題不在小 有容乃
——多視角賞析2014年浙江省數學高考文科第16題大

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(魯迅中學柯橋校區 浙江紹興 312030)

2014年浙江省高考時已過遷，但留給我們教學一線教師的思考還遠未終止.筆者通過對2014年浙江省數學高考文科第16題的研究，尋找該問題解決的多種途徑，揭示其承載的數學思想方法.

例1已知實數a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值是______.

(2014年浙江省數學高考文科試題第16題)

本題設計力求情境熟、入口寬、方法多，并且貼近學生的實際，這符合浙江省數學高考“從學科整體意義和思想價值立意，注重通性通法”的要求.盡管是一道填空題、一道高考小題，可小題不“小”，它考查了函數與方程、函數與不等式、直線與圓位置關系等知識的運用和轉化，考查了函數與方程思想、數形結合思想、轉化與化歸思想等核心思想方法，是一道難得的高考“大”題，具有很強的導向作用.以下是筆者多視角的解答探求，把求最值的精彩“形與數、動與靜、放與縮、等與不等、常量與變量、一般與特殊、代數與幾何”演繹得淋漓盡致.

視角1結合填空題的解題策略，可知a取最大值的必要條件是a>0，故當且僅當b=c<0時，a取到最大值，則

a+2b=0，a2+2b2=1,

視角2觀察已知條件的結構特點，借助于等量關系求變量的最值，容易想到利用基本不等式構造不等關系，這也是解決此類問題的常用方法.

由a+b+c=0,a2+b2+c2=1,得

a=-b-c，1-a2=b2+c2.

視角3從方程的視角出發，該題是解的存在性問題.據此可將已知方程轉化為b+c=-a,2邊平方得

b2+c2+2bc=a2，

從而

即

從而

由三角函數的有界性，知

視角7構造向量m=(1,1),n=(b,c),則

于是

m·n=b+c=-a.

又|m·n|≤|m||n|，從而

由此可見，這是一道“給力”的高考試題，是命題專家潛心研究、匠心獨運的結晶.試題淡中見雋，簡約而不簡單，散發著其獨特的魅力.有人說:最好的習題集是錯題集，最好的試題是高考試題,每年高考之后，總會留下許多經典之作，值得仔細地欣賞與探討.如何發揮其潛在的教學價值，最大限度地提升課堂教學效率，這無疑是我們一線教師必須思考的問題.