對(duì)一道解析幾何模考題的探究

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(北侖中學(xué) 浙江寧波 315800)

題目

圖1

(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程.

②求△EPM面積最大時(shí)直線l的方程.

(2014年寧波市高三十校聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題理科第21題)

這是一道設(shè)計(jì)新穎、知識(shí)面覆蓋廣、綜合性極強(qiáng)的解析幾何題.作為聯(lián)考模擬試題,它具有良好的區(qū)分度，并且與近幾年浙江省高考解析幾何綜合題考查圓和圓錐曲線以及多條直線的命題思路十分貼切，是一道值得深入學(xué)習(xí)和探究的好題目.特別是第①小題，本文對(duì)它進(jìn)行命題推廣進(jìn)而獲得更一般的結(jié)論.

命題1

證明

不妨設(shè)直線EA的斜率為k,設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),P(x3,y3),M(x4,y4).先聯(lián)立直線EA與圓的方程得

從而

(k2+1)x2-2kbx=0，

解得

因此

(a2k2+b2)x2-2kba2x=0,

從而

于是

故

命題1表明直線MP的斜率與直線AB的斜率比值是一個(gè)只跟離心率有關(guān)的定值.若將圓的方程改為x2+y2=a2,并且將下頂點(diǎn)改為左頂點(diǎn)，則有類似結(jié)論成立.

命題2

命題2的證明與命題1類似.事實(shí)上,在命題1的條件下除了定值外還能發(fā)現(xiàn)定點(diǎn).

命題3

證明

即

若將命題1所涉及的橢圓情形推廣到雙曲線和拋物線，則可以得到下列2個(gè)命題：

命題4

證明

設(shè)直線EA的方程為x=my-a,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),M(x4,y4).聯(lián)立圓與直線方程得

從而

(m2+1)y2-2amy=0,

解得

于是

將坐標(biāo)代入,得

再聯(lián)立雙曲線方程和直線方程得

從而

(b2m2-a2)y2-2amb2y=0，

解得

則

故

接著寫出直線MP的點(diǎn)斜式方程，得

化簡(jiǎn)得

將以上情況進(jìn)一步推廣到拋物線，下面只以開口向右的拋物線為例進(jìn)行說明，其余情況類似.

命題5

說明

(1)命題5中直線OA,OB之一有可能與開口較開闊的拋物線沒有交點(diǎn)，因此這個(gè)結(jié)論需要在點(diǎn)M,P都存在的前提下成立.

(2)命題5的證明可以參照命題1進(jìn)行.

從推廣過程可以看到，上述結(jié)論揭示了圓錐曲線中普遍存在的一個(gè)定值和定點(diǎn)結(jié)論.在高考復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)當(dāng)站得高、看得遠(yuǎn)，精心挑選好的例題和練習(xí)，不僅講題目，講技巧，講思路，而且要講方法，講思想，講拓展，高屋建瓴地看待數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)背景下知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，而不能疲于題海訓(xùn)練.