具有馬爾科夫分布時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的保性能控制器設(shè)計(jì)*

朱其新 盧開(kāi)紅 朱永紅 胡壽松

1. 蘇州科技學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，蘇州 215009 2．華東交通大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，南昌 330013 3．景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機(jī)械電子學(xué)院，景德鎮(zhèn)3330014. 南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210016

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具有馬爾科夫分布時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的保性能控制器設(shè)計(jì)*

朱其新1,2盧開(kāi)紅2朱永紅3胡壽松4

1. 蘇州科技學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，蘇州 215009 2．華東交通大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，南昌 330013 3．景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機(jī)械電子學(xué)院，景德鎮(zhèn)3330014. 南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210016

針對(duì)一類具有馬爾科夫時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，討論了其保性能控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題，并提出了一種通過(guò)切換反饋增益來(lái)維持網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)性能的設(shè)計(jì)方法。首先把網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為一類具有不確定性參數(shù)的離散系統(tǒng)，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，討論了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，結(jié)合一個(gè)最優(yōu)二次型性能指標(biāo)，推導(dǎo)出該類系統(tǒng)保性能控制器的存在性。最后通過(guò)仿真算例驗(yàn)證了此控制方法的有效性和可行性。

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；馬爾科夫時(shí)延；Lyapunov穩(wěn)定性；最優(yōu)二次型性能指標(biāo)；保性能

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)( Networked Control System ,NCS) 是指通過(guò)實(shí)時(shí)網(wǎng)絡(luò)形成閉環(huán)的反饋控制系統(tǒng)[1-3],它融合了計(jì)算機(jī)、通信、網(wǎng)絡(luò)和控制等技術(shù)。與傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)連接方式相比 ，它具有連線少、信息資源能共享、易于維護(hù)和擴(kuò)展等優(yōu)點(diǎn)。因此，NCS的研究受到越來(lái)越多的學(xué)者的關(guān)注并成為研究的一個(gè)熱點(diǎn)。當(dāng)NCS各組件之間通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸信息時(shí)不可避免地產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延(包括傳感器-控制器時(shí)延τsc,控制器-執(zhí)行器時(shí)延τca)，而時(shí)延會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能降低甚至可能會(huì)引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。因而要使NCS具有較好的性能，NCS控制器必須對(duì)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延進(jìn)行補(bǔ)償。文獻(xiàn)[4]討論了短時(shí)延NCS的LQG控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[5]討論了長(zhǎng)延時(shí)NCS的H∞控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[6]針對(duì)一類馬爾科夫網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，研究了均方指數(shù)問(wèn)題；文獻(xiàn)[7-8]把網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為一類具有不確定性的離散時(shí)延系統(tǒng)，討論了一類不確定性時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)保性能控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題，其中文獻(xiàn)[8]將Lyapunov穩(wěn)定性原理和魯棒控制理論結(jié)合，提出了魯棒保性能控制的存在條件。本文針對(duì)具有馬爾科夫跳躍特性時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，將其建模為一類不確定性的離散系統(tǒng)。并通過(guò)反饋將其轉(zhuǎn)換為含有不確定參數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和矩陣不等式給出了該類系統(tǒng)保性能控制律存在的條件。

1 問(wèn)題描述

考慮一類含不確定參數(shù)的線性離散系統(tǒng)，如下所示

(1)

其中，x∈Rn，u∈Rn，y∈Rn分別為狀態(tài)、輸入和輸出狀態(tài)向量。Ao,Bo,C和D分別為適維的系統(tǒng)、輸入、輸出和傳輸矩陣的確定分量。ΔA[τ(k)]，ΔB[τ(k)]為系統(tǒng)受時(shí)延影響產(chǎn)生的不確定參數(shù)。

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中不可避免地存在時(shí)延。在實(shí)時(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，當(dāng)前的時(shí)延通常與之前時(shí)刻的時(shí)延有關(guān)，這種隨機(jī)時(shí)延服從馬爾科夫分布，可建模為馬爾科夫鏈[9]。

為了分析問(wèn)題的方便，本文不考慮數(shù)據(jù)包的時(shí)序錯(cuò)亂問(wèn)題,作如下假設(shè)：

1) 馬爾科夫的狀態(tài)在一個(gè)采樣周期內(nèi)最多轉(zhuǎn)換一次；

2) 網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)有界服從一確定的分布，且0≤τ(k)<τ≤∞ ；

3) 傳感器、控制器和執(zhí)行器均為時(shí)鐘驅(qū)動(dòng)。

網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延τ(k)的概率分布由馬爾科夫鏈中的狀態(tài)給出，根據(jù)假設(shè)2)，不妨令生成隨機(jī)變量的馬爾科夫鏈有τ+1個(gè)狀態(tài)，即

τ(k)∈I=(0,1,…,τ)

馬爾科夫鏈從第i個(gè)狀態(tài)到第j個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率為

(2)

其中

所有pij可以構(gòu)成一步轉(zhuǎn)移概率矩陣,即有：

(3)

馬爾可夫鏈?zhǔn)且粋€(gè)時(shí)間離散且狀態(tài)離散的隨機(jī)過(guò)程，它的狀態(tài)是在時(shí)間一步步推進(jìn)的過(guò)程中，按照一步轉(zhuǎn)移概率矩陣中的轉(zhuǎn)移概率發(fā)生改變的。

一般假設(shè)控制器采用最新數(shù)據(jù)，若新的采樣數(shù)據(jù)可在一個(gè)采樣周期內(nèi)到達(dá)控制器，則控制器收到數(shù)據(jù)后立即計(jì)算控制量并輸出至執(zhí)行器，若在一個(gè)采樣周期內(nèi)控制器未收到數(shù)據(jù)包，則認(rèn)為丟包發(fā)生，此時(shí)控制量u保持舊的數(shù)據(jù)不變。這種控制策略常見(jiàn)于一些實(shí)時(shí)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中。

假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)完全可測(cè)，考慮式(1)的離散控制模型，令狀態(tài)反饋控制器的控制增益為Kτ(k)，狀態(tài)反饋可表示為：

圖1 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

u(k)=Kτ(k)x(k-τ(k))

(4)

對(duì)于不確定系統(tǒng)式(1)，令A(yù)=Ao+ΔA[τ(k)]，B=Bo+ΔB[τ(k)]。 將式(2)代入式(1)可得狀態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)為

x(k+1)=Ax(k)+BKτ(k)x(k-τ(k))

(5)

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，該系統(tǒng)可根據(jù)時(shí)延的變化，通過(guò)改變切換開(kāi)關(guān)的位置來(lái)對(duì)Kτ(k)進(jìn)行合理選取以達(dá)到理想的控制性能。也就是說(shuō)，時(shí)延的變化將引發(fā)相應(yīng)的切換開(kāi)關(guān)動(dòng)作，切換開(kāi)關(guān)的動(dòng)作規(guī)律與時(shí)延的狀態(tài)是一一對(duì)應(yīng)的。

2 保性能控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(5)，本文討論使下列性能指標(biāo)極小的控制律設(shè)計(jì)

(6)

其中,Q，R為對(duì)稱正定陣。

1)S<0；

u(k)=Kτ(k)x(k-τ(k))。

定理1 對(duì)于已知的正定對(duì)稱矩陣Q，R，P，若存在反饋控制增益Kτ(k)，使矩陣不等式

< 0

(7)

成立，則系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定，且對(duì)系統(tǒng)所有允許的不確定性，系統(tǒng)的性能指標(biāo)值滿足

J∞

(8)

其中,M=-(BΤPB+R)-1。

證明：若矩陣不等式(7)成立，即有

< 0

應(yīng)用引理1可得

(9)

(10)

可得：

(11)

即有

(A+BKτ(k))ΤP(A+BKτ(k))-P+Q+

(12)

可得

(A+BKτ(k))ΤP(A+BKτ(k))-P<

(13)

Q，R正定，必有

[A+BKτ(k)]ΤP[A+BKτ(k)]-P<

(14)

現(xiàn)取Lyapunov函數(shù)為

V(k)=xΤ(k)Px(k)

(15)

沿系統(tǒng)(5)的任意軌線向前作差分必有

ΔV(k)=V(k+1)-V(k)=

{[A+BKτ(k)]x(k)}ΤP[A+BKτ(k)]x(k)-

xΤ(k)Px(k)=xΤ(k){[A+

BKτ(k)]ΤP[A+BKτ(k)]-P}x(k)

(16)

根據(jù)式(14)可知

(17)

故閉環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)(5)漸進(jìn)穩(wěn)定，即有

(18)

對(duì)于性能指標(biāo)(6)有

根據(jù)式(17),可知

(19)

J∞

(20)

由定義1可知，系統(tǒng)(5)的保性能控制律存在。因此，定理1得證。

3 仿真算例

以如下所示網(wǎng)絡(luò)控制下的一不穩(wěn)定模型為對(duì)象進(jìn)行仿真研究，以驗(yàn)證本文所提出的控制算法。取采樣周期T=1s，考慮如下模型：

其中

討論性能指標(biāo)(6)：

假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為

x(0)=[0.400 -0.7800]Τ，

系統(tǒng)存在馬爾科夫時(shí)延τ(k)∈(0,1)，且時(shí)延的初始狀態(tài)為τ(0)=0，傳輸概率矩陣為：

由以上傳輸概率矩陣,根據(jù)馬爾可夫鏈蒙特卡洛仿真[10]可以獲得馬爾科夫延時(shí)曲線，如圖2所示，存在正定陣：

由于系統(tǒng)受時(shí)延影響，通過(guò)解不等式(7)所示的矩陣不等式的可行性解的問(wèn)題，可得一組根據(jù)時(shí)延跳躍變化而反復(fù)跳躍切換的最優(yōu)反饋增益：

Kτ(k)=0=[-0.0156 0.0280]，

Kτ(k)=1=[-0.0160 0.0296]。

即可得到所考慮系統(tǒng)的保性能控制律為：

當(dāng)時(shí)延τ=0時(shí)，

u(k)=[-0.0156 0.0280]x(k)；

當(dāng)時(shí)延τ=1時(shí)，

u(k)=[-0.0160 0.0296]x(k-1)；

相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的保性能J∞=1.0869。

在此保性能控制律的條件下，閉環(huán)系統(tǒng)的控制信號(hào)曲線和狀態(tài)響應(yīng)曲線分別如圖3和4所示。顯然從圖中可以看出，系統(tǒng)存在馬爾科夫延時(shí)時(shí)，在上述的保性能控制器作用下，系統(tǒng)具備良好的漸進(jìn)穩(wěn)定性能和控制性能。

圖2 馬爾科夫延時(shí)曲線τ(k)

圖3 閉環(huán)狀態(tài)軌跡曲線

圖4 控制信號(hào)軌跡曲線

4 結(jié)論

針對(duì)一類具有馬爾科夫跳躍特性時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，將其建模為一類不確定性的離散系統(tǒng)。并通過(guò)反饋將其轉(zhuǎn)換為含有不確定參數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)，提出了一種通過(guò)切換反饋增益來(lái)維持網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)性能的設(shè)計(jì)方法。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和最優(yōu)控制理論給出了該類系統(tǒng)保性能控制律存在的條件。

由于系統(tǒng)本身受時(shí)延影響而導(dǎo)致了不確定性，為了維持系統(tǒng)良好的性能，就需要系統(tǒng)像仿真算例中一樣對(duì)保性能狀態(tài)反饋增益進(jìn)行切換。為了使反饋增益的切換次數(shù)有限，當(dāng)延時(shí)在很小的范圍類，時(shí)延對(duì)系統(tǒng)的影響可以忽略不計(jì)，同一反饋增益可以達(dá)到期望的控制目的；但假設(shè)時(shí)延超過(guò)某一臨界值時(shí)，就需要對(duì)系統(tǒng)反饋增益進(jìn)行有效切換。決定保性能狀態(tài)反饋增益進(jìn)行切換的這一臨界值的選取有待于進(jìn)一步的研究。

[1] 朱其新, 胡壽松, 劉亞.無(wú)限時(shí)間長(zhǎng)時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的隨機(jī)最優(yōu)控制[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2004, 21(3): 321-326. (Zhu Qixin, Hu Shousong, Liu Ya. Infinite Time Stochastic Optimal Control of Networked Control Systems with Long Delay[J]. Control Theory and Application, 2004, 21(3): 321-326.)

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The Guaranteed-Cost Controller Design for Networked-Control

ZHU Qixin1,2LU Kaihong2ZHU Yonghong3HU Shousong4

1. School of Mechanical Engineering, Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009，China 2.School of Electronical and Electronic Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013，China 3. School of Mechanical and Electronic Engineering, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezheng 333001，China 4. College of Automatic Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016，China

RegardingaclassofMarkovtime-delaynetworkedcontrolsystems,theproblemofdesigningguaranteedcostcontrollerisresearchedandaswitchingfeedbackgainmethodisproposedtomaintainsystemperformance.Firstly,thenetworkedcontrolsystemsaremodeledasdiscretesystemswithuncertainparameters.ThroughusingLyapunovstabilitytheory,thesystemstabilityisdiscussed.Then,bycombiningwithagivenoptimalquadraticperformanceindex,theexistenceofguaranteedcostcontrollersisderived,andthecorrespondingdesignmethodofguaranteedcostcontrollerisproposed,whichisbasedonLMItoolbox.Finally,theeffectivenessandfeasibilityofthecontrolmethodareverifiedwithasimulationcase.

Networkedcontrolsystem; Markovtimedelay;StabilitytheoryofLyapunov;Optimalquadraticperformanceindex;Guaranteedcost

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375323,61164014)

2013-11-05

朱其新(1971-)，男，安徽定遠(yuǎn)人，博士，教授，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)控制和伺服控制；盧開(kāi)紅(1990-)，男，四川南充人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)控制；朱永紅(1965-)，男，江西鄱陽(yáng)人，博士，教授，主要研究方向網(wǎng)絡(luò)控制和陶瓷窯爐控制；胡壽松(1937-)，男，南京人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)楣收显\斷及復(fù)雜系統(tǒng)的自修復(fù)控制。

1006-3242(2014)04-0003-05

TP273

A