5]設計了一種PID形式的滑模面，當存在不確定參數、外界擾動和非線性因素時可實現系統的穩定控制。上述文獻的滑模控制器采用線性滑模面，系統狀態在滑模面上指數收斂，意味著系統狀態到達滑模面后只有當時間趨于無窮時才能收斂到平衡點。

終端滑模控制通過在滑模面中引入終端吸引子來改變系統的收斂特性，可實現系統狀態的有限時間收斂[6]，然而終端滑模只有在系統平衡點附近才具備快速收斂性，文獻[8]中提出的快速終端滑模雖然在系統遠離平衡點時仍具有快速收斂性，但存在奇異性問題。文獻[9]針對n階系統提出一種非奇異快速終端滑模面，解決了奇異性問題，但針對具體應用對象時其控制律不易實現。

本文在文獻[9]的基礎上提出一種不確定SISO二階系統的快速終端滑模控制方法，基于系統模型參數的界來設計魯棒控制器，可以有效地抑制系統中不確定性對系統性能的影響，并實現系統狀態的有限時間收斂，提高系統的響應速度。

1 問題描述

考慮如下二階系統：

(1)

其中，x=[x1,x2]T為系統狀態向量，y為系統輸出，u為系統輸入控制量，φ(x)∈Rm-1為已知函數組成的向量，a=[a1,a2,…，am-1]T，ai∈R(i=1,2,…，m-1)。b為控制增益，Δ為系統未建模動態，a和b不確定，但滿足：

假設1：系統參數和干擾有界，即：

ai,min≤ai≤ai,max,i=1,2,…,m-1

0

(2)

其中，ai,min,ai,max,bmin,bmax和ζd已知。

控制的目標是對模型(1)，在滿足假設1和2時，設計控制器，使系統輸出誤差e1=y-xd收斂為0，并且保證系統中所有信號有界。

2 控制器設計

以式(1)作為研究對象，可設計如下非奇異快速終端滑模面(NFTSM)[9]：

(3)

其中，β>0，c>0，γ=p1/q1，p1和q1為大于0的互質奇數，且p1

(4)

其中，t0為系統到達滑模面σ2的時間，而γ′和β′為：

注1：式(3)中，若令β=γ=1，則σ2為線性滑模面。然而非奇異快速終端滑模面中當系統狀態到達滑模面時，可實現誤差e1的有限時間收斂，而線性滑模面中當系統狀態到達滑模面時只能實現誤差的指數收斂。

對σ2求導，可得[9]：

(5)

(6)

則由式(3)可知：

(7)

(8)

=-cσ2+β″[bu+φT(x)a+Δ+xed]

=-cσ2+β″[bu+ψT(x)θ+Δ]

(9)

由式(9)可設計如下控制律：

u=(us1+us2)/bmin

(10)

注2：式(10)中us1用于構造趨近律，加快系統狀態到達滑模面的速度。而us2則用于抑止系統中不確定性的影響，這里us2是基于不確定參數和系統擾動的界來設計的。

3 穩定性分析

定理1：對于對象(1)，采用式(3)和(10)組成的控制器時，有：

1) 閉環系統穩定；

2) 系統狀態有限時間收斂。

(11)

2) 首先證明系統狀態在有限時間內到達滑模面σ2，分2種情況來證明。

由式(11)可知：

(12)

(13)

即：

(14)

(15)

將式(10)代入式(15)，有：

ψT(x)θ+Δ

(16)

當σ2>0時，有：

當系統狀態到達滑模面σ2之后，由式(3)和(4)可知，系統狀態在有限時間內收斂到平衡點。

4 仿真與分析

以電動舵機為例，進行仿真分析。忽略電感的影響，舵機的數學模型為[10]：

(17)

其中，δ為舵偏角，u為電機電樞電壓，J，f和K1分別為折算到舵機輸出端的轉動慣量、粘滯摩擦系數和力矩-電壓轉換常數，Δ′為系統未建模動態。TL為舵機負載力矩，TL為舵偏角的函數[10]：

(18)

(19)

其中，Δ=Δ′/J。由(19)可知φ(x)=[-x1,-x2,-1]T，ai(i=1,2,3,4)為：

計算可得a=[23.81,1.2,0.635]T，b=1.714。在進行仿真時假設參數a和b未知，但其最小值和最大值已知，分別為：amin=[20,1.0,0.48]T，bmin=1.34，amax=[28.58,1.5,0.8]T，bmax=2.057。

對2種控制器進行對比，即非奇異快速終端滑模控制器(NFTSMC)和基于線性滑模面的滑模控制器(LSMC)。采用Matlab/Simulink的ODE4仿真算法，仿真步長為1ms，仿真時長為5s。控制器參數分別為：

1) NFTSMC

β=0.1，c=10，γ=r=3/5，k1=k2=20，k3=4。

2) LSMC

由注1知，當終端滑模面中的β=γ=1時，可獲得線性滑模面，因此令NFTSMC中β=γ=1，則可得LSMC。

仿真時分別對階躍輸入和正弦跟蹤時系統響應性能進行比較。

1) 0.1rad的階躍響應

為了使期望軌跡滿足假設2，設置如下前置濾波器來獲得階躍響應時的期望軌跡：

(20)

圖1為階躍響應時的誤差曲線。由圖可知在階躍響應時NFTSMC比LSMC收斂速度更快。由于仿真時的計算誤差等原因，系統存在一定的穩態誤差，從圖1中的放大圖可以看出NFTSMC的穩態誤差比LSMC的小。圖2為階躍響應時的系統控制量。由于在控制律中采用符號函數sign(σ2)，系統控制中存在一定程度的抖振。

在正弦跟蹤時，系統初始位置設置為0.2rad。圖3為正弦跟蹤的系統誤差，由圖可知在正弦跟蹤時,與LSMC相比，NFTSMC的收斂速度快，穩態誤差小。圖4為正弦跟蹤時的系統控制量。

圖1 階躍響應時系統誤差曲線

圖2 階躍響應時的系統控制量

2) 0.2sin(πt)rad的正弦信號跟蹤

圖3 正弦跟蹤時系統誤差

由階躍響應和正弦跟蹤的仿真結果可知，NFTSMC在系統響應速度和穩態誤差方面均比LSMC具有更好的性能。

圖4 正弦跟蹤時系統控制量

5 結論

針對不確定二階系統研究了一種非奇異快速終端滑模控制方法，在系統存在不確定參數和外界擾動的情況下，可實現系統的穩定控制，并使系統狀態有限時間收斂。理論分析和仿真實驗證明該方法比采用線性滑模面的滑模控制具有更快的收斂速度和更高的穩態響應精度。

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Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Control for Uncertain Second Order System

LI Hao LIANG Jie LIANG Haibo LV Zhanggang

Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China

Theapproachofnonsingularfastterminalslidingmodecontrolisresearchedandthecontrollerforsecondordersystemwithuncertainparametersandloaddisturbanceisdesigned.Theclose-loopstabilityofthesystemandthefinite-timeconvergenceofthetrajectorytrackingerrorareproved.Thesystemperformanceisimprovedincomparisonwiththeslidingmodecontrolbasedonlinearslidingmode.Finally,theeffectivenessofproposedmethodisvalidatedbysimulation.

Secondordersystem；Nonsingularfastterminalslidingmodecontrol；Stability；Finite-timeconvergence

2013-10-08

李 浩(1982-)，男，四川漢源人，博士，工程師，主要研究方向為系統綜合，滑模控制；梁 婕(1980-)，女，四川成都人，碩士，高級工程師，主要研究方向為系統綜合，自動控制；梁海波(1984-)，男，天津寶坻人，博士，工程師，主要研究方向為系統綜合，導航制導與控制；呂章剛(1986-)，男，山東煙臺人，碩士，助理工程師，主要研究方向為系統綜合，自動控制。

1006-3242(2014)04-0008-05

TP13

A