倩影重來 形數結合
——解2014年浙江省數學高考理科第17題有感

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(曹宅高級中學 浙江金華 321031)

翻開2014年浙江省數學高考理科試卷，迎面撲來的便是帶著淡淡清香的理科第17題，這是一道久違之后又倩影重來的探索型應用題，是全卷中一道亮麗的“風景”.于是,筆者在答題之后仍覺醇香四溢，下面就該題的常規解法、學生的易錯點、變換題解和教學建議方面談談個人的體會.

1 原題呈現

圖1

例1如圖1，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前和點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是______(仰角θ為直線AP與平面ABC的所成角).

2 解法探尋

故

3 解后反思

3.1 命制意圖及考查功能

例1的情境熟悉，背景公平，很好地體現了高考考試說明及教學指導意見的有關精神；有效地檢測了考生的數學建模和解模能力；較好地考查了考生的變量意識，即用代數的方法研究動態幾何問題；重點考查了空間中點、線、面間平行、垂直的位置關系，考查了空間直二面角內線面角的探求.

3.2 常見錯誤及成因分析

例1解題的關鍵可以歸結為建模和解模，據筆者對本題考情的調查，考生在解答過程中，可能出現的錯誤有：

(1)缺乏實際問題數學化、幾何問題代數化的建模化歸意識和基本功.

(2)缺乏解模答題方面的基本功.

在具體解答模型tanθ=f(x)的最值時，因缺乏對函數式f(x)作變形轉化的“基本功”，從而導致解題中斷.

3.3 題根溯源及變換再探

圖2

4 教學啟示

通過上面對例1的微探，我們不難體會到:盡管是一道高考試題，但所考查的還是《考試說明》及《教學指導意見》的基本要求——基本知識點、數學核心概念(如函數、變量等)、核心數學思想(如建模化歸、形數結合等)、數學應用意識.因此，在平時的教學活動中，要注重以下3個問題：

(1)繼續夯實基礎，繼續加強對數學核心概念及核心數學思想方法的教學與滲透.

加強核心概念的教學能使學生更好地抓住知識發生、發展的脈絡與源泉，抓住本質；能更有利于學生建構起較為整體化、條理化、清晰化的良好學科知識體系；能更好地提高學生的學習興趣，從而提高學生的學習成績，提升教學質量.

(2)解題教學中繼續注重通性通法，淡化特殊技巧，充分發揮典型例、習題的題根功能.

試題的命制要關注對數學概念本質的理解、數學理性思維、數學思想方法和解決數學問題的常規方法的考查(如例1中的變量法、換元法、配方法及數形結合思想等).雖說高考是一種選拔性考試，其試題具有一定的難易梯度，但大多數試題考查的還是“雙基”，有些試題直接來源于教材中的某些例、習題，或由它們經過“加工演變”而成.因此,在平時的解題教學過程中，教師如果能夠從一些典型的例、習題或最本源的數學基本概念、基本圖形、基本原理出發，采用“變式”教學，讓學生在教師有序并系統的變化中抓住題目“演變”過程中那些“不變”的東西，往往就能收到“解一題，通一類”之效果，解救學生于題海中.

(3)繼續注重數學應用意識的培養，加強建模、化歸、解模等基本功的日常教學.

依據現實的生活情境，提煉相關的數量關系建立起相應的數學模型，將現實問題化歸為數學問題再加以解決，是解應用題中的重要環節，需要教師平時加以注重，有意識地滲透于日常教學中.