數學教師的教學圖式

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(杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310003)

1 由一個例子說起

看到下列信息，你會怎么想？你會如何處理？

1650年，英國數學家約翰·沃利斯得到了一個奇妙的表達式：

提供數學教師可能出現的回答如下：

(1)此題無法證明，中考(高考)也不會考，看了棄之.

(2)是一種數學美！有數學家的創造之美，也有分數表達形式的規律之美,可以作為介紹“數學美”的材料.

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得到一個可用于推理與證明(歸納)教學的新題.

(4)可用算法來驗證，即可用于算法的教學之中.

(5)無理數可以用分數來表示，還有其他表示嗎？其他無理數也有類似的表示嗎？

可見，面對同一個問題，不同的教師會有不同的處理.從心理學角度來說，是你的圖式作出了決擇、給出了回答！

類似的情況在數學教學中隨處可見、可遇：不僅出現在選擇問題、確定用題立意和解決問題中，出現在確定教學目標、選擇教學途徑時，還出現在課堂教學產生的教學資源的生成中，出現在教師之間、師生之間的交流時．

2 圖式的含義

圖式概念有過從“范疇—結構—范式”的理解變化，產生了不同的圖式定義.本文引用一個直觀的定義：所謂圖式，是人腦中已有的知識經驗的網絡．人往往是經驗主義的，過去的經驗會對其未來認識事物的過程和結果產生影響[1]．

參考該定義，本文給數學教師的教學圖式下一個定義：數學教師頭腦中已有的數學專業知識、教育心理知識、數學教學經驗組成的認知結構．當我們進行數學教學時，教學圖式對新覺察到的信息起到引導、選擇、組合的作用，對熟悉的信息按既定的方式處理．

3 關于圖式的話題

3.1 圖式如何形成

人的圖式如何形成？引用皮亞杰的觀點來作回答．

皮亞杰認為：圖式最早來自先天的遺傳，在后天與環境的不斷作用中發展豐富起來．在圖式的發展變化中，有2種類型：一種是“同化”，另一種是“順應”．同化指的是個體將外界的刺激有效地納入自己已有的認知圖式中來，是數量上的變化．順應是指在原有圖式不能直接適用的條件下，個體主動地改變認知圖式、適應環境的變化，這種變化可以導致人的認知結構的成長和發展．

圖式是在與環境的不斷作用中發展和豐富起來的，即人基于原有圖式，經歷有新意的活動獲取直接或間接的經驗，是改變個體圖式的重要途徑．換句話說：沒有經歷過有新意的活動，就不會引起圖式變化，只有個體經歷過的活動，才有可以影響個體的圖式．

3.2 數學教師的教學圖式解析

所有數學教師都經歷過2條成長途徑：(1)高中及大學的學習經歷；(2)工作至今的數學教學經歷．2條途徑造就了每位數學教師個體的教學圖式．

結合以下3個觀點對教學圖式作解析，能呈現出教師個體圖式的共同點，表明圖式與教學存在關聯，同時還能折射出當前個體的教學圖式與教學需要存在不對接．

(1)數學觀：經歷過高中、大學的數學學習，都會獲得2種觀點：數學由一門門的分支組成，如《代數》、《三角》、《解析幾何》、《立體幾何》等，每一門分支都是一個系統，有嚴密的邏輯結構；學習數學離不開做題．

在中學數學教學中，有2種共同的現象：教師們立足系統、追求全面、講究嚴格的觀點，引導著數學教學；選題、講題、安排做題、布置作業題，即教學圍繞著做題．

可見，2種教學現象的出現，可以歸因于數學教師的教學圖式，是個體數學理解的產物．

(2)教學觀：每位數學教師從走向崗位開始，就有了教學實踐，至少前3年所做的都是全新的活動，這給個體的圖式帶來了變化．工作至今，便形成了現階段個人的教學圖式．

回顧我們的教學，最多學習2年新課就開始以“中考”或“高考”為目標，做考題、用考題、輔導考題，這樣的經歷積淀了教學經驗，變化著個體的圖式．

觀察數學課堂教學，處處可見的是：中考題或高考題；經常聽到的是：這是中(高)考題、中(高)考要求是……，等等．

歸因這些現象，源頭在教師的教學圖式．由于數學教師的教學經驗是圍繞著中(高)考目標，緊扣著中(高)考要求，不斷使用中(高)考題目下積累起來的．因此，沒有中(高)考價值的事，個體的圖式不會引導我們產生關注，當然也不會積淀相應的經驗．

這樣形成的教師教學圖式，會依據考試目標演繹數學，帶著學生學習數學.但在學習中，通過“問題解決”、通過創設探究或研究性學習，發揮學生學習的能動性、主動性、創造性，幫助學生學習數學，并沒有得到真正地重視．

(3)學生觀：教師生活圈接觸最多的是學生，通過預見不到現象發生的教學，有意無意地不斷產生思考、交流，逐漸地發現規律、積累經驗，形成個體的教學圖式．

沒有考好，歸因于學生太差；喜歡某些學生；要求學生聽好、注意力集中；批評學生沒有記住等外顯的行為，其實都是由個體的教學圖式決定的．

沒有“學生是能動的、是有創造潛力的”，沒有“考慮學生學習感受、代價”等內隱的想法，其實也是由個體的教學圖式決定的．

教師的學生觀、數學觀、教學觀有著密不可分的聯系．重視考試目標，淡化學生良好學習習慣的養成；重視解題訓練，丟失學習興趣的激發；會條理清楚、有目標地教，但缺少真正組織學的途徑等等，也都是由個體的教學圖式決定的．

3.3 教學圖式固化了嗎

以上2條成長途徑形成了個體當前的教學圖式.此時，需要提出一個問題，當我們勝任數學教學后，是否還有新的教學研究行動？若沒有類似的行動，意味著什么？

有的教師仍有類似的行動，他們還在不斷地做各地的“中考題”或“高考題”，保持著良好的解題能力,但其他活動基本沒有了.

有的教師基本沒有類似的行動，題目從網上下載，且要求是有答案的；教案采用他人的或上一輪的．

若真是如此，則根據2個理由可以認定教師個體的數學教學圖式已基本定型：(1)由2條途徑產生的數學教學圖式，會使個體感到對付數學課堂教學綽綽有余，課后還會感覺良好；(2)由于教師的原有圖式，能看一下答案、過程就“懂”，也有好題標準，選題喜好，也會組合題目，對教案作修訂.省時、省心的做法當然會有較強的延用慣性．

結合解析可以認為：如果教師當前的教學圖式固化了，那么教學立意欠高、追求不廣、途徑單一、代價較大等等缺陷將永遠存在．換個角度來說，教師的教學圖式仍需要更新、發展！

3.4 數學教師的教學圖式仍需要更新

為給出充分的理由，筆者從另一個視角再給予論證．

2條途徑下形成的教學圖式還缺少些什么？即教學圖式的形成中，哪些經驗并沒有產生影響？

下面這些活動我們沒有經歷過，或雖然經歷過，但經歷時個體圖式并沒有與之發生作用，以表明數學教師教學圖式中仍缺少的成份．

(1)數學發展歷史.

教師在大學階段學習過數學史，但當時會認為這不是數學，也可能認為這種課只需聽聽，在學習中不會與數學學習、數學教學聯系，因此，這種學習難以影響個體圖式的變化． 由此，在當前的數學課堂教學中，不會真正地想到：數學是在解決問題的過程中發展、充實起來的，是從不嚴格逐步走向嚴格、從零散組織到系統的．即，我們會認為數學就是一個成熟的系統，并不知各個章節(分支科目)構建的過程、某個知識(章節)出現的原因、構建某個系統的必要性．因此，教學中出現最多的方式是：把系統演繹給學生，希望他們掌握一個個數學分支(系統)，獲得前人的成果．很少或基本沒有考慮，通過解決問題，展示新知識出現的必要，歸納、概括出新知．

(2)教育心理學、學習心理學等知識.

在大學里學過，由于沒有個體活動經歷支持，看不到學習的價值，僅學過而已.工作后，備課、做題占據大量的時間，也沒有可能再進行學習，因此，有關知識并沒有融入個體圖式．

初(高)一的數學學習目標是什么？非智力因素的培養要抓住些什么?做到些什么？教師的個體圖式不能給出回答，并不意外．

初(高)一的學習應該形成“見題即能用紙、用筆、動腦主動一做”的習慣，而教師個體的圖式往往引導著每節課，以講為主，講得太多，往往讓學生失去了習慣養成的機會．

個體圖式還有可能不能有效地回答下列問題：學生的知識是如何掌握的？除了不斷地做題外，還有什么教學途徑？學生為什么會討厭數學？

(3)初等數學的章節解構.

給出一種做法，稱為核心概念的“章節解構”．下面是一位教師關于“平面向量”的研究，章節解構(部分片段)如下：

向量是一個具有代數與幾何雙重屬性的量，“代數的根本在于數的運算和運算律”[2]．沒有運算的向量只是一個符號，定義了運算的向量力量無窮．

從引入向量概念到建構向量的2種基本運算的過程中，出現了許多概念、法則，但它們都有引入的必要和內在的聯系，其知識結構如圖1所示：

圖1

解構

向量基本內容由概念和運算組成，演繹的主線有2條：其一是依托向量的物理背景，抽象出作為數學概念的向量(從物理模型“力”引入向量概念和向量的線性運算法則：平行四邊形法則和三角形法則，再由物理模型“功”引出向量的數量積)，使得向量的數學定義有了直觀物理背景的支持，既解決了學習向量的適切性問題，也賦予向量豐富的幾何特征；其二是向量數學運算體系的形式化建構(線性運算到數量積運算及其運算律，再到向量的坐標運算)，使得向量運算具有雙重屬性，不僅豐富了向量解決問題的靈活性和多樣性，而且解決了學習向量的必要性問題．

向量概念的核心是圍繞向量線性運算和數量積等運算的定義展開的，這是本章教學的重點．數量積從數學的邏輯地位看是向量運算的高級運算，需要學生充分理解其外延的豐富性；從操作層面看需要學生能從問題的形式結構出發尋找解決問題的方法；從內隱本質看需要學生學會從實際背景中抽取數學概念的能力，形成從特殊到一般、數形結合和坐標化的數學思想方法．

章節解構揭示了“平面向量”的核心概念、思想方法、知識的來龍去脈、過程目標與結果目標等．由此來引導每節課的教學，各節課的目標就可以放在系統中制定，這樣才能保證教學價值的明確、教學追求的清晰、知識網絡的構建、整體目標的實現．

這樣的研究，我們做過嗎？不這樣做會造成什么結果？

(1)教師教學中沒有經歷“章節解構”，則每節課的教學難以放在一個整體中考量，知識之間的聯系、章節的重點會被淡化，雖然每節課都有目標，但構不成整體目標．

人的大腦是按層級架構來組織知識的，而章節解構的形式恰與之相似[3].章節解構可以作為章節教學指南，導引組織知識并使之結構化．

(2)章節解構可以理解為：希望學生通過本章節學習，構建起章節圖式．教師個體有一個章節解構，才能幫助學生建構起相應的圖式．

章節解構能幫助教師抓住章節知識中的核心概念，聯系上位概念，衍生出相應的下位概念，從而將知識緊密地聯系起來；也能便于學生知識的儲存、理解、提取和運用.可見，作出章節解構對章節的教學起到奠基作用.

綜上所述，如果3個方面的經歷空白或存在缺失，那么就會造成個體形成的教學圖式難以考慮知識產生的背景(除非教材中有了)，難以真正重視學生的能動性、學習感受，難以用整體觀看數學，圍繞數學核心概念組織教學，等等．因此，數學教師的教學圖式確實需要更新！

4 創設新的教學活動更新教學圖式

圖式研究還得出這樣一種觀點：個體認知圖式在認知活動中會導致刻板的思路，這種思路一旦形成了恒定的模式，個體就會以這種模式思考、處理和解決問題，在認知上產生一種僵化的模式[4]．

這種情況在我們身上是否也發生了？事實上，你的圖式已經形成，個體要對此作出回答是很難的．為此，下面提供2組個體的自我評價，由此得出更新的途徑與方法．

評價1

提出下列問題，個體的圖式是如何回答的？也由此提出我們需要繼續實踐的方向，即找到變化圖式——適應教學的途徑．

(1)你的3個基礎觀：數學觀、學生觀和教學觀．

(2)評價你外顯的能力或方法：學生的管理，與學生的交流、解題、教學設計，會熟練使用的教學途徑．

(3)評價你內含的水平或能力：令學生信服，組織學生習得，即時處理課堂中出現的教學資源，改編題，編創新題．

評價2

以下4個方面，我們是否仍在努力實踐，積淀經驗？

(1)從數學史角度縱向理解數學，從教學途徑、教學功能等角度橫向理解數學，在章節解構整體認知數學下，進行每節課的教學設計．

(2)從一般到特殊，引導學生通過演繹學習數學；從特殊到一般，幫助學生通過歸納習得數學．

(3)能通過講解解題套路設計變式，引導學生解決一類問題；能創設情境設計問題串，使學生通過解決問題發現或概括、歸納出數學通性、通法．

(4)培養學生良好的學習習慣，為教學途徑的豐富與多樣奠定基石．

在教學調研中，筆者發現：經過近10年的數學課程標準實驗，教師的數學教學圖式發生了變化，也使數學教師積累了自己的教學經驗.由于經驗源于教學實踐，因此,經驗不僅強烈，而且富有韌性，若不通過個體主動地新實踐、新學習和新思考，則難以撼動．但要看到:個體的數學教學圖式與提升數學教學質量、培養學生的數學素養、為學生的長遠發展謀利益還是不匹配，需要有新的充實與改變．

能有一個課題，從而專注一項研究，可以引起教學實驗活動，這是更新教學圖式的一條途徑；同樣地，能面對上述評價項目，產生新的實踐、思考或研究，也可以更新教學圖式．當然不論通過哪種途徑，都離不開個體的主動追求、積極投入．

參 考 文 獻

[1] 曹學良，鄭潔.關于概念圖在概率統計教學中應用的一些思考[J].數學教育學報,2007,16(1):37-39.

[2] 孫嘩,李沂.社會心理學[M].北京：科學出版社,1988.

[3] 項武義．基礎代數學[M]．北京:人民教育出版社,2004．

[4] 陳世友.圖式對個體認知發展的影響[J].咸寧學院學報,2010,30(5):90.