有限通信情況下的航天器編隊協同控制研究*

田 靜 程月華 姜 斌 成 婧 陳志明

1.南京航空航天大學自動化學院, 南京 210016 2. 南京航空航天大學航天學院, 南京 210016

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有限通信情況下的航天器編隊協同控制研究*

田 靜1程月華2姜 斌1成 婧1陳志明2

1.南京航空航天大學自動化學院, 南京 210016 2. 南京航空航天大學航天學院, 南京 210016

在航天器編隊飛行過程中，可能由于通信故障并非所有航天器都能直接獲得參考信息，系統通信拓撲結構也可能發生變化。為了提高航天器編隊系統的魯棒性、降低生產成本等，本文在僅有部分航天器能直接獲得參考信息和變化通信拓撲結構圖的條件下，研究了一種基于一致性理論的航天器編隊飛行協同控制方法，并通過仿真來驗證其有效性。首先，介紹了航天器編隊飛行中的一致性問題和動力學模型。然后，設計航天器編隊飛行協同控制律，包括航天器編隊飛行姿態協同控制律和航天器編隊飛行軌道構型建立與保持協同控制律的設計。最后通過數值仿真驗證了控制方法的有效性，仿真結果表明所設計的航天器編隊控制方法有效。

一致性；協同控制；航天器編隊；變化通信拓撲結構圖

隨著社會的發展，對地觀測、深空探測及一系列航天活動蓬勃發展，單一航天器的系統規模也變得越來越大，對于一些要求載荷系統具備長基線和多點同步工作能力的任務，根本無法完成。

上個世紀90年代，國外學者提出了“航天器編隊飛行”的概念。多個航天器通過編隊協同工作不僅能有效降低任務的工作成本，而且具有更強的魯棒性，能完成單個航天器不能完成的任務。

航天器編隊協同控制是編隊飛行的核心所在。目前對于編隊協同控制的研究，諸多文獻中提到的協同控制方法主要有跟隨領航者法、基于行為的方法、虛擬結構法等，基于一致性理論設計編隊的協同控制律是一種比較新穎的方法，對于一階系統，文獻[1]中Wei Ren對時變參考狀態和部分智能體能獲得參考狀態下的一致性進行了研究。但是實際運用中很多都是二階系統，文獻[2]中畢鵬等人在所有航天器都能獲得參考狀態的前提下，對基于一致性理論的航天器編隊飛行協同控制進行了研究。文獻[3]中張凡研究了基于變權無向圖的二階一致性算法，并將其應用于航天器編隊協同控制中。目前對航天器編隊飛行協同控制的研究，都是在所有航天器能直接獲得參考信息或者恒定通信拓撲結構的前提下進行的。考慮到在所有航天器上裝一個用于接收參考狀態信息的接收器會使成本增加，而且某一個接收器發生故障將會使得整個系統受到影響，此外，在編隊的過程中可能會由于某種原因使通信拓撲結構發生變化。因此，本文基于一致性理論對僅有部分航天器能直接獲得參考信息的情況，以及恒定和變化的通信拓撲結構圖條件下的航天器編隊飛行協同控制方法進行了研究(包括姿態的協同控制和軌道的建立與保持協同控制)，設計基于二階一致性算法的航天器編隊協同控制律。仿真結果表明所設計的航天器編隊飛行協同控制律有效。

1 預備知識

1.1 一致性的概念

在航天器編隊飛行系統中，一致性是指通過各航天器間局部信息交互，在某種耦合有相鄰個體狀態的協議或算法作用下，各航天器之間的姿態和軌道位置隨時間的變化最終收斂到一個共同值。而實現這種一致性的協議或算法就稱為一致性算法。

1.2 圖論知識

在一致性問題的研究中，圖論是重要的分析工具，圖分為有向圖和無向圖，由頂點和邊組成。在本文中只涉及到有向圖，因此僅對有向圖進行簡單介紹。

1個有向圖G包含1個節點集合V和邊的集合E∈V×V。邊(i,j)在有向圖里表示智能體j能從智能體i獲得信息，相反則不一定。在有向圖里的有向路徑是一些列的邊，形如(i1,j2),(i2,j3),… ,i，j∈V。有向樹是一種有向圖，這種有向圖里除了根節點沒有父節點外，其它的節點有且僅有1個父節點，根節點有通向任何1個節點的有向路徑。圖G的有向生成樹是包含G的所有節點的有向樹。

假設圖有p個節點，一個加權有向圖的鄰接矩陣A=[aij]∈Rp×p定義為aii=0，aij>0，當(j,i)∈E,i≠j。矩陣L=[ij]∈Rp×p定義為ii=∑j≠iaij和ij=-aij,i≠j。矩陣L滿足條件

(1)

引理1[4]:假定Z=[Z1,…,Zp]T,其Zi∈R,L∈Rp×p

1)L有一個特征向量為1p的0特征值，且其它所有的特征根均有正實部；

2)LZ=0,意味著Z1=,…,=Zp；

4)L的有向圖是存在有向生成樹；

1.3 航天器編隊系統動力學

本文分別采用修正的羅德里格斯參數(MRP)和C-W方程對航天器編隊飛行的姿態和相對運動進行描述。采用MRP描述航天器體坐標系相對于慣性坐標系的姿態, 可以很好的避免求解復雜的約束方程, 并且沒有冗余參數, 同時能夠減小奇異性影響, 其具體表示為:

(2)

e為歐拉軸,q1,q2,q3為MRP的三軸分量，θ為繞e軸的旋轉角。

不考慮干擾時航天器姿態動力學模型為：

(3)

式中,J為轉動慣量，取航天器本體坐標系為主軸坐標系時，有J=diag(J1,J2,J3)；ω=[ω1,ω2,ω3]為航天器相對于慣性系的轉動角速度；dc為航天器所受的控制力矩。

拉格朗日方程形式的航天器編隊飛行姿態動力學模型[2]：

(4)

式中，i為航天器編號，i=1，2，… ,n；τi=ZT(qi)dc,i,Hi(qi)=Z-T(qi)IiZ-1(qi),

若參考點運行于近圓軌道, 則航天器間相對運動可用C-W方程描述。

(5)

其中,n為參考點軌道角速度,fx,fy,fz為除地球中心引力外所有攝動力和控制力帶來的加速度在參考軌道坐標系3個坐標軸上的分量。

不考慮攝動項得到拉格朗日方程的通用形式[2]:

(6)

2 協同控制律設計

假設編隊系統的通信拓撲結構圖如圖1.

圖1 通信拓撲結構圖

在只有部分航天器能直接獲取期望參考狀態信息的情況下，將編隊中的航天器分為若干層。第1層是期望參考信息狀態，第2層是能夠直接獲得期望參考信息的航天器，第3層是能直接獲得第2層狀態信息的航天器，第4層是能直接獲得第3層狀態信息且不屬于前3層的航天器，依此類推，直到所有的航天器分配完為止。例如本例中第1層是R(期望參考信息)，第2層是3,4號航天器，第3層是1,2號航天器。

基于以下思想設計基于二階一致性算法的協同控制律：因為第2層所有航天器都能直接獲得期望參考信息，運用以上的算法可以使第1層中所有航天器的狀態都達到期望狀態，在第3層中，如果將第2層當做一個整體的參考狀態，那么第3層所有的航天器都能獲得第2層的信息作為參考信息。因為第2層的狀態值將一直趨于期望狀態，所有第3層航天器的狀態也將能趨近于期望狀態。依次類推，所有航天器的狀態都將趨近于期望狀態。

2.1 姿態協同控制

航天器姿態動力學為二階系統，因此設計二階一致性算法如下：

(7)

其中,qk為參考狀態信息，對于第1層即為qd,對于其它層次，代表任意一個能直接獲得的上一層次中的航天器的狀態信息,aij表示鄰接矩陣的元素,kij表示加權系數鄰接矩陣元素，qi表示t時刻第i個航天器的角度信息，β>0,γ表示鄰近節點間的速度耦合強度。

由于航天器姿態動力學是非線性的，為了提高

(8)

因為

(9)

將式(9)代入式(8)可得

假設,ai(n+1)ki(n+1)=β,Sn+1=0，則將上式代入式(4)整理可得

(10)

定義X=[S1,S2,…，Sn+1]，

則

(11)

其中,

[L]=Ln+1?I3，

Ln+1=[ij]∈Mn+1(R),ii=∑j≠iaijkij,

ij=-aijkij,?i∈{1,2,…,n},

?j∈{1,2,…,n+1}，(n+1)i=0,?i假定選取的正定函數，則

(12)

2.2 軌道建立與保持的協同控制

航天器姿態軌道相對位移動力學為二階系統，因此設計二階一致性算法如下：

(rj-δj-rk)]}

其中,δk,rk為參考狀態信息，對于第1層即為0,rd,對于其它層次，代表任意一個能直接獲得的上一層次中的航天器的狀態信息所對應的參考狀態。ri(t)表示第i個航天器位置信息，Vi(t)表示第i個航天器的速度信息。δi表示第i個航天器最終位置與參考位置之間的偏差。α>0,γ>0分別表示速度阻力增益和鄰近節點間的速度耦合強度。

定義

(13)

假設ai(n+1)ki(n+1)=α,Sn+1=0，代入式(13)可得

(14)

將式(14)代入式(6)整理可得

定義X=[S1,S2,…,Sn+1],則

(15)

3 數值仿真

對上面設計的協同控制律進行仿真驗證，首先是對姿態的協同進行matalab數值仿真，然后再對軌道構型的建立與保持進行數值仿真。

3.1 姿態協同控制

3.1.1 部分能獲得參考狀態且恒定通信拓撲結構

假定系統通信拓撲結構圖恒定為圖2所示。

圖2 通信拓撲結構圖

圖3 恒定通信拓撲結構下各個航天器的姿態變化圖

3.1.2 部分能獲得參考狀態且變化通信拓撲結構

假設時間t在0～20s時信息交流有向圖如圖4(a),在t=20后，1號航天器不能再直接獲得2號和3號航天器的信息，即信息交流有向圖如圖4(b)。

圖4 變化前后的通信拓撲結構圖

仿真初始條件同上，姿態協同仿真結果如圖5。

圖5 變化通信拓撲結構時各個航天器的姿態變化圖

從仿真結果可以得出，對于部分航天器能直接獲得參考狀態，在本文所設計的航天器編隊協同控制律的作用下，無論通信拓撲結構圖恒定還是變化，都能使各航天器的姿態達到期望值，實現航天器編隊飛行的姿態協同控制。

3.2 軌道建立與保持

3.2.1 部分能獲得參考狀態且恒定通信拓撲結構

圖6 恒定拓撲結構下各個航天器的軌道位移變化圖

3.2.2 部分能獲得參考狀態且變化通信拓撲結構

通信拓撲結構同3.1.2中，其它初始條件同上，進行軌道建立與保持仿真結果如圖7所示。

圖7 變化拓撲結構下各個航天器的軌道位移變化圖

從仿真結果可以得出，類似姿態協同控制，在本文所設計的航天器編隊協同控制律作用下，無論通信拓撲結構圖恒定還是變化，都能使各航天器的相對位移達到并保持在期望值，實現航天器編隊飛行的軌道構型建立與保持的協同控制。

4 結論

從仿真結果可以得出，在所設計的協同控制律的控制下，航天器的姿態達到了一個共同的期望值，且控制的穩態誤差小于0.0001rad，同時通過軌道協同構成了預期的一個構型(本文中以菱形為例進行仿真驗證)。所設計的協同控制律不需要所有航天器中都安裝參考信息接收器，從而降低生產成本，同時在編隊過程中，只要保證變化后的通信拓撲結構圖存在有向生成樹，就可以避免由于某個航天器發生故障導致參考信息收發器失效或者通信拓撲結構圖發生變化對系統產生的影響，即系統仍然能達到期望的狀態，進而使編隊系統更加安全可靠，這也將是系統容錯和系統重構的一個研究方向。

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Research on Cooperative Control of Spacecraft Formation under Limited Information-Exchange

TIAN Jing1CHENG Yuehua2JIANG Bin1CHENG Jing1CHEN Zhiming2

1. College of Automation Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China 2. Academy of Frontier Science, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China

Duringthespacecraftformationflying,thereferencestatecannotbeaccessedbyallthespacecraftsortheinformation-exchangetopologiesarenotconstantduetocommunicationfailure.Inordertoimprovetherobustnessofspacecraftformationsystemandreducethecostandsoon,thecooperativecontrolmethodisresearchedundertheconditionofonlymanyspacecraftsthathaveaccesstothereferencestate,whichisbasedonconsistencytheory.Firstly,theconsistencyofspacecraftformationanddynamicmodelisintroduced.Then,thecooperativecontrollawofspacecraftformationisdesigned,includingthecooperativecontrollawofattitudeandtheorbitalgeometry.Finally,theeffectivenessbynumericalsimulationisverified.Theeffectivenessofthecooperativecontrollawproposedisdemonstratedbythenumericalsimulation.

Consensus；Cooperativecontrol；Spacecraftformation；Time-varyingdirectedtopologies

*國家自然科學基金(61203091；61273171)；上海航天科技創新基金(SAST201234)；研究生創新基地(實驗室)開放 基金(kfjj20130208)

2013-09-30

田 靜(1989-)，男，遵義人，碩士研究生，主要研究方向為系統故障檢測與容錯控制技術；程月華(1977-)，女，安徽懷寧人，博士，副研究員，主要研究方向為航天器故障預測、故障診斷與容錯控制；姜 斌(1966-)，男，江西鄱陽人，博士，教授，主要研究方向為控制理論與控制工程；成 靖(1988-)，女，江蘇南通人，碩士研究生，主要研究方向為導航制導與控制；陳志明(1982-)，男，江蘇昆山人，博士，助理研究員，主要研究方向為衛星姿態控制、衛星編隊、星務管理。

1006-3242(2014)04-0075-07

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