年年歲歲題相似 歲歲年年意不同
——2014年浙江省數學高考理科“傳承題”評析

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(湖州市第二中學 浙江湖州 313000)

2014年高考已經落下帷幕，浙江省數學高考理科卷的命題很有特色，對學生的綜合要求較高.在許多核心知識點的考查方式上體現了命題者獨具匠心的一面，其中有不少試題的風格和2013年有很大的相似之處，解題思路也很有關聯性，筆者暫且稱之為“傳承題”，取沿襲、承接、創新之意，對比摘錄如下，與大家一起評析.

1 “傳承題”之一：三視圖題，從“截”到“拼”

例1若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖1所示，則此幾何體的體積等于______cm2.

圖1 圖2

(2013年浙江省數學高考理科試題第12題)

例2某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖3所示，則此幾何體的表面積是

( )

A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2

圖3 圖4

(2014年浙江省數學高考理科試題第3題)

評析三視圖是新課改后增加的內容，在近幾年的高考中屬于熱點問題之一.此類試題讓學生關注從局部到整體的展開形式，以三視圖、直觀圖，以及點、線、面的位置關系來幫助學生完善思維結構，發展空間想象能力，并在幾何直觀的基礎上，初步形成對空間圖形的邏輯推理能力，最終讓學生經歷“實物模型—三視圖—直觀圖”這一相互轉化的過程來認識幾何體.

例1的答案為24，該幾何體的直觀圖是直三棱柱在上面截去一個三棱錐(如圖2所示).例2的答案為D，該幾何體的直觀圖是直三棱柱和長方體的組合體(如圖4所示).這2道題有很多共通之處:首先難度上都定位為中檔題，但實際考查下來對學生來說是易錯題，另外在模型的設置上都對學生的空間想象能力提出了更高要求.不管是例1的“截”還是例2的“拼”，學生對此類“變形幾何體”的直觀認知都存在一定的難度.在實際教學中，教師可以讓學生嘗試以長方體作為載體來研究，以“切拼橡皮泥”的可操作模式來更好地獲得直觀感受.例2的設置體現了命題者對發展高中學生核心應用能力和空間想象能力的持續關注.教師若在平時的教學中注重研究，關注學生相關能力的培養，而不是盲目做題，則學生解決此類問題應該不是難事.

2 “傳承題”之二：平面向量，背景一致

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省數學高考理科試題第7題)

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省數學高考理科試題第8題)

評析平面向量是高考的必考內容之一，近幾年向量試題的出題風格相對比較靈活，入口寬，深入難，其解法主要有2個途徑：一是側重幾何表示的幾何法;二是側重坐標表示的代數法.

例3和例4都考查了向量的同一個幾何背景，即平行四邊形法則及相關衍生性質.例3的答案為D，可以巧用極化恒等式來求解(其解法甚多，也多見于各種文章，具體過程不再贅述)，此種解法可充分體現數形結合的“精妙”.例4的答案為D，其中a+b，a-b，a和b的幾何意義是平行四邊形中的邊和對角線.例4是平行四邊形定理的一個應用，即

max{|a+b|2,|a-b|2}.

從解答中可以發現，例4的設置體現了命題者對平面向量這一經典數學概念的重視，正如章建躍教授所說：高中平面向量實質上主要是幾何的應用.

3 “傳承題”之三：線性規劃，“參數”依舊

(2013年浙江省數學高考理科試題第13題)

(2014年浙江省數學高考理科試題第13題)

評析線性規劃是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支,高中數學的線性規劃實際是非常特殊的多元函數在簡易定義域上的一個簡單性質——求最值的問題.教材的定位是讓學生初步了解運籌學的部分內容，為學習高等數學打下基礎，同時培養了學生數形結合、轉化化歸的基本數學思想.這部分內容因其出題靈活，同時易與其他知識點交匯而在高考中越來越受到重視.

圖5

4 “傳承題”之四：壓軸填空，殊途同歸

(2013年浙江省數學高考理科試題第17題)

圖6

例8如圖6，某人在垂直水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值______.

(2014年浙江省數學高考理科試題第17題)

評析例7和例8從考點來說都是最值問題.雖然從題目的形式上來說完全是2道題，但核心的解題思路其實是一致的，即最終通過相同的化歸轉化方式，變為求二次函數的最值問題.

例7表面看是平面向量問題，實際上

從而

通過換元得到最大值為2.

例8添加如圖6所示的輔助線，可得

5 “傳承題”之五：函數大題，永恒旋律

例9已知a∈R，函數f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)當x∈[0,2]時，求|f(x)|的最大值.

(2013年浙江省數學高考理科試題第22題)

例10已知函數f(x)=x3+3|x-a|(其中a∈R).

(1)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分別記為M(a),m(a)，求M(a)-m(a);

(2)設b∈R，若[f(x)+b]2≤4對x∈[-1,1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

(2014年浙江省數學高考理科試題第22題)

評析高考函數大題可以說是歷年必考的重點題之一，并且因為其綜合性強、形式多樣、難度較大，往往是考生心中的“夢魘”.要抓好函數大題，必須學會抓住條件，認真分析、處理各知識點間的聯系，并且要熟練掌握含參討論、數形結合、轉化回歸、導數求值、函數性質等基本數學思想和相關方法性質.

例9和例10從結構上看是同一個三次函數模型，這是高中數學的典型模型，能很好地考查學生的基本函數解題素養.實際上，近3年的浙江理科數學壓軸題均為三次函數含參型，可以看出命題者對此類題有所偏好.此外，這2道題在結構上更包含了一個共同元素：絕對值，差別是例9出現在了求答部分，而例10放在了題干部分，可以說是一脈相承、交相輝映，當然解法上必然也有很多相似之處.例9的2個小題層次性明顯，第(2)小題比較繁瑣，本質上是3個層次結構的含參討論問題；而例10切入難度比例9更大，含參討論出現在第(1)小題(具體求解略)，但同時作為第(1)小題的難度“補償”，第(2)小題若能轉化成“對-2-b≤f(x)≤2-b恒成立”，則可發現“M(a)-m(a)=4”這個關鍵點，結合第(1)小題的結論稍作討論問題就迎刃而解.從這2道題的對比可以發現命題者在重、難點把握和平衡上的“真功夫”，也真正體現了匠心獨具的一面.

總之，高考命題是一項非常嚴肅、復雜、技巧性強的系統工作，其本意是要考查廣大應考生的基本素養和靈活應用水平.作為一線教師，若能從高考的新趨勢、新特點出發，做好相關研究工作，鉆研教材，鉆研新的學法、考法，從高考的考法中捕捉一些特色、一些傳承，進而領悟一些精髓，則必然會給我們的教學帶來諸多裨益.