一道高考模擬題的解法探究和溯源拓展

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(惠貞書院 浙江寧波 315016)

數學課本中，很多習題都有很深的背景，有進一步拓展其數學功能、發展功能和教育功能的可行性，教學中應盡力尋找高考題、模擬題在課本中的“影子”，充分挖掘課本習題的潛能，以激發學生的潛力．

本文通過對2014年浙江省寧波市高三數學一模考試理科第17題的解法探究，尋找它在課本中的“影子”，追根溯源對其解法進行探究，并作一些簡單拓展．

1 考題再現

例1

考試結束后，筆者問了基礎一般的學生，他們都沒有很好的思路，感覺不知所措，能做出來的學生是平時比較拔尖的．

由此可見，這樣一道高考模擬題對普通學生的“殺傷力”有多大，同時也反映了我們在高考的復習中對教材的挖掘之淺，對課本習題的研究浮于表面．

圖1

2 追根溯源

分析

此題為人教A版教材必修4第108頁B組第4題．因為

3 解法探究

平面向量類試題基本上可以從以下4個方面入手：

(1)傳統法(基底法)；

(2)幾何意義；

(3)建系；

(4)其他性質．

筆者從以上這4個方面結合三角形的一些知識對本題解法進行探究．

解法1

(基底法)由

得

從而

本題無明顯的幾何意義，但我們看到△ABC已確定，各邊大小和夾角都可以求出來．

解法2

(幾何意義)在△ABC中由余弦定理得

BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC，

即

在△ABC中由正弦定理得

即

從而

得

(1)

同理可得

(2)

聯立式(1)，式(2)得

從而

解法3

得

即

得

從而

對于思路4(其他性質)：筆者還沒有想到一些重要的性質可以適用，暫時還未能有更巧妙的方法．

綜合以上，我們可以很清晰地看到：傳統法(解法1)、建系(解法3)更易于被學生接受，因此我們在平時復習備考的過程中要立足雙基，追求通性通法，這在浙江高考中尤為重要．

4 開拓創新

我們可以再從以下幾個角度作一些拓展：(1)三角形化;(2)函數化;(3)方程化;(4)最值化．以研究教材來促進高考復習，開拓創新．

變式1

分析

變式2

分析

得

16x+8ycosA=8，

即

2x+ycosA=1.

同理可得

4xcosA+2y=1,

聯立方程可得

從而

至此我們把目標函數轉化為關于cosA的函數，下面只要求出cosA的范圍即可．

在銳角△ABC中，設a為角A所對的邊.由于角A,B,C均為銳角，可得

又在三角形中滿足

得

2

從而

由12

從而

此題中最后考了分式函數的最值問題，利用“換元法”化歸為常用函數，這也是2013年浙江省數學高考理科第21題考查過的通性通法，充分體現了“函數與方程”的思想．

變式3

分析

即

解

同變式2，可得

于是

圖2

變式4

( )

分析

此題在變式3的基礎上引進“最值”問題.結合三角函數的“工具性”,考查了類似于恒成立問題．這與2013年浙江省數學高考理科試題第7題有“異曲同工”之處．

又因為∠AOB=60°，所以

x2+xy+y2=1,

配方可得

令

即

圖3

可得

圖像如圖3所示.由

得

因為u=x+λy存在最大值，所以

解得

故選C．

本題還可以利用三角換元，得到u關于θ的函數．

可設

即

從而

得

由

得

即

于是

現在，各校都在提倡高效課堂，從教材挖掘這一角度來說大有文章可作，而且近幾年的高考試卷與教材關聯越來越密切，很多試題的背景都來源于課本又高于課本.作為一名高中數學教師，對課本例題和習題要有針對性地進行探索發現，并作相應拓展，做到低起點、高要求，在師生共同研究的氛圍中提高學生分析問題、創新問題的能力，使學生能學會知識的遷移和創新，能夠透過現象發現本質．

“你若發現了一株蘑菇，便可以發現一群蘑菇．”作為教師，要善于拋出一株蘑菇，引導學生尋找一群蘑菇，讓學生在探究中感受知識的活力，在感悟中發展自己的思維與能力，真正做到走出題海，讓學生感受到課本就是一個很大的寶庫，最終走進研究性學習．