一道解析幾何高考試題的題源探究與推廣

●

(泉州市第五中學 福建泉州 362000)

●王志良

(安溪縣第一中學 福建安溪 362400)

1 問題再現

圖1

題目

如圖1，在正方形OABC中，O為坐標原點，點A的坐標為(10,0)，點C的坐標為(0,10)，分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9，聯結OB1，過點A1作x軸的垂線與OBi交于點Pi(i∈N*,1≤i≤9)．

(1)求證：點Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；

(2)過點C作直線l與拋物線E交于不同的點M,N，若△OCM與△OCN的面積比為4∶1，求直線l的方程．

(2013年福建省數學高考試題)

本題主要考查拋物線的性質、直線與拋物線的位置關系等基礎知識；考查運算求解能力、推理論證能力；考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想．

在第(1)小題中，可以求得Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x2=10y.我們知道，圓錐曲線在某些性質方面常常呈現出統一性，那么在橢圓和雙曲線中是否存在和拋物線一樣的性質呢？請先看本題在教材中的題源，結合題源，我們將對此性質進行進一步的探究.

2 題源探究

本題源于人教A版《數學(選修2-1)》第2章“圓錐曲線與方程”后的習題：

圖2

3 問題推廣

圓錐曲線的一些性質往往表現出統一性，若將以上結論推廣，可以得到以下命題：

圖3

命題1

注：若a=b=2p，則拋物線的方程為x2=2py.

證明

過點Ai(i∈N*,1≤i≤n-1)且與x軸垂直的直線方程為

直線OBi的方程為

設Pi(x,y)，則

消去i，得

命題2

注：①當a=b時，曲線Γ為圓；②當a≠b時，曲線Γ為橢圓.

圖4 圖5

命題3

命題2與命題3的證明此處從略.在上述的3個命題中，通過構造整數分點，進而構造2個直線族，從而得到了一群“離散”的交點，此時，交點恰在相應的圓錐曲線上．那么，當我們更改命題中的條件，使得2個直線族的交點“連續”時，交點的軌跡是否正是相應的圓錐曲線呢？通過探究得到：

命題4

注：若a=b=2p，則拋物線的方程為x2=2py.

該命題的證明較為簡單，可以參考以下命題5或命題6的證明，故此處從略.

圖6 圖7

命題5

注：①當a=b時，點M的軌跡為圓；②當a≠b時，點M的軌跡為橢圓.

證明

由已知可得P(λa,0)，Q(a,(1-λ)b)，當λ≠0時，直線EP的方程為

直線GQ的方程為

設M(x,y)，則

消去λ，得

當λ=0時，易證直線EP與GQ的交點M亦滿足方程

因此直線EP與GQ的交點M的軌跡為曲線Γ:

圖8

命題6

證明

由已知可得P(λa,0)，Q(-a,(1-λ)b)，當λ≠0時，直線EP的方程為

直線GQ的方程為

設M(x,y)，則

消去λ，得

當λ=0時，直線EP與GQ的交點M亦滿足方程

因此直線EP與GQ的交點M的軌跡為雙曲線Γ: