由2則高三復(fù)習(xí)課案例引發(fā)的教學(xué)思考

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(鄞州區(qū)正始中學(xué) 浙江寧波 315131)

教學(xué)活動(dòng)是一種有目的、有計(jì)劃的“人為”和“為人”的育人活動(dòng)．“為人”就是活動(dòng)的指向是滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要．“人為”就是活動(dòng)具有個(gè)性化特點(diǎn)．盡管教學(xué)是“人為”的活動(dòng)，但“人為”的活動(dòng)不能違背教學(xué)規(guī)律．例如，教學(xué)內(nèi)容必須與涉及的課程目標(biāo)一致，教學(xué)過程必須符合數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律和教育的規(guī)律等．部分教師的復(fù)習(xí)教學(xué)效能之所以不高，是因?yàn)樗_定的教學(xué)內(nèi)容和運(yùn)用的教學(xué)方法偏離了教學(xué)活動(dòng)的規(guī)律．

以下2則關(guān)于高三導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)課的案例對(duì)比說明無原則的“人為”會(huì)導(dǎo)致教學(xué)效果打折扣．筆者先簡錄2則復(fù)習(xí)教學(xué)的案例，再呈現(xiàn)筆者對(duì)有關(guān)教師和學(xué)生的訪談結(jié)果，然后提出復(fù)習(xí)教學(xué)的3點(diǎn)思考．

1 2則案例簡錄

案例1

授課的內(nèi)容是“導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)問題中的運(yùn)用”．

師：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)非常好的工具之一，應(yīng)用十分廣泛．三角函數(shù)是特殊的函數(shù)，因此可以利用導(dǎo)數(shù)來解決三角函數(shù)中的有關(guān)問題，如單調(diào)性、周期性及取值范圍等．現(xiàn)在我們一起來看2013年全國數(shù)學(xué)高考卷中的一道題：

設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=______．

師：很好！那是否可以用導(dǎo)數(shù)的方法呢？

生1(表情很疑惑)：我想不到．

師：利用導(dǎo)數(shù)可以研究哪些問題？

生2：求切線、最值、單調(diào)性(或單調(diào)區(qū)間)．

師：在三角函數(shù)中，求切線的問題很少，主要是求最值和單調(diào)區(qū)間．下面一起來看例題．

例1

得

即

點(diǎn)評(píng)

對(duì)由角ωx+α和ωx+β的正弦或余弦，通過相乘組合而成的形式，用求導(dǎo)的方法求單調(diào)區(qū)間，可以避免復(fù)雜的三角變換．

例2

函數(shù)f(x)=sin4x+cos2x的最小正周期是

( )

(2008年安徽省春季數(shù)學(xué)高考試題)

生4：可以通過降冪進(jìn)行計(jì)算．

師：是否考慮過用導(dǎo)數(shù)的方法解決？

生4：還沒想過．

師：我們可以先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)

f′(x)=4sin3xcosx-2cosxsinx.

令f′(x)=0，即

4sin3xcosx-2cosxsinx=0，

解得

x=kπ(k∈Z),

由cosx=0,得

點(diǎn)評(píng)

三角中求三角函數(shù)的周期是一類常見題目，用導(dǎo)數(shù)來解可謂是另辟蹊徑，依據(jù)有界函數(shù)2個(gè)相鄰最高點(diǎn)之間長度正好是一個(gè)最小正周期的特點(diǎn)，輕易求解．

例3

求使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx對(duì)一切x∈R恒成立的負(fù)數(shù)a的取值范圍．

生5：令cosx=t,t∈[-1,1]，則轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)……

師：今天我們講的是用導(dǎo)數(shù)方法來解，請(qǐng)你用導(dǎo)數(shù)的方法來解……(教師不容學(xué)生有別的想法，硬生生地拉回到自己的教學(xué)設(shè)計(jì)上來).

案例2

授課的課題是“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”.

師：利用導(dǎo)數(shù)也可以解決函數(shù)中的有關(guān)單調(diào)性及最值(極值)的問題．先看如圖1所示的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：

圖1

給出例題：

例4

(1)當(dāng)k=3時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞增，求k的取值范圍.

第(1)小題學(xué)生容易解決，并小結(jié)了求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值(最值)的步驟．對(duì)第(2)小題：

生6：因?yàn)閒(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞增,所以f′(x)=x2+2kx+k+2≥0在(0,3)上恒成立,從而

故

k≥-1.

變式1

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)，求k的取值范圍；

(4)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，求k的取值范圍.

生7：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)，包括2種情況：單調(diào)遞增和單調(diào)遞減.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞增，則由第(2)小題得k≥-1；若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞減，則f′(x)=x2+2kx+k+2≤0在(0,3)上恒成立,從而

得

k≤-2．

故k≥-1或k≤-2．

生8：第(4)小題：若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，由第(3)小題的答案，根據(jù)補(bǔ)集思想，可得-2

師：補(bǔ)集思想是一種很重要的解題思想方法，也可以稱為正難則反原則，其意義是當(dāng)從問題的正面去思考問題、遇到阻力難于下手時(shí)，可通過逆向思維，從問題的反面出發(fā)，逆向地應(yīng)用某些知識(shí)去解決問題.

變式2

(5)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上無極值，求k的取值范圍；

(6)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上有極值，求k的取值范圍．

生9：因?yàn)閒(x)在區(qū)間(0,3)上無極值，所以f′(x)=x2+2kx+k+2=0在(0,3)上無解，從而

……

師：函數(shù)f(x)有極值需要滿足幾個(gè)條件？

生10：f(x)有極值需要2個(gè)條件：一是f′(x)有解；二是在極值點(diǎn)2側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)．

師：除了f′(x)=x2+2kx+k+2=0在(0,3)上無解的情況外，還應(yīng)加上另一種情況：f′(x)=x2+2kx+k+2=0在(0,3)上有解，且在該解2側(cè)f′(x)>0．

例5

已知函數(shù)f(x)=8x2+16x-k(k∈R)，g(x)=2x3+5x2+4x．

(1)若對(duì)任意x∈[-3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍;

(2)若對(duì)任意x1,x2∈[-3,3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求k的取值范圍;

(3)對(duì)任意x1∈[-3,3]，總存在x0∈[-3,3]，使得f(x1)=g(x0)成立，求k的范圍．

例6

已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)a<-1，若對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，求a的取值范圍．

2 訪談結(jié)果

同為2節(jié)高三復(fù)習(xí)課，同是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的問題，但2位教師的選材角度有較大的差異．這2位教師是怎樣想的，其教學(xué)效果如何？筆者課后與這2位教師和部分學(xué)生進(jìn)行了有目的地訪談，以下是訪談的結(jié)果．

案例1中教師(以下稱“教師1”)的基本觀點(diǎn)是：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)非常好的工具之一，應(yīng)用十分廣泛，用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的性質(zhì)，解法新穎，能避免大量復(fù)雜的三角變形．學(xué)生雖不熟悉用導(dǎo)數(shù)解決三角函數(shù)問題的策略、方法和技巧，但相信通過教學(xué)有助于豐富學(xué)生的解題策略．學(xué)生的基本觀點(diǎn)是：之前教師很少提到用導(dǎo)數(shù)解決三角函數(shù)的問題，這種方法確實(shí)比較新穎，但聽后仍感到比較陌生，以后遇到這類問題可能還會(huì)自覺地運(yùn)用三角變形法．從學(xué)生的課堂反應(yīng)來看，三角函數(shù)問題用導(dǎo)數(shù)方法來解決學(xué)生不是很熟悉，盡管本節(jié)課教師給出了課題，但仍舊沒有學(xué)生從導(dǎo)數(shù)進(jìn)行入手思考，而且想不到怎樣用導(dǎo)數(shù)去解決．說明教師平時(shí)在處理三角函數(shù)問題時(shí)采用的是通性通法——三角變形法．

案例2中教師(以下稱“教師2”)的基本觀點(diǎn)是：根據(jù)《考試說明》和《考試大綱》的要求，導(dǎo)數(shù)主要是解決函數(shù)的單調(diào)性和最值(極值)問題．因此，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、最值的一般方法是這節(jié)復(fù)習(xí)課教學(xué)的重點(diǎn)，而掌握一般方法需要通過解決具體問題來提煉、總結(jié)．學(xué)生的基本觀點(diǎn)是：通過這節(jié)課的復(fù)習(xí)進(jìn)一步明確了用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性及最值的方法，并且教師用題組、變式的形式能使我們的認(rèn)識(shí)更全面，以后再遇到此類問題就不會(huì)出差錯(cuò)了．從學(xué)生的課堂反應(yīng)來看，學(xué)生對(duì)例4中的第(1)～(4)小題解決很順利，對(duì)例4中第(5)小題的錯(cuò)誤通過交流討論找到原因，對(duì)例5、例6通過學(xué)生共同討論解決，課堂氣氛活躍、輕松，而且掌握了用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題的方法．

3 關(guān)于復(fù)習(xí)教學(xué)的思考

3.1 復(fù)習(xí)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)應(yīng)緊扣課程目標(biāo)

涉及的課程目標(biāo)是復(fù)習(xí)教學(xué)的指針，即是確定復(fù)習(xí)內(nèi)容的依據(jù)．例如，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，其涉及的課程目標(biāo)主要是：(1)結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過3次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點(diǎn)處取到極值的必要條件和充分條件；會(huì)求導(dǎo)數(shù)不超過3次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過3次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性[1]．

教師1的教學(xué)效能之所以不高，其原因之一是教學(xué)內(nèi)容偏離了涉及的課程目標(biāo)．教師2的教學(xué)效果之所以比較好，是因?yàn)槠浣虒W(xué)內(nèi)容與課程目標(biāo)比較一致．事實(shí)上，歷年此類高考題基本都以三角函數(shù)的化簡、求值、三角函數(shù)的性質(zhì)及解三角形為主，壓軸題基本都是以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合題，其中函數(shù)通常是指數(shù)函數(shù)或高次函數(shù)結(jié)合的復(fù)合函數(shù)，以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法解決函數(shù)的單調(diào)性或最值(極值)．因此，筆者認(rèn)為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的復(fù)習(xí)課，案例2更符合針對(duì)高考復(fù)習(xí)的要求，而案例1可列入選修課的內(nèi)容以拓展學(xué)生的知識(shí)面和豐富解決問題的策略．

3.2 復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)注重通性通法與教后反思

高考追求突出學(xué)科基本思想和通性通法的考查．復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)進(jìn)一步落實(shí)基本思想方法，不要刻意追求一些解題的特殊技巧，要把重點(diǎn)放在有價(jià)值的常規(guī)訓(xùn)練上．而關(guān)注解題之后的反思——采用一題多變、一題多用和多題歸一的方式等是概括和提煉基本思想方法的關(guān)鍵．例如，關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的含參數(shù)問題、最值問題是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)之一，也是學(xué)生感到困惑和棘手的問題之一，教師可以通過解決具體問題之后的反思形式來總結(jié)一般性解題方法和揭示蘊(yùn)涵的“轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想．

教師1的教學(xué)效能之所以不高，其原因之二是用導(dǎo)數(shù)來解決三角函數(shù)問題對(duì)學(xué)生來說不是基本方法，再加解題之后缺乏反思與總結(jié)，導(dǎo)致不能滿足學(xué)生理解新方法的需要．教師2的教學(xué)效果之所以比較好，是因?yàn)樘峁┑氖峭ㄐ酝ǚ?，并且變式教學(xué)具有反思的性質(zhì)，能滿足學(xué)生總結(jié)一般性解題方法的需要．事實(shí)上，通過變式教學(xué)，既幫助學(xué)生克服了思維定勢(shì)，又促進(jìn)了學(xué)生的思維創(chuàng)新，在變中求進(jìn)、在進(jìn)中求通．其中，將形似質(zhì)異的問題編成題組，精心設(shè)計(jì)有層次、有坡度的例題進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)，有助于學(xué)生辨析錯(cuò)因、弄清根源、認(rèn)識(shí)本質(zhì)、拓展思維．

3．3 復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)將“學(xué)”置于教學(xué)的中心

維果斯基認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有2種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平.兩者之間的差距就是最近發(fā)展區(qū)，教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，復(fù)習(xí)教學(xué)的載體也要符合“最近發(fā)展區(qū)”理論要求．由于教學(xué)的對(duì)象是學(xué)生，因此復(fù)習(xí)教學(xué)的活動(dòng)也要體現(xiàn)以學(xué)為中心的思想．

教師1的教學(xué)效能之所以不高，其原因之三是教學(xué)載體超出了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，并且教學(xué)采用的是教師講解為主的方法，導(dǎo)致教學(xué)效果打了折扣．教師2的教學(xué)效果之所以比較好，是因?yàn)槠浣虒W(xué)載體符合“最近發(fā)展區(qū)”理論要求，并且教學(xué)采用了教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的方法．事實(shí)上，復(fù)習(xí)階段學(xué)生具有一定的解決有關(guān)問題的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，更應(yīng)該采用教師價(jià)值引導(dǎo)下的、學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的合作交流和合作交流基礎(chǔ)上的教師總結(jié)性講解的先放后收的適度開放的方法．

總之，有效的復(fù)習(xí)教學(xué)不但要關(guān)注涉及的課程目標(biāo)和學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，也要注重問題解決后的反思以滿足學(xué)生辨析、欣賞、提煉數(shù)學(xué)思想方法等的需要．

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國教育部制訂．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2003年)[M]．北京：人民教育出版社，2012.