淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的美

劉軍

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2014）08-0178-01眾所周知，數(shù)學(xué)在我們的基礎(chǔ)教育中占有很大的份量，是我們的文化中極為重要的組成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。數(shù)學(xué)美深深地感染著人們的心靈，激起人們對她的欣賞。下面從幾個方面來欣賞數(shù)學(xué)美。

1.簡潔美

簡約是一種美。數(shù)學(xué)便是用最簡潔的語言概括了數(shù)量關(guān)系、空間結(jié)構(gòu),也正因為簡潔,數(shù)學(xué)才得以最廣泛地運用,才有極強(qiáng)的生命力。

1.1簡潔的阿拉伯?dāng)?shù)字。1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0這一組數(shù)字是人們對物質(zhì)世界存在性最直接最原始的表達(dá)。歷史上,各國各民族都有自己的數(shù)字,但只有阿拉伯?dāng)?shù)字保留并廣為流傳,究其原因,簡潔流暢的書寫,干脆上口的發(fā)音,運算中進(jìn)位快捷方便,是其勝出的法寶。

1.2精煉的數(shù)學(xué)符號語言。自然界的客觀存在和普遍聯(lián)系要有合適的語言去表達(dá),這種語言要言簡意賅,要有普適性,各種各樣的數(shù)學(xué)符號應(yīng)運而生。正因為有了數(shù)學(xué)符號語言,數(shù)學(xué)知識才能一代代傳下去。一位美國數(shù)學(xué)家說,合適的數(shù)學(xué)符號"帶著自己的生命出現(xiàn),并且它又創(chuàng)造出新的生命來。"

1.3簡明的公理化體系。數(shù)學(xué)猶如煙波浩渺的海洋,海洋中有數(shù)學(xué)分析,實函,復(fù)函,拓?fù)?還有歐式幾何,解析幾何,放射幾何……它們彼此相似,但又各成一門學(xué)科。因為它們大多建立在各自的公理化體系上。所謂"公理化",即首先通過理性思維,根據(jù)邏輯次序,指出原始概念,原始圖形,原始關(guān)系,指出哪些是基本的不加證明的原始命題,即公理。由這些原始概念和公理出發(fā),定義其它概念,證明其它命題。中學(xué)數(shù)學(xué)中不乏這樣的精美知識鏈。函數(shù)遵循著"集合——映射——函數(shù)——圖象和性態(tài)"的結(jié)構(gòu)體系;立體幾何遵循著"點線面等原始概念——公理——各種位置關(guān)系及判斷(定理)——角與距離(運用)"的結(jié)構(gòu)體系;向量遵循著"向量的概念——平面(空間)向量基本定理——向量垂直,平行定義及判定——運用向量"結(jié)構(gòu)體系。有了知識結(jié)構(gòu),學(xué)習(xí)就有了藍(lán)本,獲取知識就有了效率。雖然有些體系并未嚴(yán)格公理化,但并不影響人們對明快的公理化方法的喜好。

2.對稱美

具有對稱性的東西，給人以圓滿的勻稱美感和精神享受。例如，人體、樹葉、房屋等很多物體都是對稱的。人們欣賞對稱的美，對稱也給人類生活帶來方便。對稱美在數(shù)學(xué)中隨處可見。例如： (1)立體幾何中的正方體、長方體、正四面體、圓錐、圓臺、棱臺等都是對稱的幾何體。 (2)在解析幾何中，拋物線、雙曲線、圓、橢圓都是對稱的。還有，方程及ρ=asin3θ及ρ=acos3θ，ρ=asin2θ及ρ=acos2θ所表示的三葉玫瑰線、四葉玫瑰線也是對稱的。(3)在代數(shù)中的互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，等等。

數(shù)學(xué)中的對稱不僅表現(xiàn)在幾何圖形上，在數(shù)學(xué)表達(dá)式中也大量存在。如二項式展開系數(shù)，即著名的楊輝三角就具有對稱性，三角形中恒等式、不等式也具有對稱性。

其實，數(shù)學(xué)中的對稱美不僅給我們帶來直觀上美的享受，而且把對稱美應(yīng)用到解題中，有時候會大大地降低解題的難度。如，在等差數(shù)列的習(xí)題中有這樣一個題目：在等差數(shù)列{a}中，若a+a+a+a，則S=?搖?搖?搖。

分析：等差數(shù)列中存在對稱美：當(dāng)i+j=m+n時，有a+a=a+a，由對稱性知：a+a=a+a=10，S=（a+a）+（a+a）+…+（a+a）=10×10=100。通過對稱美的挖掘引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)美，使學(xué)生從行之有效的數(shù)學(xué)方法和靈活巧妙的解題技巧中感受和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，并通過優(yōu)化自己的解題方法和解題技巧來創(chuàng)造數(shù)學(xué)美。

3.奇異美

奇異性是指數(shù)學(xué)中原有的習(xí)慣、法則和統(tǒng)一格局，被新的事物所突破，或出乎意料、超乎想象的結(jié)果所帶來的新穎和奇特。 例如對于任意三角形，它們的三條中線總是交于一點，我們看到各種三角形都是如此而并非巧合，顯示了一種奇巧的美。同樣，三角形三條角平分線，三條垂直平分線，三條高也分別交于一點，更進(jìn)一步認(rèn)識到即使是最簡單的圖形--三角形也蘊(yùn)藏的奇異規(guī)律。數(shù)學(xué)的一種證明方法——反證法，給人感受的美也是一種奇異的內(nèi)在美。反例的應(yīng)用往往是對已有的數(shù)學(xué)理論的突破，對舊的平衡的破壞和新的平衡的建立，推進(jìn)了理論的重大發(fā)展。歷史上著名的狄里克萊函數(shù)就反證了周期函數(shù)不一定存在最小正周期。奇異性還往往伴隨著數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)，如方程中的換元法、數(shù)列中的拆項求和、幾何中的補(bǔ)形法等積法及數(shù)形結(jié)合思想方法，無不顯示出數(shù)學(xué)的較高技巧又神奇魅力所在。正如英國物理學(xué)家狄拉克說："上帝使用了美麗的數(shù)學(xué)來創(chuàng)造這個世界！"數(shù)學(xué)是美的，數(shù)學(xué)是美的科學(xué)。

4.協(xié)同美

數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象交互作用并按一般的思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)規(guī)律的過程。數(shù)學(xué)思維的協(xié)同美大體上可從以下兩個方面表現(xiàn)出來。 歸納和演繹的相互作用。數(shù)學(xué)中大量地需要歸納，同時也需要演繹，在許多情況下兩者互為作用的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，總是既用歸納又用演繹。盡管兩者有各自不同的特點，但演繹推理的大前提——表示一般原理的全稱判斷要靠歸納推理來提供。為了增強(qiáng)歸納推理的可靠性，不管是以一般原理作指導(dǎo)還是對歸納推理的前提進(jìn)行分析，都要用演繹推理。歸納和演繹在思維運行過程中這種辯證統(tǒng)一正體現(xiàn)了兩者之間是交互為用的。

數(shù)學(xué)之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側(cè)面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會她的美學(xué)價值和她豐富、深隧的內(nèi)涵和思想，及其對人類思維的深刻影響。如果在學(xué)習(xí)過程中，我們能與數(shù)學(xué)家們一起探索、發(fā)現(xiàn)，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會不斷深入其中，欣賞和創(chuàng)造美。