一道中考格點(diǎn)題解法探求

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(溫州第十七中學(xué) 浙江溫州 325028)

格點(diǎn)題是浙江省湖州市近幾年數(shù)學(xué)中考試題的一大特色，其在數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)方面有著積極的導(dǎo)向作用，試題本身也具有較高的研究價值.筆者擷選2013年浙江省湖州市數(shù)學(xué)中考試題中的格點(diǎn)題與大家共賞.

圖1

原題呈現(xiàn)

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A．7 B．14 C．24 D．28

(2013年浙江省湖州市數(shù)學(xué)中考試題)

1 解法舉例

1.1 構(gòu)圖法

在解決問題之前先來研究拋物線上橫坐標(biāo)間距相同的點(diǎn)的縱坐標(biāo)所具有的特征.

引理

點(diǎn)(xi,yi)(n取正整數(shù))是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖像上的點(diǎn)，若有x2-x1=x3-x2=x4-x3=…=xi+1-xi=…=d，設(shè)Δyi=yi+1-yi，則Δyi+1-Δyi=2ad2.

證明Δyi+1-Δyi= (yi+2-yi+1)-(yi+1-yi)=

(xi+2-xi+1)[a(xi+2+xi+1)+b]-(xi+1-xi)[a(xi+1+xi)+b]=

d[a(xi+2+xi+1)+b-a(xi+1+xi)-b]=

d[a(xi+2-xi+1)+a(xi+1-xi)]=d(2ad)=2ad2.

特別地，當(dāng)d=1時，Δyi+1-Δyi=2a，即當(dāng)橫坐標(biāo)每增加1個單位時，縱坐標(biāo)的增量每次增加2a，是一個定值[1].

再看試題，如圖2，先研究過點(diǎn)O(0，0)，D(3，3)的開口向下且頂點(diǎn)也落在格點(diǎn)上的拋物線，可分成2類討論：

(1)當(dāng)拋物線與OB的2個交點(diǎn)位于對稱軸的2側(cè)時(以點(diǎn)O，D為例)，此時對稱軸有2種可能：

①對稱軸為直線x=1.如圖2作出點(diǎn)D與O關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)D′和O′，則DD′>OO′，這與拋物線開口向下矛盾，因此，以直線x=1為對稱軸，過點(diǎn)O(0，0)，D(3，3)的開口向下且頂點(diǎn)也落在格點(diǎn)上的拋物線不存在.

②對稱軸為直線x=2.如圖3所示，設(shè)此時過點(diǎn)O，D，D′，O′的頂點(diǎn)為格點(diǎn)、開口向下的拋物線的頂點(diǎn)為E(2，k)，則它們的縱坐標(biāo)如表1所示：

表1 格點(diǎn)O，D，E，D′，O′的對應(yīng)值

由引理可知，k-6=6-2k，解得k=4,其中二階增量2a=-2,于是a=-1,此拋物線方程為y=-(x-2)2+4.

(2)當(dāng)拋物線與OB的2個交點(diǎn)位于對稱軸的同側(cè)時(仍以點(diǎn)O，D為例).

綜合(1)(2)可知符合題意的拋物線共有24條.故選C.

1.2 待定系數(shù)法

假設(shè)符合試題條件的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m，k)，則拋物線解析式為y=a(x+m)2+k.以過點(diǎn)O，D的拋物線為例，將O(0，0)，D(3，3)代入,得y=a(x+m)2+k,從而

通過計算可得符合題意的t和(-m,k)對應(yīng)值如表2所示：

表2 t和(-m,k)的對應(yīng)值

由表2可知，符合條件的拋物線條數(shù)為2+3+3+4+4+3+3+2=24.故選C.

2 解后語

本題既可以通過形的特征來構(gòu)圖解決，也可以利用數(shù)的角度分析求解，2種解法各有特色.第1種解法利用構(gòu)造基本圖形法來求解需要了解“引理”這一性質(zhì)，學(xué)生在利用構(gòu)造圖形解題時常忽視2個與OB的交點(diǎn)位于對稱軸同側(cè)這種類型，往往容易錯選成B；第2種解法可以避免按對稱軸分類不全的情況，同時也不需要“引理”的鋪墊，但計算較為繁雜，如果中考中不允許使用計算器，較浪費(fèi)時間；在允許使用計算器的地區(qū)，學(xué)生可以利用計算器的函數(shù)生成數(shù)字表格功能進(jìn)行列表.此外，也可以將2種解法結(jié)合解決本題，如先用解法2分析出經(jīng)過點(diǎn)O，D的拋物線，再按解法1的方法構(gòu)造出基本圖形，結(jié)合平移等方法亦可分析出正確結(jié)果.總體而言，本題在中考中對學(xué)生函數(shù)與格點(diǎn)綜合分析能力要求較高，而作為課外探究學(xué)習(xí)素材更有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力，拓寬學(xué)生問題解決的視野.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 葉茂恒.一道中考題解法新探[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2010(6):57-58.