激活思維 “生動”課堂
——“等比數列的前n項和”教學研探

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(象山中學 浙江象山 315700)

●楊光偉

(浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004)

2014年3月25日，浙江省寧波市象山縣高中數學教壇新秀評比活動在象山中學開展.活動中，7位參賽教師以“等比數列的前n項和”為例同課異構.筆者在上課、聽課、評課的交流中收獲頗豐，遂對本節課的不同設計、呈現方式進行比較研析，與同行分享.

1 教學設計的困惑

設計本節課，筆者有3個困惑：(1)教科書中的錯位相減法，學生如何想到？若學生想不到，則教師應如何引導學生自主探究，而非被動接受？(2)是否有必要探究多種求和方法，探究幾種才合適？若學生未能探究出其他方法，則教師還有必要展示它們嗎？(3)本課的教學重心是偏向公式推導探究，還是公式掌握練習？若兩者兼顧，則在有限的時間內如何提高課堂效率？

帶著這3個困惑，筆者學習了此次比賽的7節課.幾乎所有參賽教師都嘗試采用引導學生自主探究的教學方法，按照“創設情境、自主探究、得出公式、應用公式、變式訓練”的模式組織教學，但具體的教學過程卻大相徑庭，學生的參與程度也差異較大.

2 教學模式研探

方案1

(引導中鋪設方法臺階)

教師課前發放學案，引入國際象棋的故事，并給出課題：如何求解

S64=1+2+22+…+263.(1)

師：國王愿意把每個格子的麥粒數加倍給發明者，請問：原來放好的麥粒是不是要重新放過？為什么？

生：不需要，每一格麥粒數乘以2即可.

師：國王一共需要準備多少麥粒？

生：2S64=2+22+23+…+264.

(2)

師：比發明者原來的要求多多少？

生：式(2)-式(1)，得S64=264-1.

師：我們發現式(2)和式(1)有很多相同項，相減后即可消除.我們把它推廣到一般情形：

Sn=1+q1+q2+…+qn-1,

(3)

如何求解？

生：qSn=q1+q2+q3+…+qn,

(4)

式(4)-式(3)，得

(q-1)Sn=qn-1,

從而

師：那么，更一般的情形：

Sn=a1+a1q1+a1q2+…+a1qn-1,

(5)

如何求解？

生：qSn=a1q1+a1q2+a1q3+…+a1qn,

(6)

式(6)-式(5)，得

(q-1)Sn=a1(qn-1),

從而

學生沉默，教師給出提示，引出另外2種推導方法.

本課例由教師直接“拋出”等比數列前n項和公式的推導方式，鋪設方法臺階，降低思維難度，讓學生尋求一般化的證明方法，從特殊推廣到一般情形，學生易于接受，但有2個問題待商榷：

問題1

式(2)的出現非學生自主探索，勢必有學生存在困惑：為什么這樣操作，如何想到的？學生只是直觀感覺乘以2，為什么不是3或其他數字，學生沒有主觀感受,容易產生一種現象——教師繼續引問：Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an怎么求和？學生答：乘以2.此時的探究意義有限，更多是學生的模仿，驚嘆于方法的神奇，卻沒有自主獲得結論的成就感，同時也不可能使“錯位相減法”得以滲透.

問題2

在教師鋪設了S64,2S64后，學生選擇“式(2)-式(1)”，雖然“式(2)-式(1)”或“式(1)-式(2)”在方法本質上沒有區別，但在學生還沒有完全掌握錯位相減法的情況下，2式混減，無疑會擾亂學生的思緒，不利于錯位相減法常規操作習慣的培養.

當然，這一教學方式有其優勢，對于學習能力一般的學生來說，教師鋪設方法的臺階，給學生思維的線索，讓所有學生都能“跳一跳，摘桃子”，而且節省探索時間，并配合學案教學，強化公式運用，學生得以有效鞏固.

方案2

(猜想中從特殊到一般)

教師引導學生對S64=1+2+22+…+263的結果進行猜想：由1=21-1，1+2=3=22-1，1+2+22=7=23-1，1+2+22+23=15=24-1不完全歸納猜想得

S64=1+2+22+…+263=264-1,

1+2+22+…+2n-1=2n-1,

從而猜想出更一般的結論：

此時，等比數列的求和公式呼之即出

最后在教師的啟發下，通過多項式變形，引出錯位相減法等方法進行論證.

數學猜想是數學發展中最活躍、最主動、最積極的因素之一，是推動數學理論發展的強大動力.本課突出了“歸納—猜想—證明”的思想方法，既能把學生推向“憤、悱”的境界，又能激活學生的認知結構，先猜后證.由特殊到一般的過程中，引領學生進行似真推理，歸納猜想求和公式，并從結構分析獲得解題靈感，也不失為一種不錯的尋求結果的方法.但是在本課例中，學生已經猜想得到問題的結論，失去探索未知的沖動，解決問題的內驅力自然也不會太高.后續的證明，仍然需要教師引導啟發，在課堂時間的把握上可能有些緊張.

方案3

(啟發中架設思維橋梁)

師：這里要研究的問題是棋盤上有多少麥粒數？可以把每格所放的麥粒數看作什么數列？

生：是一個首項為1、公比為2的等比數列.

師：要求第1個格子到第64個格子的麥粒數總和，即求這個等比數列的和S64=1+2+22+…263.如何計算S64，是這節課要探究的課題.把式子符號化，即Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.同學們回顧一下，我們已經學習了哪些數列的求和？

生：等差數列.

師：等差數列的前n項和公式是

在研究等比數列求和時，能不能像等差數列一樣，用已知的相關量簡潔地表示出來，從而簡化等比數列求和的計算？關于等比數列，我們已學習了哪些知識？

生：定義和通項公式.

師：同學們自己動手進行探究，運用已學知識計算等比數列的前n項和.

(學生探究5分鐘.)

生：Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an可寫成

Sn=a1+a1q1+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1,

(7)

2邊同乘以q,得

qSn=a1q1+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn.

(8)

師：很好！乘公比q后有什么效果？

生：上下2式有很多相同項.

師：式(7)-式(8)，得

(1-q)Sn=a1-a1qn，

從而

這種方法，過程很新穎,是怎么做到的，有哪些步驟？

生：先乘公比，再錯位，后相減.

師：我們稱此法為(乘公比)錯位相減法.還有其他想法嗎？

學生沒有提出新方法，教師引導給出其他2種方法.

本課的全過程可概括為：具體問題→數學模型→解決具體問題.學生從現有的知識和經驗出發，運用疊加、消元、類比、分類討論、函數方程、等價轉化等思想方法，從不同角度對公式的推導作了探究.借助等差數列求和的思想，類比尋求推導等比數列前n項和公式的方法，更符合學生的認知特征.等差數列和等比數列求和公式的推導方法，從數學思想和數學方法上是一致的，都是將“無限”化為“有限”，差異在于錯位的方法不同[1].正是由于這種差異，致使很多參賽教師錯誤地認為：不能通過類比推理探究等比數列前n項和公式.實際上，他們是基于這樣的錯誤認識：通過運算方式的類比才行，而這里卻是解題思想的類比.

本節課，教師的講解細致入微、面面俱到，引導更是步步深入，但教師講得越細，學生講得越少；教師引得越深，學生想得越少.課堂上，更多的是教師的循循善誘，而少了學生思維的火花，以致于在前面如此細膩的引導下，學生仍然只是給出課本方法，而沒有思維的靈動，后續方法只能是教師自行給出，實為美中不足.

方案4

(點撥中啟動學生探究)

師(激發興趣)：國際象棋…….國王一聽，欣然答應了，發明者的要求不高吧？

生：太高了.

師(提出質疑)：為什么太高，不就是麥粒嗎？

生：加起來就很多了，一共需要的麥粒總數是1+2+22+…+263.

師(拋出問題)：很好，但是我們要用數據來說話，這個算式怎么計算？

師(宏觀問題)：哪怕我們幫國王算出了這個結果，如果又有人給國王出了另一個難題：第1個格子里放上2粒麥子，之后的每個格子里放的麥子數都是前一個格子里放的麥子數的3倍，直到第64個格子.那可怎么辦？這是一個類似的問題，我們能否找到一般方法，解決這一類問題？首先，我們要明確，要解決的是哪一類問題？

生：等比數列求和.

師(點明障礙)：很好，我們把問題一般化，即求Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an，如何求解？我們在求解中，會遇到哪些障礙？

生：太多了.

師(點撥突破)：對！量太多，這里有a1,a2,a3,…,an共n個不同的量，怎樣減少？我們之前有接觸過類似的問題嗎？

生：等差數列求和，也有n項，利用倒序相加，實現消項，轉化為用a1,n,d或a1,an,d這3個基本量來表示.

師(類比提煉)：類比等差數列，等比數列是否也可以用3個基本量來表示？

生：用a1,n,q，轉化為

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1.

(9)

師(明確依據)：此處項數太多，如何來消項，利用什么原理？

an-1q=an(n≥2).

師(引發探討)：請大家圍繞定義，目標是基本量的最簡形式，進行等比數列求和的探索，尋找多種方法.

(學生探究3分鐘.)

師(合作交流)：同桌互相交流分享，有沒有不一樣的收獲？

生1：式(9)的2邊同乘以q，得

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn.

(10)

師：乘公比有什么效果？

生1：有很多相同的項.式(9)-式(10)，得

(1-q)Sn=a1-a1qn,

即

生1：還有問題，當q=1時，Sn=na1.

師：很好，但是乘以q是怎么想到的？

生2：為了相消，根據等比數列的定義，a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，…，an=an-1q每一項乘以q，即往后挪了一項.

師：很好！這個方法有幾個步驟？

生1：乘公比、錯位、相減、化簡，我們可以稱之為錯位相減法.

師：很漂亮的總結！我們成功地將目標轉化為基本量的最簡形式，注意分類討論，還有其他方法嗎？

……

師：根據等比數列的定義和合比定理，我們用整體代換，轉化為基本量，得到求和公式，這樣的總結有問題嗎？

生：要分類討論，而且是分式結構，分母不為0；n為奇數，當q=-1時，此法不適用.

師：還有其他方法嗎？

生4：因為a2+a3+…+an=q(a1+a2+a3+…+an-1),所以Sn-a1=q(Sn-an)…

生5：an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+

(a4-a3)+…+(an-an-1)=

a1+a1(q-1)+a2(q-1)+

a3(q-1)+…+an-1(q-1)=

a1+(q-1)(a1+a2+…+an-1)=

a1+(q-1)(Sn-an)…

師：構造得非常漂亮!先構造，再提取，后整體代換，轉化為基本量的最簡形式.同學們的思路非常開闊，還有其他方法課后再交流.總結這些方法，各有千秋，這里我們重點學習錯位相減法.

本節課中，教師嫻熟地應用蘇格拉底的“產婆術”，以10個提問使學生陷入矛盾之中，再進行助產，啟發、引導學生，使學生通過自己的思考，得出結論，學生每次給出一種方法，教師都會進行質疑詰問，從而幫助學生完善思維.師生的精彩對白，使得課堂的思維結果因過程而精彩，互動現象因方法而生動.這樣的探究設計，建基于學生發展的知識體系，教會了學生學會思考，在數學的思考中，在“生動”、“情動”中，發展了學生的數學能力.

3 幾點后續的思考

賞析了以上4個課例，筆者之前的困惑也迎刃而解，以下是筆者的幾點思考：

(1)課堂教學應重視學生的認知規律和學習障礙.

錯位相減法的生成過程，在一定程度上忽視了學生的認知規律，是學生學習的一個障礙，很多教師總是牽引著學生往自己預設的方向走，沒有很好地幫助學生突破學習障礙.學生的思維是靈動的，需要教師的啟發引導，哪怕學生事先了解了錯位相減法，學生也需知曉這一方法的生成過程，明確它的思想方法.把教學提升到思維的高度，在思想的引領下，構想方法，導出知識，才是學生獲取知識的良好途徑[2].如何打開思路，揭示思維的本質，便是本課難點突破的關鍵之處.

(2)課堂教學應以學為中心，教學生學.

章建躍博士說：“要通過恰到好處的提問，提好的問題，給學生提問的示范，使他們領悟發現和提出問題的藝術，引導他們更主動、有興趣地學，富有探索地學，逐步培養學生的問題意識，孕育創新精神.”學生是課堂的主角，課堂要跟著學生走.教師的引，要恰到好處；導，應自然和諧；誘，需合乎事宜，授人以魚，不如授人以漁，不妨授人以欲.對于求和公式推導的多種方法，給不給出，視學情而定.學生自行給出，教師自然要搭建讓學生呈現智慧的平臺；學生給得少，教師搭橋鋪路，牽著學生多走幾步；學生給不了，教師也無需強求，當然視學情，適當地介紹1～2種也無妨.

(3)課堂教學應有效踐行教學的“3個理解”.

章建躍博士曾提出數學教學的“3個理解”(理解教材、理解學生、理解教學)，本課也要踐行教學的“3個理解”[3].從認知層面看，等比數列前n項和公式在陳述性知識、程序性知識與策略性知識的分類中，屬于學生最高需求層次的掌握策略與方法的策略性知識.因此，本課有2個重點:一個是掌握等比數列的前n項和公式，一個是掌握錯位相減法.在一節課的時間內要達到這樣的雙重目的，時間是教學設計時必須考慮的要素.公式的推導探究和掌握練習必須兼顧，但還是更應突出思維的過程.一味地進行探究，課堂便沒有沉淀；過多地進行鞏固，便使探究趨于形式.有效的探究和適當的鞏固提升，才能讓課堂教學更有效、更高效、更優效！

(注：本文是2012年寧波市基礎教育教研課題“高中數學教師學科教學能力及其培養與研修”(編號：121110)的階段成果.)

參 考 文 獻

[1] 徐明.“等比數列前n項和公式”教學設計及反思[J].中學數學月刊，2009(5)：15-16.

[2] 張金良.浙江省高中數學新課程改革的實踐與思考[J].中學教研(數學)，2012(9)：1-7.

[3] 曹才翰，章建躍.中學數學教學概論[M].北京：北京師范大學出版社，2008.