具有軌道傾角和最大高度約束的耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)

張如飛 趙世范

1．北京控制與電子技術(shù)研究所信息系統(tǒng)工程重點實驗室，北京 100038 2．中國航天二院研究生院，北京 100854

?

具有軌道傾角和最大高度約束的耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)

張如飛1,2趙世范1

1．北京控制與電子技術(shù)研究所信息系統(tǒng)工程重點實驗室，北京 100038 2．中國航天二院研究生院，北京 100854

快速響應(yīng)空間固體運載火箭軌道轉(zhuǎn)移級以最大限度利用能量而非消耗能量為目的進行耗盡關(guān)機制導(dǎo)，基于橢圓軌道理論和牛頓迭代法，提出了一種適用于具有軌道、制導(dǎo)多種約束的耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)方法，通過實時尋找需要推力方向，充分利用軌道轉(zhuǎn)移級能量，導(dǎo)引上面級進入具有給定軌道傾角和最大高度約束的轉(zhuǎn)移軌道，同時實現(xiàn)耗盡關(guān)機。理論推導(dǎo)和數(shù)學(xué)仿真表明，本文提出的制導(dǎo)方法能在耗盡關(guān)機條件下實現(xiàn)對轉(zhuǎn)移軌道的高精度控制。

快速響應(yīng)空間；耗盡關(guān)機；閉路制導(dǎo)；能量管理

固體運載火箭[1]具有快速準備、按需發(fā)射、長服務(wù)周期、強生存、高可靠、低成本和便于長期貯存等突出特點，通常采用指令關(guān)機和耗盡關(guān)機兩種關(guān)機方式，但指令關(guān)機需要推力終止系統(tǒng)[2]，不僅增加了結(jié)構(gòu)重量，提高了系統(tǒng)使用成本，而且損失了有效運載能力，降低了系統(tǒng)可靠性。因此，耗盡關(guān)機制導(dǎo)問題成為研究的熱點，能量管理閉路制導(dǎo)[3-5]是實現(xiàn)耗盡關(guān)機制導(dǎo)的有效技術(shù)途徑，一系列需求牽引了能量管理閉路制導(dǎo)的發(fā)展與改進，如實現(xiàn)終端多約束[4]、提高耗盡關(guān)機末速控制精度[6]等，但能量管理的2個突出特點未變：1)通過姿態(tài)調(diào)制[7-9]消耗多余能量；2)常姿態(tài)導(dǎo)引段采用零射程線[7,10]保證命中目標。

本文以軌道轉(zhuǎn)移級的耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)為方向，提出了一種具有軌道傾角和軌道最大高度約束的耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)方法，與基于能量管理閉路制導(dǎo)的耗盡關(guān)機制導(dǎo)不同，其目的不是通過姿態(tài)交變消耗多余能量，而是最大限度利用軌道轉(zhuǎn)移級能量，形成盡可能大的轉(zhuǎn)移軌道速度，從而減輕入軌級的能量需求。該方法數(shù)學(xué)邏輯簡單、便于工程應(yīng)用且對轉(zhuǎn)移軌道的控制精度高，適合于固體運載火箭的軌道轉(zhuǎn)移級制導(dǎo)及其它相似應(yīng)用。

1 坐標系定義與轉(zhuǎn)換

1.1 發(fā)射慣性坐標系

發(fā)射坐標系定義：原點取發(fā)射點在當?shù)貐⒖紮E球體表面的投影點；OYg軸與當?shù)貐⒖紮E球體的法線一致且指向上方；OXg與OYg軸垂直且指向射向；OXgYgZg為右手直角坐標系。

在運載器發(fā)射瞬間發(fā)射慣性坐標系OXIYIZI與發(fā)射坐標系OXgYgZg重合，運載器發(fā)射后發(fā)射慣性坐標系在慣性空間定位定向。

1.2 北天東坐標系

坐標原點在運載器質(zhì)心，OYN軸與從地心到原點的矢量方向一致；OXN在當?shù)刈游缑鎯?nèi)與OYN軸垂直且指向北；OXNYNZN為右手直角坐標系。

1.3 坐標系間的轉(zhuǎn)換矩陣

在發(fā)射慣性坐標系中描述的地球自轉(zhuǎn)角速度方向和當前點地心矢徑方向為

(1)

式中，A0為發(fā)射方位角，B0為發(fā)射點地理緯度；r0,x，r0,y，r0,z為發(fā)射點地心距向量在發(fā)射慣性坐標系中的分量，x，y，z為當前點在發(fā)射慣性坐標系中的坐標。

當前點地心緯度可以按照下式直接計算：

(2)

北天東坐標系到發(fā)射慣性坐標系的坐標轉(zhuǎn)換矩陣為[7]

(3)

式中，F(xiàn)11，F(xiàn)12，F(xiàn)13以及F31，F(xiàn)32，F(xiàn)33計算式為

(4)

2 視速度模量計算與約束建模

2.1 總視速度模量

設(shè)運載器某級發(fā)動機比沖為Isp，其點火點質(zhì)量為m0，該級發(fā)動機總裝藥量為mf，則其能產(chǎn)生的總的視速度模量為

(5)

可見，某級發(fā)動機總視速度模量ΔW0與其比沖Isp、初始質(zhì)量m0和耗盡點質(zhì)量(m0-mf)密切相關(guān)，由于m0，mf事先可以比較準確的得到，因此，按式(5)對ΔW0的估算偏差主要與比沖Isp相關(guān)。通常ΔW0的估算偏差能夠控制在1.0%以內(nèi)。

2.2 剩余視速度模量

(6)

式中，t0到t時刻的視加速度模量積分可根據(jù)加表實際測量值按照下式計算：

(7)

對于式(7)，當t=t0時，ΔW(t0,t0)=0，此時剩余視速度模量等于總視速度模量；當t=tK時，發(fā)動機已至耗盡關(guān)機時刻，按式(6)計算的剩余視速度模量為0。

2.3 軌道約束模型

為了進入軌道傾角為i0、高度為h0(相對平均地球半徑Ra)的圓軌道，根據(jù)霍曼軌道轉(zhuǎn)移理論，建議運載器預(yù)先進入軌道傾角為i0、遠地點高度為h0(相對平均地球半徑Ra)的橢圓轉(zhuǎn)移軌道，該橢圓轉(zhuǎn)移軌道就是本文研究的耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)預(yù)期進入的軌道。

下面根據(jù)軌道運動理論，用數(shù)學(xué)模型描述軌道傾角約束、軌道高度約束。

(1)軌道傾角i0的數(shù)學(xué)模型

由式(2)，可得當前點的地心緯度φK。為了進入軌道傾角約束為i0的橢圓轉(zhuǎn)移軌道，根據(jù)軌道傾角、地心緯度與速度方位角的關(guān)系式

αR=arcsin(cosi0/cosφK)

(8)

可得當前點需要速度方位角αR。

(2)軌道高度h0的數(shù)學(xué)模型

軌道面內(nèi)描述的轉(zhuǎn)移軌道極坐標運動方程為

r=p/(1-ecosξ)

(9)

式中，p，e為轉(zhuǎn)移軌道半通徑和偏心率；r為飛行點地心距，ξ為飛行點真遠點角。

要求轉(zhuǎn)移軌道的遠地點(ξK=0)高度為h0，則根據(jù)式(9)，該約束可以描述為

rA=Ra+h0=p/(1-e)

(10)

式中，rA為轉(zhuǎn)移軌道遠地點地心距，它等于平均地球半徑加上軌道高度約束h0。

2.4 制導(dǎo)約束模型

要形成轉(zhuǎn)移軌道，除了需要滿足軌道傾角、軌道高度等約束外，還需要保證轉(zhuǎn)移軌道通過當前點以及進入轉(zhuǎn)移軌道時發(fā)動機能量剛好耗盡，這分別對應(yīng)為當前點位置約束和耗盡關(guān)機約束，建立它們的數(shù)學(xué)模型將為形成耗盡關(guān)機導(dǎo)引律奠定基礎(chǔ)。

(1)當前點位置約束

根據(jù)式(9)，當前點位置約束的數(shù)學(xué)模型為

rK=p/(1-ecosξK)

(11)

式中，rK為當前點地心距，ξK為當前點真遠點角。

(2)耗盡關(guān)機的數(shù)學(xué)模型

設(shè)當前時刻的剩余視速度模量為ΔWR，當前速度為VpI，尋找一發(fā)射慣性坐標系中的需要速度VRI，使得下式成立

(12)

3 多約束耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)

3.1 轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)解算

假設(shè)給定當前點在轉(zhuǎn)移軌道上的真遠點角ξK以及當前點、遠地點地心距rK，rA，則根據(jù)式(10)和(11)可以解得轉(zhuǎn)移軌道偏心率及半通徑

(13)

可見，通過調(diào)整當前點真遠點角ξK，將會獲得相同高度約束下的不同橢圓轉(zhuǎn)移軌道。

3.2 發(fā)射慣性坐標系需要速度

已知當前點真遠點角ξK、轉(zhuǎn)移軌道半通徑p，當前點需要速度及需要速度傾角為[7]

(14)

結(jié)合式(8)給出的需要速度方位角，可得北天東坐標系中的需要速度為

(15)

3.3 耗盡關(guān)機轉(zhuǎn)移軌道的迭代計算

給定當前點在轉(zhuǎn)移軌道上的真遠點角ξK,i，結(jié)合式(12)～(15)，可得相應(yīng)的橢圓轉(zhuǎn)移軌道以及沿該軌道飛行的需要視速度增量ΔWi：

(16)

由式(12)描述的耗盡關(guān)機條件可知，當剩余視速度模量ΔWR等于當前點需要視速度模量ΔWi,即ΔWi=ΔWR時，可以實現(xiàn)耗盡關(guān)機。但實際上，不可能給定一個ξK,i，正好得到ΔWi等于ΔWR，因此需要對式(16)進行迭代計算，迭代過程如下：

1)給定真遠點角ξK,i，由式(16)計算ΔWi；

2)給定ξK,i+δξ，由式(16)計算ΔWi+δΔWi，由此得偏導(dǎo)數(shù)

?ξK/?ΔW=δξ/δΔWi

(17)

3)根據(jù)牛頓迭代修正ξK,i，修正公式如下：

ξK,i+1=ξK,i-?ξK/?ΔW×(ΔWi-ΔWR)

(18)

4)判斷迭代是否結(jié)束。計算對應(yīng)ξK,i+1的ΔWi+1，當

(19)

時，設(shè)i:=i+1，ξK,i:=ξK,i+1，迭代計算步驟1)～ 3)；否則停止迭代。

迭代停止后，由式(18)得到的ξK,i+1即為當前點在橢圓轉(zhuǎn)移軌道上的期望真遠點角，此時，由式(19)再次調(diào)用式(16)得到的pi，ei即為期望的橢圓轉(zhuǎn)移軌道半通徑和偏心率，相應(yīng)的Vg,i即表征了發(fā)動機的需要推力方向。

3.4 需要推力方向

(20)

式中，φC,P，ψC,P，γC,P表示俯仰、偏航、滾動通道指令姿態(tài)角。

4 數(shù)學(xué)仿真與結(jié)果分析

設(shè)期望的圓軌道的軌道傾角為32°,軌道高度(相對平均地球半徑)為350km，因此，橢圓轉(zhuǎn)移軌道的軌道傾角為32°,遠地點軌道高度為350km。軌道轉(zhuǎn)移級發(fā)動機總視速度模量為ΔW0=2484m/s，制導(dǎo)周期為TS=10ms。

應(yīng)用本文提出的多約束耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)方法，仿真計算結(jié)果如圖1～2和表1～2所示。圖1～2中，φC,P，ψC,P分別表示俯仰姿態(tài)角指令、偏航姿態(tài)角指令；ha表示相對平均地球半徑Ra的高度，即ha=r-Ra；Vf表示相對地球速度(即地速)模量。

表1 耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)軌道參數(shù)

圖1 耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)指令姿態(tài)角

圖2 耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)飛行軌道及飛行速度

圖1～2和表1～2仿真過程中忽略了J2項擾動引力場的影響，上述計算結(jié)果表明，雖然耗盡關(guān)機點的待增速度殘差約為0.698m/s，橢圓轉(zhuǎn)移軌道遠地點平均高度控制誤差約為40.7m，軌道傾角的控制誤差約為7.0×10-4(°)，可見軌道控制精度較高。

表2 耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)遠地點高度控制偏差

由于多約束耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)基于中心引力場作用的橢圓軌道推導(dǎo)得到，因此J2項等高階引力項對于飛行軌道的影響并沒有得到補償，其將對制導(dǎo)出的軌道產(chǎn)生影響。表2展示了僅有制導(dǎo)方法誤差(即待增速度殘差)以及同時有制導(dǎo)方法誤差和J2項干擾的計算結(jié)果，表明J2項引起的高度控制誤差約為541.8m，約為耗盡關(guān)機制導(dǎo)方法誤差的13倍，可見J2項對飛行軌道影響明顯。為了實現(xiàn)J2作用下的高精度軌道控制，在裝訂最大軌道高度時，提前補償J2項的影響，此時計算得到的方法誤差與J2項共同作用下的高度控制誤差約42.5m，比方法誤差引起的高度控制誤差僅大1.8m，補償效果明顯。

此外，關(guān)于稀薄大氣的仿真計算表明，高度150km處的稀薄大氣作用力已小于0.1N，其對運載器的視加速度已小于5.0×10-5m/s2；而當高度大于200km時，稀薄大氣作用力迅速下降1個數(shù)量級以上。實際飛行軌道計算結(jié)果亦表明，稀薄大氣對轉(zhuǎn)移軌道遠地點高度的影響在米級，相對于制導(dǎo)方法誤差和J2項干擾，其影響完全可以忽略。

5 結(jié)束語

基于橢圓軌道理論和牛頓迭代法，提出了一種具有軌道傾角和遠地點高度約束能力的耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)方法，該方法適用于多級固體運載火箭的轉(zhuǎn)移軌道制導(dǎo)。仿真計算結(jié)果表明，該方法對轉(zhuǎn)移軌道傾角和遠地點高度控制精度高，能夠滿足高精度入軌制導(dǎo)的制導(dǎo)精度要求，可以作為高精度入軌制導(dǎo)的軌道轉(zhuǎn)移級制導(dǎo)方法，亦可以作為其它具有高度約束的橢圓軌道的耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)方法。

[1] A J McDonald, Morton Thiokol. Solid Rockets-An Afordable Solution to Future Space Propulsion Needs [C]. 20th AIAA/SAE/ASME Joint Propulsion Conference, June 11-13, 1984: 1-13.

[2] 廖洪昌,陳奇昌,王明海.耗盡關(guān)機閉路制導(dǎo)導(dǎo)引方法研究[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報,2007,27(2): 35-38.(Liao Hongchang, Chen Qichang, Wang Minghai. An Approach to Depleted Shutdown Close-loop Guidance Navigation Method [J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2007, 27(2): 35-38.)

[3] Patha J T, McGehee R K. Guidance, Energy Management, and Control of a Fixed-impulse Solid-rocket Vehicle during Orbit Transfer [J]. AIAA Proceedings of Guidance and Control Conference, Aug.16-18, 1976: 1-12.

[4] Xu Heng, Chen Wanchun. An Energy Management Ascent Guidance Algorithm for Solid Rocket- Powered Launch Vehicles [C]. 17thAIAA International Space Planes and Hypersonic Systems and Technologies Conference, April 11-14, 2011: 1-12.

[5] Liu Luhua, Chen Kejun, Tang Guojian. Research of Multi-restriction Energy Management of Solid Rocket [C]. 5thInternational Conference on Recent Advances in Space Technologies (RAST), 2011: 276-279.

[6] He Linshu, Y Murad. An Improved Method for Conceptual Design of Multi-stage Solid Rockets Based on Depleted Shutdown [J]. Journal of Solid Rocket Technology, 2005, 28(2): 120-125.

[7] 陳世年,李連仲,王京武.控制系統(tǒng)設(shè)計[M].北京:中國宇航出版社,1996.(Chen Shinian, Li Lianzhong, Wang Jingwu. Control System Design [M]. Beijing: China Astronautic Publishing House, 1996.)

[8] 周軍,潘彥鵬,呼衛(wèi)軍.固體火箭的魯棒自適應(yīng)耗盡關(guān)機制導(dǎo)方法研究[J]. 航天控制, 2013,31(3): 34-39.(ZHOU Jun , PAN Yanpeng,HU Weijun. A Robust and Adaptive Depleted Shutdown Guidance Method of Solid Rocket [J]. Aerospace Control, 2013, 31(3): 34-39.)

[9] 王繼平,王明海,鮮勇.固體導(dǎo)彈耗盡關(guān)機與控制研究[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報,2006,26(3): 64-67.(Wang Jiping, Wang Minghai, Xian Yong. Research of Depleted Shutdown and Control of Solid Missile [J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2006, 26(3): 64-67.)

[10] 鄭偉,湯國建.彈道導(dǎo)彈零射程線及其應(yīng)用[J].飛行力學(xué),2008,26(4): 73-76.(Zheng Wei, Tang Guojian. Zero-Range Orientation and Applications of Ballistic Missile [J]. Flight Dynamics, 2008,26(4): 73-76.)

TheDepletedShutdownClosedLoopGuidancewithConstraintsofOrbitInclinationandMaximumHeight

ZHANG Rufei1,2ZHAO Shifan1
1. Beijing Institute of Control and Electronic Technology， Science and Technology on Information Systems Engineering Laboratory, Beijing 100038, China 2. Graduate School, 2ndAcademy of China Aerospace, Beijing 100854, China

Thesolidrocketmotororbittransferstageforresponsivespaceaccess(RSA)isrequiredtoadoptdepletedshutdownguidancewhichaimsatmaximizingenergyuse,butnotconsumingredundantenergy.BasedonellipticalorbittheoryandNewtoniterationmethod,adepletedshutdownclosedloopguidancetodealwithmultipleorbitandguidanceconstraintsisoriginated,whichseekstherequiredthrustdirectioninrealtimeandutilizestheorbittransferstageenergysufficientlytoguidestheupperstagetoentertransferorbitwithconstraintsoforbitinclinationandmaximumheight.Meanwhile,thedepletedshutdownisimplemented.Theorydeductionandnumericalsimulationdemonstratethattheproposedguidancemethodcanachieveprecisecontrolfortransferringorbitunderconditionsofdepletedshutdown.

Responsivespaceaccess;Depletedshutdown;Closedloopguidance;Energymanagement

2014-04-16

張如飛(1981-)，男，安徽懷遠人，博士后，高級工程師，主要研究方向為導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制；趙世范(1943-)，男，上海人，研究員，主要研究方向為導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

V448.21; TJ765.2

： A

1006-3242(2014)05-0016-05