高中數(shù)學(xué)排列組合常用的解題方法

張增良

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解決排列組合問題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚怼?/p>

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；排列組合；解題方法中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2014）18-0201-01排列組合問題聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點問題。解決排列組合問題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚怼１疚木透咧袛?shù)學(xué)中解決排列組合問題的常用方法做一簡單總結(jié)：

1.特殊元素和特殊位置優(yōu)先法

例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置.

先排末位共有C13

然后排首位共有C14

最后排其它位置共有A34

由分步計數(shù)原理得C14C13C34=288

方法總結(jié)：位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件。

2.相鄰元素捆綁法

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.

解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計數(shù)原理可得共有A55A22A22=480種不同的排法

方法總結(jié)：要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.

3.不相鄰問題插空法

一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？

解:分兩步進(jìn)行第一步排2個相聲和3個獨唱共有A55種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種A46不同的方法,由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有A55A46種

元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端

4.定序問題縮倍法

在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法．

例3A、B、C、D、E五個人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有。

分析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即12A55=60種。

方法總結(jié)：一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決。

5.重排問題求冪法

例5.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí),共有多少種不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名實習(xí)生分配到車間有7種分法.把第二名實習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計數(shù)原理共有76種不同的排法。

方法總結(jié)：允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為mn種

6.多排問題直排法

例6.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有A24種,再排后4個位置上的特殊元素丙有A14種,其余的5人在5個位置上任意排列有A55種,則共有A24A14A55種

一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研

7.排列組合混合問題先選后排法

例7.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.

解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有C25種方法.再把4個元素(包含一個復(fù)合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有A44種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有C25A44

解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?

8.元素相同問題隔板法

例8.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有C69種分法。

方法總結(jié)：將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為Cm-1n-1。

9.正難則反總體淘汰法

例9.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？

解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有C35,只含有1個偶數(shù)的取法有C15C25,和為偶數(shù)的取法共有C15C25+C35。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有C15C25+C35-9

方法總結(jié)：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。