對數(shù)列求值問題的探討

張志宇

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2014）18-0184-01數(shù)列，是按照一定次序排列的一列數(shù)，主要研究數(shù)的規(guī)律。數(shù)列安排在高中數(shù)學教材《必修5》第二章，課時比較少，而在高考中的地位卻非常突出，對數(shù)列求值是非常常見的一類問題，現(xiàn)對數(shù)列求值問題進行歸納，做如下幾點分析探討：

1.等差數(shù)列中的"知三求二"

等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考考綱中的兩個C級要求，而等差等比數(shù)列中知三求二問題，是高考中的常見題型，主要利用等差等比數(shù)列的性質(zhì)解決.

例1如果等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=12 ，那么a1+a2+…+a7=

（A）14（B）21（C）28（D）35

解析：答案為C，本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì)，a3+a4+a5=3a4=12,∴a1+a2+…+a7=7(a1+a2)27a4=28

例2已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則a4a5a6=

(A)52(B)7(C) 6(D)42

解析：答案為A,本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a2a3(a1a3)a2=a32=5，a7a8a9=(a7a9)a8=a38=10,所以a2a8=5013,所以a4a5a6=(a4a6)a5=a35=a2a83=(5016)3=52.

2.利用基本不等式求最值

數(shù)列中利用基本不等式求最值也是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的一類題型，但應用時必須考慮到"一正二定三相等"，看看能否取到.

例3已知數(shù)列{an}滿足a1=33,an+1-an=2n,則ann的最小值為.

解析：答案為212，本題考查了遞推數(shù)列的通項公式的求解以及利用基本不等式求最值，考查了同學們綜合運用知識解決問題的能力。利用累加求出an=33+n2-n，所以ann=33n+n-1≥233-1，僅當n=33時取等號，但n∈N+，又取不到，故在33附近的整數(shù)5和6中去，又因為a55=535，a66=636=212，所以，ann的最小值為a66=212

3.利用函數(shù)單調(diào)性求最值

數(shù)列是特殊的函數(shù)，它也是項數(shù)和項之間構(gòu)成一一對應關(guān)系，只不過定義域是正整數(shù)集或其子集，許多數(shù)列最值可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.

例4 已知數(shù)列{an}是首項為a ，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列 {bn}滿足bn=1+anan ，若對任意的 n∈N*，都有 bn≥b8成立，則實數(shù) 的取值范圍是

解析：答案為(-8,-7) ，{an} 是首項為a ，公差為1的等差數(shù)列所以an=a+n-1，bn=1+anan=1+1a+n-1 ，類似反比例函數(shù)，又bn≥b8 ， b8為最小值，故有 8<1-a<9.

4.利用項數(shù)只能為整數(shù)取值

數(shù)列取值時，常遇到列的方程卻解不出未知量，這時要認真審題，尋找題目中的隱含條件，尤為數(shù)列中的項數(shù)是正整數(shù)，再進行枚舉.

例5設{an} 是公差不為零的等差數(shù)列， sn為其前n 項和，滿足 a2+a23=a24+a25，s7=7,

（1）求數(shù)列 {an}的通項公式及前 n項和sn ；

（2）試求所有的正整數(shù)m ，使得 amam+1am+2為數(shù)列 {an}中的項.

解析：本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和的有關(guān)知識，考查運算和求解的能力.

（1）數(shù)列{an} 的通項公式為an=2n-7 ，前 n項和sn=n2-6n ；

(2) 因為 amam+1am+2=(am+2-4)(am+2-2)am+2=am+2-6+8am+2為數(shù)列 {an}中的項，故8am+2 為整數(shù)，又由（1）知： am+2為奇數(shù)，所以am+2=2m-3=±1即m=1,2 經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有m=2.

5.數(shù)列中參數(shù)范圍求解

數(shù)列可看作是定義域為正整數(shù)集（或它的有限集 {1,2,3,…,n}的函數(shù)，求參數(shù)范圍是常遇到的問題，那就要函數(shù)中的分離參數(shù)求范圍的方法，但不要忘了定義域.

例6設各項均為正數(shù)的數(shù)列 {an}的前n項和為sn ，已知2a2=a1+a3 ，數(shù)列 {sn}是公差為d的等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an} 的通項公式（用n,d 表示）；

（2）設 c為實數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n 的任意正整數(shù)m,n,k ，不等式sm+sn>csk 都成立,求證： c的最大值為 92.

解析：由{sn}是等差數(shù)列與條件2an=a1+a3 ,即可求出sn=d2n2 ,再由an=S1,n=1

Sn-Sn-1,n>1,可得出an=(2n-1)d2.

sm+sn>cskm2d2 +n2d2>ck2d2 m2+n2>ck2， c(m+n)2=9k2m2+n2 k2>92 ，故C ≤92，即 C的最大值為92 .

數(shù)列中求值是數(shù)列常見的問題,幾乎年年在考,但年年有變,變得是試題的外殼,即在題設的條件上有變革,有創(chuàng)新,但變化中有不變性,即問題中的求值就是常見的幾種.重要環(huán)節(jié)。(8)課外學習：課外學習包括閱讀課外書籍和報刊，以豐富文化科學知識，激發(fā)求知欲和學習熱情。

總之，學習方法因人而異，但學習的四個環(huán)節(jié)預習、上課、作業(yè)、復習和一個步驟--歸納總結(jié)是少不了的，望同學們能從實際出發(fā)，制定適當目標，長計劃、短安排培養(yǎng)對數(shù)學學習的興趣，并付之以行動，數(shù)學學習自然會成為快樂的游戲，也就自然會有學習的志趣，成功也就自然接踵而至。