異側和最小 同側差最大
——到兩定點距離之和與差的最值問題的新觀察

●

(海頭高級中學 江蘇贛榆 222111)

1 問題提出

解析幾何中，我們常遇到1個動點到2個定點距離之和與差的最值問題，此類問題的條件通常是給出2個定點和1個動點，動點往往有固定的軌道，所求的問題一般是動點到2個定點的距離之和或差．此類問題往往因為定點處于軌道的異側與同側之分，軌道也有直線與曲線之別，距離又分和差，最值有最大也有最小，所以看起來解法各異，甚是靈活．不少學生遇到這些問題，往往都是不同問題應用不同方法，一題一議，一題一法．然而筆者在教學實踐中卻意外發現，它們的處理方式雖形式各異，但本質上都可以轉化為初中學生都明白的2個簡單的數學模型．

2 2個經典的最值應用模型

“兩點之間，線段最短”，簡單的8個字蘊涵著生活的哲理，它是我們都熟悉的一個“距離公理”，它的應用也非常廣泛．大家最熟悉的一個例子：張莊和李莊是位于公路2旁的2個村莊，若要在公路上建一個汽車站，欲使2個村莊到該車站的距離之和最小，試設計出車站的最佳位置，并說明理由．這是該數學公理最簡單也是最典型的實例，影響深遠，由此可以抽象出如下的數學模型：

模型1

如圖1，已知點A,B在直線l的異側，在l上求一點M，使得MA+MB最小．

分析

根據兩點之間，線段最短，聯結AB，與直線l的交點是M′便是要求的點M．

證明

在直線l上任取一點M，得MA+MB≥AB，當且僅當點M與M′重合時有M′A+M′B=AB，因此MA+MB的最小值是AB的長度．

上面這個模型最典型的特征是：(1)定點A,B位于動點運動軌道的異側；(2)可求距離之和的最小值．簡單地說，就是“異側和最小”

上述最值的證明所采用的原理是“兩點之間，線段最短”，但事實上也可以理解為“三角形兩邊之和大于第三邊”．從這一角度看，既然“三角形兩邊之和大于第三邊”，那么同時也應該有“三角形兩邊之差小于第三邊”所對應的最值問題存在，也就是說上述模型可以改編為求距離之差的問題，由此可以得到下面的新數學模型：

圖1 圖2

模型2

如圖2，已知點A,B在直線l的同側，在l上求一點M，使得MA-MB最大．

分析

延長AB交直線l于點M′，如圖2，線段AB與直線l的交點是M′便是要求的點M．

證明

在直線l上任取一點M，得MA-MB≤AB，當且僅當點M與M′重合時有M′A-M′B=AB，因此MA-MB的最大值是AB的長度．

上面這個模型典型特征是：(1)定點A,B位于動點運動軌道的同側；(2)可求距離之差的最大值．簡單地說，就是“同側差最大”.

3 對2個經典最值應用模型的解題體驗與規律探究

3.1 定點在動點軌跡的位置可以相互轉換

例1

[1]已知點A(-3,8)，B(2,2)，點P是x軸上的點，求PA+PB的最小值．

圖3

解

如圖3，在x軸上任取一點P，作B(2,2)關于x軸的對稱點B1(2,-2)，則PB=PB1.聯結PB1,PA,PB，聯結AB1交x軸于點P1，則PA+PB=PA+PB1≥AB1，也就是說點P移動到與點P1重合時，取到最小值

評注

本題中的2個定點在x軸的同側，這和模型1中“定點位于動點軌跡的異側”的條件不相符，不在異側，2個定點與1個動點無法在一條直線上，也就無法直接利用“兩點之間，線段最短”，但是利用對稱將同側的點轉化為異側的點，從而劃歸成模型1求解，確保“異側和最小”．

變式1

解

原式可化為

相當于已知點A(-3,8)，B(2,2)，點P是x軸上的點，求PA-PB最大值．延長AB交x軸于點P′，則PA-PB≤AB，也就是說點P移動到與點P′重合時，取到最大值

評注

不少學生在配方轉化時常有困惑，即定點A,B坐標的符號不好把控，比如有人懷疑定點要是誤寫成B(2,-2)，還和原來的結果一樣嗎？答案是肯定的.因為雖不滿足“同側差最大”，但是完全可以通過對稱把它們拉到“同側”．

3.2 動點運動的軌道可以是直線也可以是曲線

例2

已知點P是拋物線y2=4x上的動點，F(1,0)，A(4,5)，則PA+PF的最小值是______．

解

圖4 圖5

評注

本題和例1一樣，也是求動點P到2個定點距離之和的最小值問題，利用原理一致，和模型1極其相似.不同的是這里的動點運動軌道不是直線而是拋物線,但這并不影響我們利用“距離公理”求最值．可見動點的軌跡不一定局限于直線，還可以是拋物線、雙曲線、橢圓，甚至是一般函數圖像．

3.3 定點在動點運動軌跡的同側與異側也是相對的

例3

已知點P是函數f(x)=x3-3x上的動點，A(-2,-2)，B(1,2)，則PA+PB的最小值是______．

解

令f′(x)=3x2-3=0，得x=±1.若f′(x)>0,則x>1或x<-1;若f′(x)<0,則-1

PA+PB≥AB=P1A+P1B=

評注

本題把點A,B之間的部分曲線看成動點軌跡，由本題2個定點A,B可以看成位于軌跡異側的2個點，符合“異側和最小”的特征，因此可以直接求PA+PB的最小值.

變式2

已知點P是函數f(x)=x3-3x上的動點，A(-2,-2)，B(1,2)，若PA>PB，則PA-PB的最大值是______．

解

(同上)如圖6．聯結AB，延長交f(x)的圖像于點P2，則

PA-PB≤AB=P2A-P2B=

評注

本題定點A,B并沒有變動，軌跡也沒有改變，但是動點在曲線上的位置可以自由移動.如果我們把點B右側的部分曲線看成是點P的運動軌跡，那么AB就變成了軌跡同側的2個點，符合“同側差最大”特點，可直接求PA-PB的最大值．

圖6 圖7

3.4 動中求靜，化動為定

例4

已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,點M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則PM+PN的最小值為______.

解

假設點P位置如圖7所示，則

PMmin=PC1-1，PNmin=PC2-3，

PM+PN≥PC1+PC2+4.

取C1(2,3)關于x軸的對稱點C1′(2,-3)，當且僅當點C1′,P,C2共線，距離之和最小，此時

PM+PN≥PC1+PC2-4=

PC1′+PC2-4≥

評注

本題條件中不見2個定點，但是當我們把動點暫時看作定點時，轉化為圓外一點到圓上點的距離PM與PN的最小值，從而獲得軌跡同側的2個定點C1與C2，并最終轉化為x軸上的動點到x軸異側的2個定點距離之和的最小值問題.

4 圓錐曲線中的幾個最值問題的再認識

4.1 對于PA-PF，既可以求最大值也可以求最小值

例5

已知點P是拋物線y2=4x上的動點，F(1,0)，A(4,3)，則PA-PF的最大值和最小值是______．

解

如圖8，可判斷點A,F都在拋物線的內側，直線AF與拋物線相交于2個點P1,P2，當PA≥PF時，根據“三角形兩邊之差小于第三邊”，得PA-PF≤FA，而FA=P1A-P2F可以取到，于是

圖8 圖9

評注

一般地，若動點P在直線上，2個定點A,B位于直線的同側，可以求PA-PF的最大值而不能求最小值，即“同側差最大”.但是動點P在曲線上，為什么就可以求PA-PF的最大值和最小值呢？看了上面的曲線大家可能就明白了，這就是因為在延長線段AF的時候，與曲線可以有2個甚至更多的交點，而直線與直線最多只能有1個交點.

4.2 “求和”變不成“求差”，可改“同側”為“異側”

例6

已知B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30°方向2 km處，河流的沒岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠2 km.現要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B地和C地轉運貨物.經測算，從M到B,M到C修建公路的費用是每千米a萬元，那么修建這2條公路的總費用最低是______萬元.

解

Q=a·MB+a·MC=Q=a·(MB+MC)=

a·(MA-2a+MC)，

從而

評注

本題要求MA+MC最小值，本來定點在曲線同側，怎么求最小值呢？要么把“和”改為“差”，要么把“同側”改為“異側”.本題利用雙曲線的定義，把“同側”改為“異側”，問題就符合“異側和最小”的特征了.

變式3

解

如圖10，過點B作左準線的垂線，垂足為M．過點A作此準線的垂線，在x軸上的垂足為M′．根據橢圓的第二定義得

評注

圖10 圖11

4.3 “同側”不能變“異側”，改“和”為“差”

例7

解

根據橢圓的定義，PB+PC=2a=8，從而

PA+PC=PA+(8-PB)=8-(PB-PA).

為使PA+PC取得最小值，只需PB-PA取得最大值，此時只有點A,B,P共線時才可以取得，這時

評注當定點在軌跡的同側時,一般更適合于求PA-PC的最大值.而求PA+PC的最小值，通常是定點位于軌跡的異側，于是借助第一定義改變定點的位置，最終2個定點雖然誰也沒有越過軌跡到達異側，卻有意外收獲．即本來要求PA+PC的最小值，卻變成了求PB-PA的最大值，這也正好符合“同側差最大”的要求．

綜上所述，解析幾何中求動點到2個點距離的和(差)的最值，是最常見的一類最值問題.其解題策略多種多樣，但是本質上卻可以劃歸成距離最值的簡單應用模型.把2個數學模型研究透了，掌握定點與軌跡的位置關系，理清求最大值與最小值的基本規律，依據“異側和最小,同側差最大”的基本原理，便可以以不變應萬變，以逸待勞，樂享其中．

參 考 文 獻

[1] 薛勝菊，趙洋.與圖形有關的最值問題[J].教學考試(數學)，2013(11)：63-70．