等量電荷電場線的分布及電場強(qiáng)度、電勢的特點(diǎn)分析

廖貴生

高二物理選修3-1教材中，在靜電場中，“電場”這個(gè)概念很抽象，特別是對初學(xué)者來說，對等量電荷電場線分布及場強(qiáng)、電勢特點(diǎn)模糊不清，以至在應(yīng)用過程中經(jīng)常出錯(cuò)。

1.等量電荷電場線分布

電場線的特點(diǎn)：①電場線從正電荷或無限遠(yuǎn)出發(fā)，終止無限遠(yuǎn)或負(fù)電荷；②電場線在電場中不相交，這是因?yàn)樵陔妶鋈我庖稽c(diǎn)的場強(qiáng)不可能有兩個(gè)方向；③在同一幅圖中，可以用電場線的疏密來表示場強(qiáng)的大小：即電場線 密的地方場強(qiáng)大，電場線疏的地方場強(qiáng)小。

2.等量電荷的場強(qiáng)

（1）等量正、負(fù)點(diǎn)電荷。等量正、負(fù)點(diǎn)的場強(qiáng)的大小用點(diǎn)的電荷的場強(qiáng)公式E=k—來計(jì)算。根據(jù)公式可知，離場源電荷越遠(yuǎn)，場強(qiáng)越小；與場源電荷等距的各點(diǎn)組成球面上的場強(qiáng)大小相等。方向：正點(diǎn)電荷的場強(qiáng)方沿著電場線的方向向外，負(fù)點(diǎn)電荷的場強(qiáng)方向沿著電場線向內(nèi)。

（2）等量異種、同種電荷的場強(qiáng)。在實(shí)際應(yīng)用中，主要考查等量異種、同種電荷兩條特殊線的場強(qiáng)，下面就等量異種、同種電荷兩條特殊線（兩電荷的連線上和兩電荷連線上的中垂線）的場強(qiáng)進(jìn)行分析。

等量異種電荷：例一：兩電荷連線上。如圖1所示，在兩電荷連線上任取一點(diǎn)G，設(shè)AG長度為x，則G點(diǎn)場強(qiáng)EG為兩點(diǎn)電荷分別在該點(diǎn)的場強(qiáng)EA、EB的矢量和，方向從A指向B（由正電荷指向負(fù)電荷一側(cè)），由點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式知：

EG=EA+ EB=—+—

=—

∵x+（L-x）等于定值L，∴當(dāng)x=（L-x），即x=—時(shí)，x與（L-x）乘積最大

∴這時(shí)EG有最小值，即在兩電荷連線中點(diǎn)O處場強(qiáng)最小，將x=—帶入上式，可求得EG最小值EGmin=——，

方面由A指向B。從O點(diǎn)向兩側(cè)逐漸增大，數(shù)值關(guān)于O點(diǎn)對稱。

小結(jié)：等量異種電荷連線中點(diǎn)場強(qiáng)最小，靠近點(diǎn)電荷場強(qiáng)漸強(qiáng)，方向從正點(diǎn)荷指向負(fù)電荷。

例二：中垂線上。如圖2所示，在中垂線上，任取一點(diǎn)H，設(shè)OH=x，根據(jù)對稱性知：EH沿水平方向向右，即在中垂線上各點(diǎn)場強(qiáng)水平向右（垂直于中垂線指向負(fù)電荷一側(cè)），沿中垂線移動電荷，電場力不做功，由電勢差定義知：中垂線為一等勢線，與無限遠(yuǎn)處等勢，即各點(diǎn)電勢為零。

H點(diǎn)的場強(qiáng)

EH=—·cosθ=—·

—=—

∴在O點(diǎn)，即x=0處，EH最大，x越大，即距O點(diǎn)越遠(yuǎn)EH越小，兩側(cè)電場強(qiáng)度數(shù)值關(guān)于O點(diǎn)對稱。

小結(jié)：等量異種電荷的中垂線上電場強(qiáng)度由中點(diǎn)向上向下減小，方向與兩點(diǎn)電荷的連線平行且由正電荷指向負(fù)電荷。

等量同種電荷：例一：電荷連線上。如圖3所示，在兩電荷連線上任取一點(diǎn)N，設(shè)AN長度為x，則N點(diǎn)場強(qiáng)EN為兩點(diǎn)電荷在該點(diǎn)的場強(qiáng)EA、EB的矢量和，方向沿AB連線，O點(diǎn)左側(cè)從A指向B，右側(cè)從B指向A（沿兩電荷連線指向較遠(yuǎn)一側(cè)電荷，若兩電荷為等量負(fù)電荷則反之），N點(diǎn)電場強(qiáng)度大小知：EN=—-—，

∴當(dāng)x=—時(shí)，EN=0，即在兩電荷連線中點(diǎn)O處場強(qiáng)最小，從O點(diǎn)向兩側(cè)逐漸增大，數(shù)值關(guān)于O點(diǎn)對稱，方向相反。

小結(jié)：等量同種電荷連線上中點(diǎn)場強(qiáng)為零，向兩側(cè)逐漸增大。

例二：中垂線上。如圖4所示， 根據(jù)對稱性知：在O點(diǎn)兩側(cè)，電場強(qiáng)度方向均沿中垂線方向從O點(diǎn)指向無限遠(yuǎn)（若兩電荷為等量負(fù)電荷則反之），由極限分析法易得：在O點(diǎn)處，E=0；在距O點(diǎn)無限遠(yuǎn)處，E=0。說明中間某位置有極大值，可見：合電場強(qiáng)度的大小隨著距O點(diǎn)的距離增大，先從零增大到最大，然后逐漸減小。在中垂線上，任取一點(diǎn)P，設(shè)OP=x，AP=BP=r.由點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式，（注意：場強(qiáng)是矢量，矢量求和時(shí)要考慮方向，在P點(diǎn)沿AB中垂線方向和垂直于中垂線方向分解EA和EB），故P點(diǎn)場強(qiáng)為：

EP=2EAcosθ=—=

—·—=—

運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，令y=—，

求導(dǎo)可得：

y'=

令y'=0，則[x2+（—）2] =3x2[x2+（—）2] ，

即x2+（—）2=3x2，∴當(dāng)x=±—L時(shí)， EP有最大值EPmax=—。

∴從中點(diǎn)沿中垂線向兩側(cè)，電場強(qiáng)度的數(shù)值先增大后減小，兩側(cè)方向相反，關(guān)于O點(diǎn)對稱的點(diǎn)數(shù)值相等。

小結(jié)：等量同種電荷連線的中垂線上，從中點(diǎn)向兩側(cè)電場強(qiáng)度先增大后減小，兩側(cè)方向相反，關(guān)于O點(diǎn)對稱的點(diǎn)數(shù)值相等。若兩電荷為等量正電荷，則電場強(qiáng)度方向均沿中垂線方向從中點(diǎn)指向無限遠(yuǎn)；若兩電荷為等量負(fù)電荷，則電場強(qiáng)度方向均沿中垂線方向從無限遠(yuǎn)指向中點(diǎn)。

3.電勢

無論哪種類型的電場中，沿著電場線方向電勢逐漸降低。

（1）正、負(fù)點(diǎn)電荷。若取無窮遠(yuǎn)處的電勢為零，則正（或負(fù)）點(diǎn)電荷電場中的電為正（或負(fù)）。與點(diǎn)電荷等距的各點(diǎn)組成的球面是等勢面，離正（或負(fù)）點(diǎn)電荷越近，等勢面越密。如圖5甲、乙。

（2）等量異種電荷。① 電荷連線上：由于沿著電場線的方向電勢降低，所以連線上從正點(diǎn)電荷到負(fù)點(diǎn)電荷電勢降低。②兩點(diǎn)電荷連線中垂線上：由于中垂線上場強(qiáng)方向與中垂線垂直，所以某檢驗(yàn)荷在中垂線上移動時(shí)，電場力不做功，由 知，中垂線上任意兩點(diǎn)的電勢差為零，即中垂線上電勢均為零。

（3）等量同種電荷：①可根據(jù)電勢與電場線的關(guān)系（沿著電場線的方向電勢降低）直接判斷：連線上，中點(diǎn)電勢最小，從中點(diǎn)往兩邊電勢升高；中垂線上從中點(diǎn)往兩邊電勢降低，無窮遠(yuǎn)處為零。電場線的分布如右圖所示。②也可由電勢差的定義UAB=—判斷。先看兩點(diǎn)電荷的連線上：設(shè)一正檢驗(yàn)電荷由連線上某點(diǎn)A向中點(diǎn)O移動時(shí)，如圖6所示。

根據(jù)W=FS cosθ知，F(xiàn)與S的方向相同，故F做正功，q又為正電荷，所以UAO=—>0即UAO=φA-φO>0故φA>φO可知連線上從O到點(diǎn)電荷電勢升高，又由于兩邊對稱，故連線上O點(diǎn)電勢最低。同理可知中兩點(diǎn)電荷的垂直線上中點(diǎn)O電勢最高，往兩邊電勢降低。

小結(jié)：等量同種電荷連線上，中點(diǎn)電勢最低，從中點(diǎn)往兩側(cè)電勢升高；中垂線上從中點(diǎn)往兩邊電勢降低，無窮遠(yuǎn)處電勢為零。

4.應(yīng)用舉例

（1）如圖7所示，在等量異種點(diǎn)電荷電場中有A、B、C、D四點(diǎn)，其中承B、D在兩點(diǎn)電荷連線的中垂線上（連線的中點(diǎn)為O）OA>OC，OB>OD（重力不計(jì)）則下列說法正確的是（ ）

A.EA< EC，EB< ED

B.EA> EC，EB < ED

C.將一點(diǎn)電荷從B處由靜止釋放，則它必沿直線運(yùn)動

D.將一點(diǎn)電荷以一定的速度V0從B處沒BD直線開始進(jìn)入電場，則其運(yùn)動軌跡必為曲線

答案：BD

解析：利用等量異種點(diǎn)電荷電場線分布特點(diǎn)，A處電場線較密，C處電場線較疏，EA>EB很直觀。但B 、D兩處并不直觀，但根據(jù)電場線在該處呈對稱性和兩點(diǎn)電荷連線中垂線上距中垂線中點(diǎn)遠(yuǎn)處電場疏，可得EB

（2）如圖所示，P、Q是兩個(gè)電荷量相等的正的點(diǎn)電荷。它們連線的中點(diǎn)是O，A、B是中垂線上的兩點(diǎn)，OA<

OB，用EA、EB、φA、φB分別表示A、B兩點(diǎn)的場強(qiáng)和電勢，則（ ）

A.EA一定大于EB，φA一定大于φB

B.EA不一定大于EB，φA一定大于 φB

C.EA一定大于EB，φA不一定大于φB

D.EA不一定大于EB，φA不一定大于φB

答案：B

解析：從O到無窮遠(yuǎn)處場強(qiáng)先增大后減小，方向沿中垂線指向無窮遠(yuǎn)，在中垂線上電勢O點(diǎn)最高，沿電場線方向逐漸降低。故EA不一定大于EB，φA一定大于φB。

總結(jié)：通過學(xué)習(xí)等量電荷的電場分布、場強(qiáng)與電勢特點(diǎn)，特別是等量異種電荷和等量同種電荷在兩條特殊線上的場強(qiáng)、電勢特點(diǎn)的分析，在遇到此類題目都可以運(yùn)上述知識來求解，希望能對學(xué)生有所幫助！

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.物理選修3-1[M].北京： 人民教育出版社，2010.

[2]人民教育出版社物理室.高中物理（必修加選修）[M].北京：人民教育出版社，2002.

（作者單位：江西省分宜縣第二中學(xué)）