2014年遼寧省數學高考理科第16題的探究

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(撫順市第一中學 遼寧撫順 113001)

多元函數的最值問題一直以來是數學高考卷中檢驗考生思維能力和綜合素質的重要素材,并在考查力度上有加強、加深、加活之態勢.縱觀2014年高考卷中的多元函數最值問題，其中遼寧省數學高考理科第16題最具有代表性，其橫向入口較寬，縱向難度較大,技巧性、綜合性都很強.筆者擬從“一題多解，尋思百通”的解題角度，多方位探究此題，以饗讀者.

其中，xi和xj分別為區域i、j的能源強度數值；n表示系統中空間單位的數量；wij為0～1空間權重矩陣。Moran's I指數的取值范圍是-1～1，大于0表示正自相關，即高高相鄰、低低相鄰；小于0表示負自相關，即高低相鄰；接近于0，表示不存在空間自相關。

1 一題多解

1.1 從不等式角度分析

不等式是處理關于多元函數最值問題的一把利器，而“拆、湊、變、造”則是不等式的解題靈魂,具有一定的技巧性和難度，從這4個切入點入手,可還原問題的廬山真面目.

點評上述2種三角換元法思路自然、簡潔、流暢，正如克萊因所說：一個精彩巧妙的證明,精神上近乎一首詩.

解法4(化齊次法)設|2a+b|=t,則

(2a+b)2-3b(2a-b)=

當|2a+b|最大時，

解得

解法2(柯西不等式)由

4a2-2ab+4b2-c=0,

可推得

2c=3(a+b)2+5(a-b)2,

從而

(2)當t2≠c時，

當|2a+b|最大時，

得

以下同解法1.

1.2 從方程思想角度分析

方程是聯系未知變量和已知變量的紐帶，通過方程的某種特征量將未知量與已知量間的相互關系顯性化，從而尋找到解決問題的辦法.考慮到已知條件是二次式，設想：能否構造某個二次方程，借助二次方程的特征量Δ來解決問題？

解法3(判別式法)令2a+b=t，則

b=t-2a，

代入4a2-2ab+4b2-c=0中，得

4a2-2a(t-2a)+4(t-2a)2-c=0,

即 24a2-18at+4t2-c=0.

(1)

方程(1)是關于a的二次方程，且有實根，從而

Δ=182t2-4·24(4t2-c)≥0，

可得

即

以下同解法1.

c= 4a2-2ab+4b2=

從而

整理得

4(t2-c)a2-2(t2+2c)ab+(4t2-c)b2=0.

此方程是關于變量a,b的齊次方程，現將該方程看成關于a的方程，則

上述研究表明已經實現了鋼筋計和應變計在PHC管樁生產過程中的埋設工藝，而在PHC管樁樁身表面刻槽預埋傳感光纖的埋設工藝雖然具有較高的成活率，但該方法因破壞樁身表面及樁身與傳感光纖的變形傳遞而受到質疑，因此，對光纖傳感技術在PHC管樁生產過程中的應用進行系統性研究有待進行.

Δ= [-2(t2+2c)]2-4·4(t2-c)(4t2-c)=

-60t4+96ct2≥0，

從而

即

解得

以下同解法1.

有些數學問題，由于條件與結論中的變量關系在形式上較為隱蔽，實質性的邏輯聯系不易從表面形式上發現，即使看出它們的聯系，也由于表面形式的復雜而不易直接求解.這時可進行適當地變量代換，把問題的條件和結論作形式上的轉換，這樣就容易揭示出它們之間的內在聯系，把問題化難為易，化繁為簡.

“四門斗”坐穩之后，應該及時打頂，促使植株重新抽枝。等待“對茄”下新生枝條生長到12 cm左右后及時將上邊茄子采收，并去老枝。茄子生長到采收標準后，應該及時采收，避免造成墜秧。當外界溫度持續維持在15℃以上，可以加強通風。通過連續一周的通風鍛煉，選擇晴朗天氣將大棚膜揭去，增加光照強度。同時還要做好大棚膜揭去地灌溉工作，滿足茄子后期生長水分所需。

1.3 從換元引參角度分析

點評化齊次法實質上是將問題轉化為準二次方程問題，雖形散，但神似判別式法.

解法7(拉格朗日數乘法)把題目中的c看成常數，將|2a+b|最大轉化為(2a+b)2最大.作拉格朗日函數

于是

此時

即

整理得

4a2-12ab+9b2=0,

即

(2a-3b)2=0，

得

2a=3b.

解法6(三角換元法2)由

對照組患者給予常規護理，內容包含健康教育、飲食指導、用藥干預等，實驗組則是在對照組基礎上配合心理護理，護理方法如下：

4a2-2ab+4b2-c=0,

可推得

2c=3(a+b)2+5(a-b)2,

(3)

(4)

在式(3)中，令

代入式(4)，得

此時

解得

以下同解法1.

檔案管理及保護部門的工作人員專業素養較差，檔案管理部門在進行檔案管理及保護時，沒有選取有專業能力的工作人員，招聘的工作人員并沒有相關的工作經驗也沒有學習過專門的檔案管理及保護知識。這樣的現象不僅是對檔案保護的不負責，也是對檔案信息安全的不負責。

5.構建起兒童心理咨詢室。逐步完善起留守兒童心理咨詢和輔導檔案，聘請專業講師為學生們展開心理輔導，邀請張掖市心理衛生協會的理事長王大順教授擔任學生們的心理輔導員。

1.4 從高觀點角度分析

解法5(三角換元法1)由已知得

L(a,b)=4a2-2ab+4b2-c+λ(2a+b)2,

令

La=8a-2b+4λ(2a+b)=0，

Lb=-2a+8b+2λ(2a+b)=0,

由此可得2a=3b，代入4a2-2ab+4b2-c=0，得c=10b2,從而

點評拉格朗日數乘法是處理在限制條件下關于最值問題的一種高觀點做法，此法運作機械，容易上手，在自主招生和各類競賽題中備受青睞.

由圖6可知，生姜蛋白酶處理組干腌羊火腿的肌漿蛋白隨著風干過程的延長發生了降解，且降解程度較對照組和獼猴桃蛋白酶處理組。分子量為 62.0 ku處的蛋白片段逐漸變弱，并下面出現了小的條帶；45.0 ku處的蛋白條帶逐漸變弱甚至消失；26.0 ku，20.0 ku，14.4 ku附近條帶有所增加；說明生姜蛋白酶可以對干腌羊火腿肌漿蛋白產生降解作用，并且降解程度較獼猴桃蛋白酶強。

2 尋思百通

一般而言，在一個問題系統中，未知與已知必存在著某種內在的聯系，有時這種聯系比較自然和顯性，從而求解問題相對比較順暢、自然一些；有時這種聯系比較晦澀和隱性，從而求解問題也相對坎坷些.回頭再看題目,可以把其分為2個問題.

問題1對于c>0，當非零實數a,b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時，3個變量a,b,c之間有何關系？

生物質顆粒燃料通常是指由經過粉碎的固體生物質原料通過成型機的壓縮成為圓柱形的生物質固體成型燃料，直徑≤25mm，長徑比≤4，常見直徑尺寸有6，8，10mm。成型顆粒燃料密度明顯增大，體積明顯縮小，便于運輸和貯存；同時，體積小，與空氣接觸面積大，利于燃燒；規格一致，便于實現自動化輸送和燃燒；可作為工業鍋爐、住宅區供暖及戶用炊事、取暖的燃料[7]。

實際上，筆者是想通過文科試題拆分后的問題1來追溯它的前生，即2011年浙江省數學高考理科第16題:設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是______.細心的讀者會發現，如果把這道題等號右邊的1看成c，即可改編為2014年遼寧省數學高考文科第16題，而理科題是在文科題的基礎上再作點綴.通過這些題目的微妙關系，再一次為我們重視真題、回歸真題、吃透真題敲響警鐘.