有關(guān)“反比例函數(shù)(第1課時(shí))”若干問題問答

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(象山教育局教科研中心 浙江象山 315700)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)(2011年版)》)倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生智慧的“過程教育”——關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)果的形成與應(yīng)用的過程(特別是活動(dòng)的內(nèi)化過程)和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．但調(diào)研后發(fā)現(xiàn)大多數(shù)教師的課堂教學(xué)不符合“過程教育”的要求．“過程教育”指導(dǎo)下的浙教版課標(biāo)教材八年級(jí)下冊(cè)“6.1反比例函數(shù)(第1課時(shí))”的教學(xué)應(yīng)該怎樣操作？本文以問答的形式呈現(xiàn)這節(jié)課的幾個(gè)節(jié)點(diǎn)問題及參考答案,供讀者參考、研究．

問

數(shù)學(xué)結(jié)果是課程內(nèi)容的主要組成部分．這節(jié)課涉及哪些數(shù)學(xué)結(jié)果？其邏輯關(guān)系是什么？其地位與作用分別是什么？

答

數(shù)學(xué)結(jié)果是具有顯性特征的數(shù)學(xué)活動(dòng)成果(思維的結(jié)果、經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果)，它包括數(shù)學(xué)中的事實(shí)、概念、性質(zhì)、定理、公式、法則、規(guī)律、方法、問題與結(jié)論等．根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果的含義，可從反比例函數(shù)的概念體系中析出這節(jié)課涉及的數(shù)學(xué)結(jié)果有：產(chǎn)生反比例函數(shù)的方法；反比例函數(shù)的概念(包括名稱、定義、屬性、示例、一般形式、自變量的取值范圍等)和定義反比例函數(shù)的步驟；用反比例函數(shù)解決具體問題的思想方法．其邏輯關(guān)系可用圖1表示．

圖1

反比例函數(shù)也是一種有代表性的具體函數(shù)，它在現(xiàn)實(shí)生活中有豐富的情景；這節(jié)課涉及的用反比例函數(shù)知識(shí)解決具體問題的思想方法是函數(shù)思想方法的具體化；具體到抽象和一般到特殊的研究方法對(duì)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)有指導(dǎo)作用．從“生活現(xiàn)實(shí)”中抽象出反比例函數(shù)的過程和蘊(yùn)含的生活常識(shí)、函數(shù)思想方法；定義反比例函數(shù)的步驟和蘊(yùn)含的歸納思想；用反比例函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程和蘊(yùn)含的解題策略、方法和技巧等，這些對(duì)發(fā)展學(xué)生智力、能力和個(gè)性有積極的影響．

問

數(shù)學(xué)結(jié)果的形成、應(yīng)用的過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法也是課程內(nèi)容的有機(jī)組成部分．這節(jié)課的認(rèn)知過程、認(rèn)知條件及認(rèn)知價(jià)值分別是什么？

答

認(rèn)知過程是指獲得有關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)果的步驟．必要條件是學(xué)習(xí)中不可缺少的條件——學(xué)習(xí)新知識(shí)必須具有的先決條件；支持性條件是對(duì)學(xué)習(xí)起“催化劑”作用的條件——數(shù)學(xué)認(rèn)知策略、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、態(tài)度等．運(yùn)用學(xué)習(xí)任務(wù)分析理論，獲得反比例函數(shù)概念的認(rèn)知過程和認(rèn)知所需要的條件的分析結(jié)果可用圖2表示．

圖2

從圖2可以看出：獲得反比例函數(shù)概念的基本步驟是：①?gòu)摹吧瞵F(xiàn)實(shí)”中抽象出具體反比例函數(shù)；②觀察并歸納反比例函數(shù)的特征；③用文字和符號(hào)定義反比例函數(shù)．獲得反比例函數(shù)概念的必要條件是：能理解生活中的特定變量關(guān)系問題．獲得反比例函數(shù)概念的支持性條件是：列函數(shù)關(guān)系式的經(jīng)驗(yàn)、多角度觀察研究對(duì)象特征的經(jīng)驗(yàn)、歸納思想和定義研究對(duì)象的經(jīng)驗(yàn)．盡管反比例函數(shù)可以看成是來源于生活世界，也可以看成是數(shù)學(xué)自身邏輯的產(chǎn)物，但采用從“生活現(xiàn)實(shí)”中產(chǎn)生反比例函數(shù)的方式能體現(xiàn)函數(shù)思想方法．類似地分析獲得其他數(shù)學(xué)結(jié)果的認(rèn)知過程和認(rèn)知條件，可以析出“反比例函數(shù)(第1課時(shí))”的認(rèn)知價(jià)值有：從“生活現(xiàn)實(shí)”中抽象出反比例函數(shù)的過程、定義反比例函數(shù)的過程、用數(shù)學(xué)結(jié)果解決實(shí)際問題的過程等，其蘊(yùn)含的生活常識(shí)、函數(shù)思想、定義的步驟及歸納思想、解題的策略、方法和技巧等，對(duì)發(fā)展學(xué)生的智力有積極的影響.

問

學(xué)習(xí)結(jié)果是教學(xué)目標(biāo)的基本成分．這節(jié)課涉及哪些學(xué)習(xí)結(jié)果？

答

依據(jù)《課標(biāo)(2011年版)》倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)結(jié)果分類理論，從涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的邏輯結(jié)構(gòu)和獲得數(shù)學(xué)結(jié)果的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中可以析出其“結(jié)果性”學(xué)習(xí)成果有：事實(shí)性知識(shí)——反比例函數(shù)的名稱；概念性知識(shí)——反比例函數(shù)的概念；程序性知識(shí)——產(chǎn)生具體反比例函數(shù)的方法，定義反比例函數(shù)的步驟，用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的方法；元認(rèn)知知識(shí)——研究反比例函數(shù)采用的具體到抽象和一般到特殊的思維策略，產(chǎn)生反比例函數(shù)蘊(yùn)含的函數(shù)思想方法，定義反比例函數(shù)蘊(yùn)含的歸納思想，用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題蘊(yùn)含的函數(shù)思想方法等;知識(shí)技能——能在具體情境中識(shí)別反比例函數(shù)；理解概念——能陳述反比例函數(shù)與一次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系；運(yùn)用規(guī)則——會(huì)用求函數(shù)值的方法求反比例函數(shù)的函數(shù)值；解決問題——會(huì)用反比例函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題[1]．其“過程性”學(xué)習(xí)成果可能有：在產(chǎn)生并感悟反比例函數(shù)過程中的個(gè)性化表現(xiàn)和個(gè)性化感悟；在定義反比例函數(shù)過程中的個(gè)性化想法和個(gè)性化表現(xiàn)；在用反比例函數(shù)解決具體問題過程中的個(gè)性化想法與個(gè)性化表現(xiàn)；在獲得數(shù)學(xué)結(jié)果之后反思過程中的個(gè)性化體驗(yàn)及對(duì)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)意義的感觸等．

問

教學(xué)內(nèi)容是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵．依據(jù)全面的內(nèi)容觀和辨證的哲學(xué)觀，這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該是什么？

答

全面的內(nèi)容觀指數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成與應(yīng)用的過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．辨證的哲學(xué)觀指在諸多的教學(xué)內(nèi)容中，要選擇最基本、最核心、最主要、最關(guān)鍵、有廣泛應(yīng)用的內(nèi)容，且要根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)來確定能滿足學(xué)生需求的教學(xué)內(nèi)容．由此可知這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容可以是：產(chǎn)生反比例函數(shù)的方法和蘊(yùn)涵的函數(shù)思想方法；反比例函數(shù)的概念(包括名稱、定義、屬性、示例、一般形式、自變量的取值范圍等)及定義反比例函數(shù)的步驟和蘊(yùn)涵的歸納思想等；用反比例函數(shù)解決有代表性問題的過程及蘊(yùn)涵的解題策略、方法和技巧；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，研究反比例函數(shù)的思路．

問

答

一定的教學(xué)結(jié)構(gòu)反映了一定的教學(xué)思想，基于“過程教育”的教學(xué)結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)是邏輯連貫的，并且要符合數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律(數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)的完善、數(shù)學(xué)的應(yīng)用)、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律(特殊到一般、具體到抽象、現(xiàn)象到本質(zhì)、實(shí)踐到理論、簡(jiǎn)單到復(fù)雜、局部到整體、較弱的結(jié)論到較強(qiáng)的結(jié)論等)和教育的規(guī)律(在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程中，理解知識(shí)、掌握技能、積累經(jīng)驗(yàn)、感悟思想、發(fā)展能力和個(gè)性)．按這個(gè)觀點(diǎn)，這節(jié)課的教學(xué)結(jié)構(gòu)可用圖3表示．這是一個(gè)“簡(jiǎn)單、自然、動(dòng)態(tài)、和諧”的數(shù)學(xué)教育過程，能使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思考過程，對(duì)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知與情感的變化與發(fā)展有積極的影響．

問

依據(jù)“過程教育”，“經(jīng)歷產(chǎn)生并感悟反比例函數(shù)的過程”的教學(xué)怎樣操作？

答

首先，教師指出：我們知道，現(xiàn)實(shí)生活中許多變量關(guān)系問題可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問題．一次函數(shù)夠用了嗎？請(qǐng)大家根據(jù)下列問題中的條件列出函數(shù)關(guān)系式．

根據(jù)浙江省象山縣旅游資料記載：石浦碼頭到鶴浦碼頭的距離是4海里，一艘航船從石浦碼頭開往鶴浦碼頭，記航船全程的行駛時(shí)間為x小時(shí)，航船行駛的平均速度為每小時(shí)y海里．問：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是什么？當(dāng)x=2時(shí)，y的值是多少？其實(shí)際意義是什么？

其次，教師組織學(xué)生交互反饋，并在反饋交流的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生反思:

(1)解決這個(gè)問題經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

(2)你對(duì)這種函數(shù)有何感觸？

第三，教師在學(xué)生合作研討的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)性講解．

(1)解決這個(gè)問題經(jīng)歷了3個(gè)步驟：①分析——析出常量和變量及變量之間的關(guān)系；②列式——根據(jù)變量關(guān)系列函數(shù)解析式；③求值——根據(jù)自變量的值求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．

(3)正因?yàn)檫@種形式的函數(shù)在生活中有豐富的應(yīng)用，所以就決定了認(rèn)識(shí)這種函數(shù)的必要．這節(jié)課的研究對(duì)象就是這種新形式的函數(shù)——反比例函數(shù)(揭示課題).

評(píng)析

盡管產(chǎn)生反比例函數(shù)有多種方式，但從“生活現(xiàn)實(shí)”中抽象出反比例函數(shù)能體現(xiàn)函數(shù)思想方法，并有助于學(xué)生感悟反比例函數(shù)生活情景的廣泛存在性．這個(gè)經(jīng)歷性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括具體反比例函數(shù)及其產(chǎn)生方法，也包括蘊(yùn)含的生活常識(shí)、研究反比例函數(shù)的必要性等；教學(xué)采用了“先行組織者”引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的合作交流和合作交流基礎(chǔ)上的教師總結(jié)性講解的方式．這符合“過程教育”——既有認(rèn)知過程的前半段：創(chuàng)設(shè)有價(jià)值的情境、合作解答問題，以產(chǎn)生符合題意的反比例函數(shù)；也有認(rèn)知過程的后半段：解答具體問題之后的反思，以滿足學(xué)生感悟蘊(yùn)含的函數(shù)思想方法、反比例函數(shù)現(xiàn)實(shí)情景的廣泛存在性和研究反比例函數(shù)的必要性．這種關(guān)注“兩段”的認(rèn)知過程，能建立新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

問

依據(jù)“過程教育”，“參與定義反比例函數(shù)的活動(dòng)”的教學(xué)怎樣操作？

答

第四，教師引導(dǎo)學(xué)生反思：定義反比例函數(shù)的基本步驟是什么？你認(rèn)為反比例函數(shù)還應(yīng)該研究什么？

教師在學(xué)生合作研討的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)講解．

(1)定義反比例函數(shù)的基本步驟：①?gòu)摹吧瞵F(xiàn)實(shí)”中抽象出具體反比例函數(shù)；②觀察并歸納反比例函數(shù)的特征；③用文字和符號(hào)定義反比例函數(shù)．

在這個(gè)過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想有：變化與對(duì)應(yīng)思想、符號(hào)表示思想、歸納思想等．

(2)像研究一次函數(shù)一樣，我們還應(yīng)該研究反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)及其在實(shí)際中的應(yīng)用．

評(píng)析

盡管反比例函數(shù)概念教學(xué)要求是了解，但教材將反比例函數(shù)概念的定位處于“歸納”層次，并且定義反比例函數(shù)步驟對(duì)以后學(xué)習(xí)其他研究對(duì)象有指導(dǎo)作用．這個(gè)參與式數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括反比例函數(shù)概念，也包括形成反比例函數(shù)概念的過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；教學(xué)采用了“有導(dǎo)學(xué)味問題”引導(dǎo)下的先“放”后“收”的適度開放的方法．這符合“過程教育”——既有認(rèn)知過程的前半段：合作觀察并歸納反比例函數(shù)的特征，以形成反比例函數(shù)的概念；也有認(rèn)知過程的后半段：獲得反比例函數(shù)概念之后的反思，以感悟定義反比例函數(shù)的步驟、蘊(yùn)含的歸納思想及進(jìn)一步需要研究的問題．這種關(guān)注“兩段”的認(rèn)知過程，能使學(xué)生經(jīng)歷獲得反比例函數(shù)概念的思維“站點(diǎn)”．

問

依據(jù)“過程教育”，“參與嘗試概念應(yīng)用的活動(dòng)”的教學(xué)怎樣操作？

答

首先，教師要求學(xué)生合作解答下列問題．

(1)下列函數(shù)中，哪些是y關(guān)于x的反比例函數(shù)？

教師在學(xué)生合作解答的基礎(chǔ)上追問：判斷給定函數(shù)是不是反比例函數(shù)的依據(jù)是什么？求函數(shù)的值有幾種方法？

其次，教師引導(dǎo)學(xué)生解決下列問題．

圖4

如圖4，阻力為1 000 N，阻力臂長(zhǎng)為5 cm.設(shè)動(dòng)力y(N)，動(dòng)力臂為x(cm)(圖中杠桿本身所受重力略去不計(jì)．當(dāng)杠桿平衡時(shí)：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂),問：

(1)y關(guān)于x的函數(shù)解析式是什么？自變量x的取值范圍是什么？

(2)當(dāng)x=50時(shí)，函數(shù)y的值是什么？其實(shí)際意義是什么？

第三，教師引導(dǎo)學(xué)生反思：解決這個(gè)問題的策略是什么？用的是什么方法？具體使用了哪些技巧？

教師在學(xué)生合作研討的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)性講解．

(1)策略：運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．

(2)方法：①引進(jìn)2個(gè)表示變量的字母；②建立函數(shù)解析式；③根據(jù)自變量的值求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；④用求出的函數(shù)值回答實(shí)際問題的答案．

(3)技巧：①分析——析出涉及的常量、變量及變量關(guān)系；②列式——根據(jù)變量關(guān)系列出函數(shù)解析式；③求值——根據(jù)自變量的值求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；④回答——根據(jù)求出的函數(shù)值回答實(shí)際問題的答案．

評(píng)析

用反比例函數(shù)概念解決具體問題是整節(jié)課認(rèn)知過程的后半段，并且其學(xué)習(xí)結(jié)果類型有“知識(shí)技能”、“運(yùn)用規(guī)則”、“解決問題”．這個(gè)參與式數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括用獲得的數(shù)學(xué)結(jié)果解答有代表性的問題，也包括解題的過程和蘊(yùn)含的解題策略、方法和技巧；教學(xué)采用了“有代表性問題”引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的匯報(bào)交流和匯報(bào)交流基礎(chǔ)上的教師反思性追問的方法．這符合“過程教育”——既有認(rèn)知過程的前半段：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的交流與評(píng)價(jià)解法的過程，以再認(rèn)反比例函數(shù)概念和發(fā)展智慧技能；也有認(rèn)知過程的后半段：解決具體問題之后的反思性追問，以明確判斷的依據(jù)、再認(rèn)求函數(shù)值的方法和用函數(shù)解決實(shí)際問題的策略、方法和技巧．這種關(guān)注“兩段”的認(rèn)知過程，能發(fā)展學(xué)生智慧技能和進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)思想方法．

問

依據(jù)“過程教育”，“參與回顧與思考的活動(dòng)”的教學(xué)怎樣操作？

答

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學(xué)生圍繞“問題清單”進(jìn)行回顧與思考．

(1)本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？我們是怎樣研究的？

(2)反比例函數(shù)的本質(zhì)特征是什么？定義反比例函數(shù)經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

(3)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的基本步驟是什么？

(4)類比研究一次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為反比例函數(shù)還應(yīng)該研究什么？

其次，教師要求學(xué)生交互反饋，同時(shí)教師進(jìn)行激勵(lì)與評(píng)價(jià)．

第三，教師在學(xué)生交互反饋的基礎(chǔ)上總結(jié)本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容和研究方法．

評(píng)析

課堂總結(jié)也是整節(jié)課認(rèn)知過程的后半段，旨在再認(rèn)研究?jī)?nèi)容和研究方法及進(jìn)一步感受研究的意義．這個(gè)參與式數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括回顧研究?jī)?nèi)容，也包括回顧研究方法；教學(xué)采用了“問題清單”引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立回顧與思考基礎(chǔ)上的交互反饋和交互反饋基礎(chǔ)上的教師總結(jié)性講解的方式．這符合“過程教育”——既有認(rèn)知過程的前半段：“問題清單”引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的交互反饋，以回顧研究?jī)?nèi)容和研究方法；也有認(rèn)知過程的后半段：學(xué)生交互反饋基礎(chǔ)上的教師總結(jié)性講解，以總結(jié)研究?jī)?nèi)容和研究方法．這種關(guān)注“兩段”的認(rèn)知過程，有助于學(xué)生深化認(rèn)識(shí)、增強(qiáng)反思意識(shí)和發(fā)展語言表達(dá)能力．

高效能的課堂教學(xué)應(yīng)該既有認(rèn)知過程的前半段，也有認(rèn)知過程的后半段．對(duì)整節(jié)課來說，前半段的主要任務(wù)是獲得數(shù)學(xué)結(jié)果，后半段的主要任務(wù)是用獲得的數(shù)學(xué)結(jié)果解決問題．對(duì)每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)來說，認(rèn)知過程前半段是感性到理性的認(rèn)識(shí)過程，以獲得數(shù)學(xué)結(jié)果，認(rèn)知過程后半段是通過反思的形式來加深理性認(rèn)識(shí)并反作用于實(shí)踐．但當(dāng)前課堂教學(xué)中，每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的前半段認(rèn)知過程短暫——沒有經(jīng)歷必要的思維“站點(diǎn)”，后半段的認(rèn)知過程缺失——砍掉了獲得數(shù)學(xué)結(jié)果之后的反思過程，導(dǎo)致學(xué)生失去了欣賞數(shù)學(xué)結(jié)果、感悟蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法等的機(jī)會(huì)．這不能滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要．

以上幾個(gè)問題雖不十分系統(tǒng)，回答可能也不全面,但對(duì)幫助教師理解《課標(biāo)(2011年版)》倡導(dǎo)的“過程教育”及其操作方法有積極的作用，對(duì)發(fā)展教師的實(shí)踐性智慧也有積極的影響．

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．