解決含參恒成立問題的3種境界

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(浙江師范大學附屬中學 浙江金華 321004)

含參恒成立問題是函數中最常見、也是最復雜的一類問題，綜合性強，變化多，對數學邏輯思維能力、等價轉化能力和運算能力都有極高的要求.解決時往往找不到突破口，難以下手，或是找不對方向，常走彎路.

此類問題最基本的解決思路是最值轉化，把問題轉化為求某一函數在區間上的最大(或最小)值.導數法是解決該類問題有效的途徑之一，但往往不是一次求導就能解決的，需要多次求導或利用導數的意義加以判斷，更有甚者是拋開導數，直接利用“反客為主”法求解.

歸結起來，解決此類問題有以下3種境界.

境界1

求導“一站到底”

利用函數的導數判斷函數的單調性與最值，從而求出參數的取值范圍.有時一次求導就能判斷，有時需要多次求導，逐層判斷單調性，稱之為“一站到底”.

例1

關于x的不等式ex≥1+ax對x≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

分析

由題意，問題等價于不等式ex-ax-1≥0在[0,+∞)上恒成立.

設函數f(x)=ex-ax-1，x∈[0,+∞)，求導得

f′(x)=ex-a，

又x∈[0,+∞)，得ex≥1，從而

(1)當a≤1時，f′(x)=ex-a≥0，即f(x)=ex-ax-1在(0,+∞)上單調遞增，因此當x∈[0,+∞)時，fmin(x)=f(0)=0．

(2)當a>1時，由f′(x)=0，得x=lna>0，從而f(x)=ex-ax-1在(0,lna)上單調遞減，在(lna,+∞)上單調遞增.又f(0)=0，于是當x∈(0,lna)時，f(x)

綜上可得，實數a的取值范圍是a≤1．

例2

關于x的不等式ex≥1+x+ax2對x≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

分析

由題意，問題等價于不等式ex-ax2-x-1≥0在[0,+∞)恒成立．

設函數f(x)=ex-ax2-x-1，x∈[0,+∞)，求導得

f′(x)=ex-2ax-1，

設g(x)=ex-2ax-1，x∈[0,+∞)，則g′(x)=ex-2a,又x∈[0,+∞),得ex≥1,從而

由上面2個例子可以看出，函數變化看導數，難分難解再追蹤，函數零點或難求，導數意義仍可用！

境界2

借助高數方法

含參恒成立問題經常采用的另一種解決辦法是分離變量，最值轉化.但遇到比較復雜的問題，完全變量分離后求函數最值仍會遇到一些困惑，最常見的是最值點的函數值沒有意義，若采用先猜想后證明的辦法加以解決則比較復雜，若采用高等數學中的方法，則可以很快解決.最為典型的是利用洛必達法則求解.

洛必達法則：設函數f(x),g(x)滿足：

(2)在a附近的去a區域內，f′(x),g′(x)都存在，且g′(x)≠0；

例3

關于x的不等式ex≥1+x+ax2對x≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

分析

當x=0時，不等式恒成立，故a∈R．

設g(x)=(x-2)ex+x+2，則g′(x)=(x-1)ex+1，再設h(x)=(x-1)ex+1，則h′(x)=xex.當x>0時，h′(x)=xex>0，可得h(x)=(x-1)ex+1在(0,+∞)上單調遞增，即

h(x)>h(0)=0.

由此可知g(x)=(x-2)ex+x+2在(0,+∞)上單調遞增，即g(x)>g(0)=0，因此當x>0時

境界3

反客為主，因式分解

有時含參問題不能徹底分離變量，用逐次求導方法又不能順利解決，需要變換思維角度，變更主元，反客為主，將不等式視為關于參數的一元二次不等式．

例4

對任意x>0,關于x的不等式

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0

恒成立，則實數a=______．

(2012年浙江省數學高考理科試題)

分析

一般思路是將不等式化為

(a-1)x3-(a2-a+1)x2+x+1≥0

對任意x>0恒成立，由三次函數的性質，可知a>1，故只要求

f(x)=(a-1)x3-(a2-a+1)x2+x+1

在x∈(0,+∞)上的最小值即可．

對f(x)求導，得

f′(x)=3(a-1)x2-2(a2-a+1)x+1,

令f′(x)=0，得

3(a-1)x2-2(a2-a+1)x+1=0.

至此，學生無法順利求解下去，用導數方法很難求出f(x)在x∈(0,+∞)上的最小值.也就是說，利用導數法解決此類含參不等式恒成立問題會遇到障礙．

換一種角度思考，若將不等式變形為

[ax-(x+1)][ax-(x2-1)]≤0，

則由x>0，上式可化為不等式

[a-h(x)][a-g(x)]≤0

對x>0恒成立，故a-h(x)與a-g(x)異號或其中一個式子為0.又由h(x)=g(x)且x>0，可得x=2．

此類問題還可以進行各種變化：

(1)若b為常數，f(x)=kx+m(k≠0)，則

[a-(kx+m)](a-b)≤0

恒成立，即為一般含參一次不等式恒成立；

(2)若f(x),g(x)均為一次函數，則

[a-f(x)][a-g(x)]≤0，

即構造出二次含參不等式恒成立問題；

(3)若f(x)為一次函數，g(x)為二次函數，則[a-f(x)][a-g(x)]≤0，即構造出三次含參不等式恒成立問題．

繼續這樣的構造，變換函數形式，還可以構造出一系列含參恒成立問題(此處不再贅述)．