一類圓錐曲線中的定值、定點問題探究式教學設計

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(蘇州工業(yè)園區(qū)第二高級中學 江蘇蘇州 215121)

1 內(nèi)容簡介、教法和目標分析

圓錐曲線的定值、定點問題是近幾年高考的熱點和難點問題之一，要求學生在變化的曲線或者方程中找到不變的因素，即動中有靜，靜中有動，動中窺靜，以靜制動.這類問題綜合性強，計算量大，很多師生感覺無從下手.筆者重點研究了一類圓錐曲線的定值求法、應用以及由此產(chǎn)生的定點問題.

本節(jié)課采用探究式教學法，探究式教學法又稱發(fā)現(xiàn)法、研究法，是指學生在學習概念和原理時，教師只是給他們一些事例和問題，讓學生自己通過閱讀、觀察、實驗、思考、討論、聽講等途徑去獨立探究，自行發(fā)現(xiàn)并掌握相應的原理和結(jié)論的一種方法.在高三教學中，單純讓學生自己探索不太現(xiàn)實.在教師的精心預設和導引下，師生共同探索問題的結(jié)論、規(guī)律，提煉研究的方法，應用研究的結(jié)論探索新的問題是可行的.這既符合素質(zhì)教育的要求，也能培養(yǎng)學生應試的能力.

本節(jié)課課前教師給出3個問題供學生預習，提煉結(jié)論和方法，主要讓學生體驗類比推廣、一般化的研究思路，也讓學生學會設而不求的思想方法.課堂共同探究則給出了更為一般的情形，并且類比猜想出相應雙曲線的結(jié)論，進一步培養(yǎng)學生一般化、類比猜想的能力.

考題鏈接主要是結(jié)論的應用，這是應試教育的需要.節(jié)外生枝則是在應用結(jié)論的同時產(chǎn)生圓錐曲線的定點問題.定值和定點問題的完美鏈接是本節(jié)課的亮點之一，探究這類問題不僅滲透了“無關”(和參數(shù)無關)的思想方法，還進一步培養(yǎng)了學生一般化和類比推廣的能力，同時培養(yǎng)了學生對數(shù)學美的鑒賞能力.

2 教學過程

2.1 課前預習

問題1

已知AB是圓O的直徑，點P是圓O上異于A,B的點，k1，k2是直線PA,PB的斜率，則k1k2=______.

問題2

圖1

問題3

設計意圖

設計3個遞進的問題讓學生課前完成，讓學生體驗圓與橢圓的可類比性，提煉一個常用結(jié)論，學會設而不求的思想方法.

2.2 合作探究

問題4

問題5

設計意圖

進一步一般化，達到和圓中的結(jié)論完美類比，可以讓學生先猜測再驗證.該結(jié)論揭示了圓和橢圓的內(nèi)在聯(lián)系：圓可以看成橢圓的特殊形式(即a=b).同時把這個結(jié)論類比推廣到雙曲線，擴大了類比的范圍.

2.3 考題鏈接

問題6

(2)略.

(2012年天津市數(shù)學高考理科試題)

分析

問題7

(2012年江蘇省南通市第二次數(shù)學模擬考試題)

分析

反思

本題還可以建立直線BD的方程，和橢圓方程聯(lián)立求出點D的坐標，從而求得CD的斜率.

圖2 圖3

問題8

(1)當直線PA平分線段MN時，求k的值；

(2)當k=2時，求點P到直線AB的距離d；

(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB.

(2011年江蘇省數(shù)學高考試題)

分析

(1)(2)略.

即

kAP=2kAB，

故

kPAkPB=-1.

設計意圖

3道考題的難度拾級而上，體現(xiàn)了問題4所得出結(jié)論的重要性以及應用的廣泛性.

2.4 節(jié)外生枝

問題9

已知圓O的方程為x2+y2=1,直線l1過點A(3，0)，且與圓O相切.

(1)求直線l1的方程.

(2)設圓O與x軸交于點P,Q，M是圓O上異于P,Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2于點P′，直線QM交直線l2于點Q′.求證：以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過定點，并求出定點的坐標.

(2010年江蘇省徐州、淮安、鹽城、連云港第三次

數(shù)學模擬考試題)

分析

(1)略.

反思

在解決有關定點問題時，常采用“無關”的思想，即與除主元x,y外的參數(shù)無關，只需令這些參數(shù)的系數(shù)為0，便可得到定點.

設計意圖

由定值問題生成定點問題，定點問題和定值問題完美鏈接，體現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律之美、奇異之美.

圖4

問題10

分析

本題把圓換成了橢圓，類似于問題9的方法也能解決本題.

設計意圖

進一步類比遷移到橢圓之中，鞏固問題9所得到的方法，也為學生提出更為一般、更有創(chuàng)意的問題作鋪墊.

2.5 提出問題

鼓勵學生提出一些問題，選擇一些有價值的問題供學生課后探索.當然，教師要精心預設一些有價值的問題：

問題11

問題12

(一般化推廣1)直線l改為x=m，定點的坐標是什么？

問題13

問題14

(類比推廣)問題10中橢圓方程換成雙曲線x2-y2=1，圓C是否過定點？

問題15

設計意圖

有了前面一般化推廣和類比推廣的范例，學生可能提出以上一些有價值的問題.教師精心預設是必需的，這樣可以從容應對課堂上出現(xiàn)的各種“意外”.

2.6 總結(jié)反思

引導學生從結(jié)論、方法等各方面進行總結(jié)，爭取達到理性的升華.本節(jié)課的基本結(jié)構(gòu)如下：

3 幾點思考

3.1 教師角色的定位

首先，教師要成為教學活動的引導者，合理地設計教學過程，規(guī)劃課堂教學內(nèi)容，創(chuàng)設問題探究情境，鼓勵學生大膽地進行懷疑、批判，培養(yǎng)他們獲取、分析和運用知識的能力和積極探索的精神.本節(jié)課教師精心設計的問題為學生探索發(fā)現(xiàn)提供了藍本，學生從中學會了“類比”和“一般化”2種推廣方式.

其次，在探究的過程中，師生成為探究過程的合作者.學生在獨立探索的基礎上，和教師、學生交流自己的成果.教師在探究過程中與學生建立友好的師生關系，為學生提供必要的輔導和幫助，平等地與學生進行探討，共同解決學習難題.

最后，教師是教學活動的有效評價者，不應只關心探究學習的結(jié)果，也不應僅關注探究教學的過程，而應該以促進學生發(fā)展為中心目標，樹立全面、正確的評價觀.教師要客觀地對學生在探究學習中的表現(xiàn)作出適當評價，又要引導學生進行自我評價，使學生形成正確的自我認識，從而激發(fā)學生學習的內(nèi)驅(qū)力.學生限于知識層次和視野，可能提出一些比較幼稚的問題，教師應當發(fā)掘其合理成分，積極引導學生向更深入的層次探索.

3.2 學生探究能力的培養(yǎng)

新的《高中數(shù)學課程標準》指出：學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式.這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程.

本節(jié)課主要采用“類比探究”和“一般化探究”2種方式.“類比探究”是根據(jù)2個對象之間在某些方面的相似或相同，從而猜測它們在其他方面也可能相似或相同.本節(jié)課由圓的性質(zhì)聯(lián)想到橢圓的性質(zhì)，再類比聯(lián)想到雙曲線的性質(zhì).這里既有結(jié)論的類比，也有解題方法的類比.“一般化探究”可使人們對問題認識深化，不僅有舉一反三、觸類旁通之效；還可以培養(yǎng)人們觀察、分析、比較、歸納、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)的素養(yǎng)，從而啟迪人們的智慧，培養(yǎng)科學研究能力，發(fā)揮創(chuàng)造精神，這對于數(shù)學學習、研究以及將來的工作，無疑是十分重要的.因此高考特別重視推廣能力的考查.

3.3 學生提問能力的培養(yǎng)

楊振寧教授在比較中、外留學生有哪些不同時曾提出，中國學生普遍成績比較出色，特別是在數(shù)學運算和推理方面比國外學生有明顯優(yōu)勢，但中國學生最大的缺憾就是不善于提出問題，缺乏創(chuàng)新精神.這一方面是現(xiàn)行的教育制度造成的，另一方面也與教師的教學方式有關.本節(jié)課的問題情境為學生提出更多的問題提供了方法和途徑.教師有選擇性地選取學生提出的一些有價值的問題作為課后習題繼續(xù)探索，當然問題有無價值還在于教師的精心預設和合理引導.