一道高考概率題的思考?xì)v程

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(安豐中學(xué) 江蘇東臺(tái) 224221)

2014年江西省數(shù)學(xué)高考理科第21題如下：

題目隨機(jī)將1,2,…,2n(其中n∈N*,n≥2)這2n個(gè)正整數(shù)分成A組和B組，每組n個(gè)數(shù)，A組最大數(shù)為a1，最小數(shù)為a2；B組最大數(shù)為b1，最小數(shù)為b2，記ξ=a1-a2，η=b1-b2.

(1)當(dāng)n=3時(shí)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)令C表示事件ξ與η的取值恰好相等，求事件C發(fā)生的概率P(C)；

這道題既考查概率的基本知識(shí)、基本方法，同時(shí)又著重考查學(xué)生的理解能力、分析能力、數(shù)學(xué)思維能力，是一道有區(qū)分度、有選拔功能的壓軸題.筆者在求解這道題、探究它的本質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了一系列的思維過(guò)程，現(xiàn)整理成文，與同行們交流，以期拋磚引玉.

1 特殊化思考

第(1)小題比較簡(jiǎn)單，本文不作研究.在第(2)小題中，事件C發(fā)生的概率P(C)是關(guān)于n的數(shù)列，為體現(xiàn)概率的數(shù)列特征，把事件C發(fā)生的概率P(C)依次記為P2,P3,…,Pn(其中n≥2)，容易求得

也即第(2)小題的結(jié)論.

2 論證思考

3 單調(diào)性思考

至此，已完成了這道壓軸題的解答，但在上述的特殊化過(guò)程中，我們還得出了Pn單調(diào)遞減，能否證明呢？筆者運(yùn)用了分析法以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

要證：Pn單調(diào)遞減，即證：當(dāng)n≥2時(shí)，Pn≥Pn+1，亦即證：

接下來(lái)再用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論.

證明當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

4 下界思考

5 數(shù)學(xué)期望思考

以上研究了ξ與η相等時(shí)概率Pn的單調(diào)性以及有界性，繼而筆者又想到研究ξ的數(shù)學(xué)期望.類似地，把ξ的數(shù)學(xué)期望依次記為E2(ξ),E3(ξ),…,En(ξ)(其中n≥2)，首先得到：

怎樣證明該結(jié)論呢？首先由

單墫語(yǔ):不斷地、持續(xù)地“思之、思之、思之、思之”，定有意想不到的收獲.當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要敢于思考、勇于探索，只有如此，我們才能有所發(fā)現(xiàn)，有所收獲.正如本文中筆者通過(guò)“以退為進(jìn)”的方法發(fā)現(xiàn)了該高考?jí)狠S題的解法，進(jìn)而又逐步論證了概率Pn的單調(diào)性，探索了Pn的有界性，發(fā)現(xiàn)并論證數(shù)學(xué)期望En(ξ)的結(jié)論.這樣的探索精神、研究方法，需要我們?cè)诮虒W(xué)中傳授給學(xué)生，培養(yǎng)出“探究型”的學(xué)生.