悖論的發展簡述

顧珊珊

摘 要 本文以悖論的發展為線索，簡述歷史上較為著名的若干悖論的內容及其產生原因，為邏輯學初學者提供一個初步了解悖論知識的平臺。

關鍵詞 悖論 發展 邏輯學

中圖分類號：B82 文獻標識碼：A

Brief Introduction of the Development of Paradox

GU Shanshan

（Chaoyang Teachers College， Chaoyang， Liaoning 122000）

Abstract Based on the paradox of development as the clue， some paradox of more famous in the history of content and its causes， to provide a preliminary understanding paradox knowledge logic beginners platform.

Key words paradox； development； logic

古希臘的芝諾為了證明運動的不可能，提出了四個悖論，其中比較有名的是阿喀琉斯追烏龜悖論和飛矢不動悖論，我們先以這兩個悖論開始。

阿喀琉斯追烏龜悖論：用亞里士多德的話轉述如下：動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由于追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。用通俗的話來講，可以用這樣一個故事來說明：阿喀琉斯有一天碰到一只烏龜，烏龜想和他賽跑，并表示阿喀琉斯追不上他，下面是烏龜的理論：假設阿喀琉斯離烏龜有100米，速度是烏龜的10倍。阿喀琉斯開始追烏龜了，當他跑到烏龜當前的這個位置，也就是跑了100米的時候，烏龜也已經又向前跑了10米。當阿喀琉斯再追到這個位置的時候，烏龜又向前跑了1米，……總之，阿喀琉斯只能無限地接近烏龜，但永遠也不能追上它。

該悖論困擾了人們千年之久，直到微積分創立才得到完整的解決，快的物體追上慢的物體有一個時間點，該悖論的本質是說的在該時間點之前，后面的快的物體永遠追不上慢的物體。

飛矢不動：可以用芝諾和他的學生的對話來理解。

芝諾：一支射出的箭是動的還是不動的？”

學生：是動的。

芝諾：這支箭在每一個瞬間里都有它的位置嗎？

學生：有的。

芝諾：在這一瞬間里，它占據的空間和它的體積一樣嗎？

學生：是。

芝諾：那么，在這一瞬間里，這支箭是動的，還是不動的？

學生：不動的。

芝諾：這一瞬間是不動的，那么其他瞬間呢？

學生：也是不動的。

芝諾：所以，射出去的箭是不動的。

飛矢不動悖論產生的原因主要是沒有考慮到時間這個重要的因素，只要把時間考慮進去，該悖論就迎刃而解了。

說謊者悖論：可能是最為廣泛流傳的悖論。最常見的例子是“我在說謊”。因為若是“我在說謊”為真，那我便不是在說謊；若是“我在說謊”為假，那么我就是在說謊。所以無論這句子是真或不真，情況都不可能成立。這個悖論起源于西元前6世紀古希臘哲學家埃庇米尼得斯的話：“所有克利特人都說謊。”目前大家公認的是，該悖論源于“自指”，因此也就形成了一種解決悖論的方案：消除自指。后來的悖論解決之道大多遵循這個模式。羅素對這個悖論進行了深入的研究，他先試圖用命題分層的辦法來解決，但是沒有成功。后來證實這個問題引起了大家對悖論的關注。蘇珊·哈克根據這個問題給出了什么是悖論的基本標準，她提出的標準已被學界普遍接受，即必須獨立于導致悖論的結論這一點而證明對前提表達式或推論原則的反駁。

理發師悖論是羅素悖論的一個比喻，是由羅素在1901年提出的。它的內容是：理發師說，他要為城里所有不為自己刮臉的人刮臉，而且只為那些不為自己刮臉的人刮臉。問題是：理發師該給自己刮臉嗎？如果他給自己刮臉，那么按照他的話他不應該為自己刮臉；但如果他不給自己刮臉，同樣按照話他又應該為自己刮臉。該悖論是羅素悖論的比喻，下面我們看一下正宗的羅素悖論。

羅素悖論：假設有一個集合具有如下性質，里面的元素都不屬于它本身，也就是說里面的元素都有性質：“”，既={|}。那么現在的問題是：是否成立？我們分析一下，若∈，那么A是A的元素，這樣的話不具有性質，這時又會得到；如果，也就是說具有性質，應為里的所有元素都有性質P，所以∈。

羅素悖論的出現的原因比較明確，是因為集合論沒有對集合這個概念做出清楚的定義而形成的。這個悖論之所以有很重要的影響，是因為當時集合論已成為數學理論的基礎，因此這一悖論的出現導致了第三次數學危機。

十九世紀下半葉，德國數學家康托爾創立了集合論。在經受了一系列的質疑后，這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。后來數學家們將集合論視為現代數學的基石。沒想到1903年出現了羅素悖論，直接指出集合論是有漏洞的。它使集合論產生了危機。所以，這個悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次數學危機。

悖論的解決方案是嚴格化集合的定義，形成了公理集合論，也就是，不是什么東西都可以構成集合，要按照一定的規則生成的才是集合。公理化集合論的建立排除了集合論中出現的悖論，比較圓滿地解決了第三次數學危機。這個悖論深刻地影響了整個數學，后來形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展。需要說明的是，理發師悖論和羅素悖論是等價的，如果把人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那么，理發師宣稱他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合，并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己？這樣就由理發師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。羅素悖論還有一個版本，書目悖論：一個圖書館要編纂一本書，其內容是列出該圖書館里所有不列出自己書名的書的名字。那么作為目錄的書該不該列出自己的書名？此外還有一些物理學上的悖論，主要有：

祖父悖論是關于時間旅行的悖論，他最先由一個法國科幻小說作家提出。是這樣的一種情況：假設你回到過去，在自己父親出生前把自己的祖父母殺死；因為你祖父母死了，就不會有你的父親；沒有了你的父親，你就不會出生；你沒出生，就沒有人會把你祖父母殺死；但若是沒有人把你的祖父母殺死，你是否會存在并回到過去且把你的祖父母殺死？

這個悖論的解決也是在物理學中，一般認為可以這樣解決：世界是由無數個平行宇宙組成的，而當某人回到過去殺你的祖父母時，此人殺的其實是另一個宇宙的人，而此人的“祖父”或“祖母”的死只會使那個平行宇宙的此人不再存在，而這個平行宇宙的此人則平安無事。霍金對這個問題也有研究。他把祖父悖論的結論置放在不能干預歷史的層面上。這個悖論還導致了人們對時間旅行的一些深入思考。

薛定諤貓是奧地利物理學者埃爾溫·薛定諤于1935年提出的一個思想實驗，也可以說是一個物理上的悖論，實驗是這樣的：把一只貓關在一個封閉的鐵容器里面，并且裝置以下儀器：在一臺蓋革計數器內置入極少量放射性物質，由于物質的數量極少，在一小時內，這個放射性物質至少有一個原子衰變的概率為50%，它沒有任何原子衰變的概率也同樣為50%；假若衰變事件發生了，則蓋革計數管會放電，通過繼電器啟動一個榔頭，榔頭會打破裝有氰化氫的燒瓶。經過一小時以后，假若沒有發生衰變事件，則貓仍舊存活；否則發生衰變，這套機構被觸發，氰化氫揮發，導致貓隨即死亡。用以描述整個事件的波函數竟然表達出了活貓與死貓各半糾合在一起的狀態。

這個悖論提出一個很尖銳的問題：這系統從什么時候開始不再處于兩種不同量子態共同組成的疊加態，轉而坍縮為其中的一種？這就是這悖論的精華。這個悖論的提出，其實是為了說明哥本哈根詮釋的不足。后者是在量子力學的詮釋中最被普遍支持的。它大致說，當觀察發生時，系統不再處于兩種狀態的疊加態，轉而坍縮為其中任意一種狀態。薛定諤貓悖論清楚地顯露出一個事實，在這種詮釋里，測量或觀察的概念并沒有被良好定義。目前該悖論在物理學中仍然沒有被解決。

隨著現代科學的不斷發展，又將會有不少新的悖論大量涌現。悖論并不是錯誤的，它的存在說明科學上還有漏洞，而消除這些漏洞則會使科學更加健全。

參考文獻

[1] 張建軍.邏輯悖論研究引論.南京大學出版社，2005.

[2] 楊熙齡.奇異的循環——邏輯悖論探析.遼寧人民出版社，1986.