感悟高考 突破高考 引領高考
——2014年安徽省數學高考理科第18題閱卷感悟

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(淮北市第一中學 安徽淮北 235000)

1 背景分析

2014年6月10日～19日，筆者有幸參加了安徽省網上閱卷工作，所閱的是數學理科卷第18題(即文科卷第20題).從閱卷結果來看，本題安徽省理科平均分約4.5分，文科約2.1分.在閱卷之余，筆者思考：面對這樣的答題情況，教師該如何教學？由此，筆者對學生的答題情況進行了分析，并把學生所犯的錯誤進行了歸納，以期為我們的教學提供借鑒與幫助.

2 試題回顧

例1設函數f(x)=1+(1+a)x-x2-x3(其中a>0).

(1)討論f(x)在其定義域上的單調性；

(2)當x∈[0,1]時，求f(x)取得最大值和最小值時x的值.

(2014年安徽省數學高考理科試題第18題)

解(1)f(x)的定義域為(-∞,+∞)，對f(x)求導得

f′(x)=1+a-2x-3x2.

令f′(x)=0，得

方法1可知f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).當xx2時,f′(x)<0；當x10,從而f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調遞減，在(x1,x2)上單調遞增.

方法2對x,f′(x)和f(x)進行討論(如表1所示)：

表1 對x,f ′(x)和f (x)的分析

由表1可知：f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調遞減，在(x1,x2)上單調遞增.

(2)因為a>0，所以x1<0,x2>0.

①當a≥4時，x2≥1.結合第(1)小題知，f(x)在[0,1]上單調遞增，從而當x=0時，f(x)取得最小值，當x=1時，f(x)取得最大值.

本題是函數與導數問題的綜合題，緊扣考綱要求，主要考查了三次函數的圖像與性質、導數運算及其應用、函數單調性及最值的求法，以及函數與方程的思想、轉化化歸的思想和分類討論的思想.縱觀安徽省近幾年的考題，在函數與方程的考查中，多以有理函數、指數、對數函數、三角函數等有關的參數問題為主，考查導數在解決函數單調性、極值、最值等問題中的應用，注重基本思想和基本方法的考查.本題的難度不大，但是從閱卷情況來看，學生得分情況卻不容樂觀,主要在于求導不正確、計算與化簡錯誤、審題不清等方面.

3 考生出現的錯誤及其分析

從閱卷情況來看，學生的錯誤主要有以下幾種類型：

(1)方法性錯誤.

有的考生直接任取x1

(2)函數定義域求錯.

有些考生受思維定式的影響，沒有認真看題，見到a>0就誤以為函數的定義域是(0,+∞)，在判定函數單調性及解決第(2)小題時，把a的范圍當成了R來討論，于是就出現了對Δ=4+12(a+1)=12a+16進行討論，這是學生審題不清所致.在平時的教學中，教師應該增強學生的審題意識.筆者在教學中發現總有一部分學生習慣于剪下題目貼到筆記本上，這其實是一種很不好的學習習慣.筆者認為記筆記時把題目手抄一遍有利于學生審題能力的培養.

(3)求導錯誤.

常見的有以下幾種錯誤求導方式：

①f′(x)=1+(1+a)-2x-3x2=2+a-2x-3x2；

②f′(x)=(1+a)-2x-2x2=1+a-2x-2x2；

③f′(x)=1+a-2x-3x=1+a-5x；

④f′(x)=1+a-x-x2；

⑤f′(x)=1+a-2x-x2；

⑥f′(x)=1+a-2x-3x2=-(3x2+2x+1-a)；

等等.

本題考查了最常用的冪函數求導公式，并不難掌握，平時教學中也是經常強調，但學生仍然犯這種低級的錯誤：一方面是緊張的考試環境，導致學生思維“短路”；另一方面也給我們的復習指導找到了方向，這個方向就是高考前期要回歸課本，要追本溯源，多看看教材中的基本概念、基本公式、基本定理以及知識的產生過程.

(4)方程f′(x)=1+a-2x-3x2=0的根求錯.

一些學生采用配方法解方程1+a-2x-3x2=0或不等式1+a-2x-3x2<0(>0),但是在配方時出現一些錯誤，常數配錯或符號寫反.

還有些考生對求根公式記憶模糊不清、公式代入錯誤、化簡不正確等，比如閱卷中發現了以下結果：

化簡時沒有注意到正負號的變化規律.

代入公式時沒有弄清楚二次項、一次項及常數項.若考生能夠將方程式按照x的降冪排列，再代入公式，則可以避免該類錯誤.

錯把二次函數頂點的縱坐標當成了求根公式.

化簡時出錯.

或

根的判別式代入錯誤.

從閱卷情況來看，相當一部分考生對最后的結果都沒有化簡，真正能把結論化簡、問題完成的少之又少.

通過凡此種種的錯誤，我們發現：學生的基本運算能力有待于進一步提高，學生的思維能力相對于計算能力而言已經達到了一定的水平，制約學生得分的關鍵因素仍然是運算能力！

(5)語言表述不規范.

值得說明的是，單調區間在x1,x2一端寫成開區間或閉區間沒有關系,寫成f′(x)>0(<0)或f′(x)≥0(≤0)也不作追究.

(6)單調區間求錯.

單調區間寫錯的考生主要有2種類型：

①考生是把單調區間寫反了，主要是因為考生在解不等式f′(x)<0時進行了以下的運算：

由f′(x)<0得

1+a-2x-3x2<0,

即

3x2+2x-(a+1)>0,

解得(-∞,x1)∪(x2,+∞).由于受到3x2+2x-(a+1)>0的影響，而忽視了前提是f′(x)<0，于是就得到遞增區間為(-∞,x1)和(x2,+∞)，同時得到遞減區間為(x1,x2)，這是學生解題習慣所致的錯誤.

負號寫到分母上去了，這樣x1就寫成了x2！

由于第(1)小題的計算錯誤，使得很多考生在第(2)小題中的得分很低，甚至不得分.如在第(1)小題中，考生將f′(x)的2個零點寫成

則得到當a>0時，

從而f(x)在x∈[0,1]上單調遞增，這種情況下考生是得不到分的.

再如：有考生求導錯誤，求得f′(x)=2+a-2x-3x2，在接下來的做題中，思路和方法都和原問題相同，只是計算的數據錯誤，按照評分要求，考生只能得到思路分，很可惜.

一部分學生在第(1)小題正確解方程的基礎上，也能夠在第(2)小題中拿到一定的分數.這時犯錯的考生主要表現在以下幾個方面：

①討論不夠準確.沒有注意到x1<0，x2>0，從而錯誤地對x1,x2與0的大小關系進行討論.

③在回答問題時沒有注意到題目所問.要求的是“取得最大值和最小值時x的值”，而不是函數的“最大值和最小值”！

④語言表述上不夠規范.如f(x)取得最小值時x=1寫成“xmin=1，f(x)取得最小值”或“最小值為f(1)min”.

⑤沒有對a=1進行單獨討論.

還有些考生書寫混亂：數學答題強調有理有據，但總有部分考生隨心所欲，天馬行空，書寫沒有層次感，嚴重缺乏邏輯性，不利于考生有條理地思考與解答，也不利于閱卷教師采分.

4 幾點建議

針對以上問題，筆者認為在日常教學中，教師要做到：

(1)常規工作做扎實，查漏補缺.在平時的教學中，學生一聽就會的問題，可以在習題課上板書1～2個題目，課后適當留下練習，讓學生當作測驗去做，及時認真批改作業，并根據學生做的情況，對于學生出錯較多的問題集中點評.

(2)給學生足夠的時間與愛.對學生提出的問題及時解答，并與其一起討論，激發學生對數學的求知欲及興趣，為學生解疑答惑.

(3)有效措施助力高考：

①回歸課本.近幾年安徽省的考題區分度較大，針對數學學科的特點，教師不可能靠猜題去打高考這場仗，而應該回歸課本.這幾年大綱強調課本，2013年、2014年的試題也充分反映了這一趨勢.學校可以給每個教師配一套人教版和滬科版的教材，教師講新課時，同步把課后一些較好的題目進行講解.

②專項專攻.如晚自習之前利用一節課只考小題或只有大題，及時面改.這樣學習的效果較好，或者盡量在晚自習前，找學生到辦公室做幾個題目，有利于提高學生的學習積極性和做題的正確率.

③大膽創新，引進先進經驗.高中數學重在學生能力的培養，因此教師應該多教會學生如何分析問題、簡化問題，講課時可以讓學生展示一下題目的思路.

另外，教師也可以自己大膽地創題，多走出去學習和交流.

總之，機會總是留給有準備的人.引領高考，需要我們做一個有理想、有目標、有膽識、勇于學習、努力鉆研的有心人.