揭示數學本質 妙解浙江考題

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(蘭溪市教育局教研室 浙江蘭溪 321100)

2014年浙江省數學高考塵埃落定，考生普遍反映試題背景新穎，題目靈活，運算量大，考試時間不夠.其實這恰恰暴露了當下數學教學中注重題海戰術、僵化基礎、固化思維、忽視能力、淡化思想的教學現狀.讓讀死書、讀書死、死讀書、書讀死的學生在一場思維的“盛宴”中原形畢露，無處遁形.如果教師在平時的教學中注重對數學核心概念的本質進行探究，對學生思維的盲點進行分析討論，對數學能力進行精心培養，對數學思想進行強化訓練，那么2014年浙江省數學高考試題中的許多題目可以達到“秒殺”，為考生節約寶貴的時間.

“秒殺”其實就是解題中把數學結果快速看出來的另一種有力的表述，它體現了近幾年浙江省數學高考試卷“常規而不常見、豐富而不堆砌、創新而不偏倚、簡約而不簡單”的鮮明特點，提出了“重思維、重本質”的數學教學理念，在數學課堂教學中要求教師關注基礎知識、關注學生實際、關心實際應用.它凸顯數學核心知識，揭示數學概念本質，注重學生學習能力，強化數學建模思想，強調數學思維特點.下面筆者以2014年浙江省數學高考部分試題為例，探究“秒殺”解法：

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A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省數學高考理科試題第8題)

“秒殺”工具向量加減法運算的幾何意義.

“秒殺”解法a+b和a-b是以a,b為鄰邊的平行四邊形的2條對角線.

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)

max{|a+b|2,|a-b|2}.

本題的核心知識是平行四邊形的性質，本質是線性空間為內積空間的充要條件.向量加減法的幾何運算是向量最基本的運算工具之一，也是向量一章的核心內容，在高考中常考常新.2013年考查極化恒等式，2014年考查平行四邊形的對角線性質，都是這一核心概念的外化表現.本題的解法凸顯了數學核心知識的應用，同時也讓數學的圖形之美得到了充分發揮.

(2014年浙江省數學高考理科試題第13題)

“秒殺”工具線性規劃的端點.

線性規劃的概念本質是可行域端點值對線性目標函數的影響.本題牢牢把握住這一本質特征，讓解法變得簡單快捷，揭示數學概念本質特征,體現了數學非同一般的簡潔之美.

例3在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人，每人2張，則不同的獲獎情況有______種(用數字作答).

(2014年浙江省數學高考理科試題第14題)

“秒殺”工具相同元素和不同元素混排問題模型.

學生的學習能力培養和不斷強化，一直是數學教育的終極目標，教學的所有手段都應該圍繞這一目標展開.而學生學習能力的培養又有一個內化的過程，只有當學生能夠自發地運用所學知識技能和方法去解題時，教師的使命才算真正完成.本題解法1考查了學生分類討論的能力，解法2考查了學生等價轉化的能力，學生只有真正理解了數學的基本原理，掌握了解決排列組合問題的常用手段和方法，才能快速得到答案.本題解法注重考查學生學習能力，也充分體現了數學的應用之美.

例4如圖1，某人在垂直水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值______.

(2014年浙江省數學高考理科試題第17題)

“秒殺”工具構造長方體，線面角、面面角.

圖1 圖2

“秒殺”解法如圖2，構造長方體，則AP和面ABC所成最大的角即為面ACE和面ABC所成的角，易畫出面ACE和面ABC所成角的平面角為∠EFB,由二面角知識可得

本題還可以進一步推廣到一般情形，得到下面結論：

結論設面ACE和面ABC所成角的平面角為θ,∠ECB=α,∠ACB=β.

(2)tanθ=sinβtanα.

應用題以華美的姿態在2014年數學高考中重新回歸，給人以驚艷的感覺；與立體幾何的完美結合，又讓人既愛又恨.在變化中尋求不變，在運動中蘊含不動，線面角、面面角完美結合，強化數學建模思想的應用，不由地讓人心生感嘆：數學建模，真是一場華麗的盛宴！

圖3

(1)已知直線l的斜率為k，用a,b,k表示點P的坐標;

(2)略.

(2014年浙江省數學高考理科試題第21題)

這里我們只給出第(1)小題的“秒殺”方法.

“秒殺”工具1類比過切點的圓的切線方程.

“秒殺”解法1設P(x0,y0),則直線l的方程為

(1)

(2)

結合式(1),式(2)及點P在第一象限，得

“秒殺”工具2隱函數求導.

“秒殺”解法2方程2邊關于x求導得

設P(x0,y0),代入得

下同解法1.

本題解法強調學生數學思維的特點，講究數學知識融會貫通，成為一個整體.即使再多的字母，也無法擋住我們“秒殺”的步伐，天馬行空的想象為思維插上飛翔的翅膀.數學就是讓我們感受快樂之美取之不盡的源泉.

“秒殺”讓數學變得有趣、生動和靈活；“秒殺”讓數學個性鮮明，內容豐富，充滿活力；“秒殺”讓數學變成能力的舞臺、思維的盛宴、思想的狂歡；“秒殺”讓我們愛上解題，愛上數學，惟愿“秒殺”之樹常青，“秒殺”之花常開，“秒殺”之果常甜.就讓“秒殺”成為改變我們教學觀、學習觀的第一只重拳，成為數學新課程改革的第一把匕首投槍，給高中數學教學以正確的導向，給師生留下更多的思考時間和空間.